$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Méthodes : variables aléatoires discrètes finies

Déterminer la loi d'une variable aléatoire $X$
  Pour déterminer la loi d'une variable aléatoire $X$,
  • on peut essayer de voir si on n'est pas dans une situation amenant à une loi connue (le plus souvent, une loi binomiale);
  • sinon, on détermine les valeurs prises par la variable aléatoire, et on calcule la probabilité de chaque valeur prise en utilisant toutes les techniques usuelles de calcul de probabilités (voir cet exercice ou cet exercice);
  • si on connait la loi d'un couple $(X,Y)$, on peut retrouver la loi de $X$ comme loi marginale du couple, c'est-à-dire écrire que $$P(X=i)=\sum_{j=1}^n P\big ( (X,Y)=(i,j)\big)$$ (voir cet exercice).
  • si $X$ est de la forme $X=\min(U_1,U_2,\dots,U_n)$ ou $X=\max(U_1,U_2,\dots,U_n)$, il est plus facile de calculer $P(X\geq k)$ que $P(X=k)$. On déduit alors $P(X=k)$ par la formule $P(X=k)=P(X\geq k)-P(X\geq k+1)$ (voir cet exercice).
Déterminer la loi d'une somme $X+Y$
  Pour déterminer la loi d'une somme $X+Y$,
  • On détermine la loi conjointe du couple $(X,Y)$, c'est-à-dire que l'on calcule $P\big ( (X,Y)=(i,j)\big)$ pour tous les couples possibles $(i,j)$;
  • On écrit que $$P(X+Y=k)=\sum_{i+j=k}P\big( (X,Y)=(i,j)\big)=\sum_{i=0}^k P\big( (X,Y)=(i,k-i)\big)$$
(voir cet exercice).
Étudier si deux variables aléatoires sont indépendantes
  Pour déterminer si deux variables aléatoires sont indépendantes, ou pas, on peut
  • calculer les différentes valeurs de $P\big((X=i),(Y=j)\big)$ et vérifier si pour tous les couples $(i,j)$, cela est égal à $P(X=i)\times P(X=j)$ (voir cet exercice).;
  • calculer la covariance de $(X,Y)$. Si elle n'est pas nulle, les variables aléatoires ne sont pas indépendantes (voir cet exercice). Attention, la réciproque est fausse!
Calculer la probabilité d'un événement lié à deux variables aléatoires $X$ et $Y$
  Pour calculer la probabilité d'un événement lié à deux variables aléatoires $X$ et $Y$ (par exemple, $X=Y$ ou $X\leq Y$), on peut
  • calculer la loi du couple $(X,Y)$;
  • déterminer pour quels couples $(i,j)$ l'événement est réalisé;
  • sommer les probabilités $P\big( (X,Y)=(i,j)\big)$ pour tous ces couples.
Obtenir des inégalités faisant intervenir des probabilités et des variables aléatoires
  Dans ce cas, on pensera aux inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev (voir cet exercice).