$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Méthodes : calculs de primitives

Applications de la formule du changement de variables
Théorème : Soit $\varphi$ une fonction de classe $C^1$ sur $I$. Alors si $f$ est continue sur $\varphi(I)$, pour tout $a,b\in I$, on a $$\int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(x)dx=\int_a^b f(\varphi(t))\varphi'(t)dt.$$
Dans la pratique, on pose $$x=\varphi(t)\textrm{ et }dx=\varphi'(t)dt.$$ Il faut penser à transformer
  • les bornes de l'intégrale
  • l'expression de la fonction
  • l'élément différentiel $dt$.
On peut utiliser la formule dans les deux sens, c'est-à-dire choisir une nouvelle variable fonction de l'ancienne, ou bien exprimer la variable initiale comme une fonction d'une nouvelle variable, dont on précisera l'intervalle de variation. (voir cet exercice, ou celui-ci, ou celui-là).
Fonctions du type $x\mapsto e^{ax}\cos(bx)$ ou $x\mapsto e^{ax}\sin(bx)$
  • On peut écrire que $e^{ax}\cos(bx)$ est la partie réelle de $e^{\lambda x}$ avec $\lambda=a+ib$, et utiliser la primitive de $e^{\lambda x}$.
  • On peut réaliser une double intégration par parties.
Fonctions du type $x\mapsto P(x)e^{ax}$
  • On peut réaliser des intégrations par parties pour diminuer le degré du polynôme jusqu'à trouver une constante.
  • On peut chercher une primitive de la même forme $Q(x)e^{ax}$, et retrouver $Q$ par identification des coefficients.
Fonctions du type $x\mapsto \frac{1}{x^2+ax+b}$
  • Si $x^2+ax+b$ admet deux racines réelles simples $\lambda_1$ et $\lambda_2$, alors $\frac{1}{x^2+ax+b}$ peut se réécrire en $$\frac{1}{x^2+ax+b}=\frac{\mu_1}{x-\lambda_1}+\frac{\mu_2}{x-\lambda_2}$$ et on sait déterminer une primitive de chacun des membres.
  • Si $x^2+ax+b$ admet une racine réelle double $\lambda$, alors $\frac{1}{x^2+ax+b}$ peut se réécrire en $$\frac{1}{x^2+ax+b}=\frac{\mu_1}{x-\lambda}+\frac{\mu_2}{(x-\lambda)^2}$$ et on sait déterminer une primitive de chacun des membres.
  • Si $x^2+ax+b$ n'admet pas de racines réelles, on transforme ce trinôme pour le mettre sous forme canonique : $$x^2+ax+b=(x+\alpha)^2+\beta^2.$$ On fait alors le changement de variables $y=x+\alpha$ pour se ramener au calcul de la primitive de $\frac{1}{y^2+\beta^2}$. On sait qu'une primitive de cette fonction est $\frac1\beta\arctan\left(\frac y\beta\right).$
(voir cet exercice)
  • Fonctions du type $x\mapsto \frac{\alpha x+\beta}{x^2+ax+b}$
    • Si $x^2+ax+b$ admet deux racines réelles simples $\lambda_1$ et $\lambda_2$, alors $\frac{\alpha x+\beta}{x^2+ax+b}$ peut se réécrire en $$\frac{\alpha x+\beta}{x^2+ax+b}=\frac{\mu_1}{x-\lambda_1}+\frac{\mu_2}{x-\lambda_2}$$ et on sait déterminer une primitive de chacun des membres.
    • Si $x^2+ax+b$ admet une racine réelle double $\lambda$, alors $\frac{\alpha x+\beta}{x^2+ax+b}$ peut se réécrire en $$\frac{\alpha x+\beta}{x^2+ax+b}=\frac{\mu_1}{x-\lambda}+\frac{\mu_2}{(x-\lambda)^2}$$ et on sait déterminer une primitive de chacun des membres.
    • Si $x^2+ax+b$ n'admet pas de racines réelles, on transforme l'expression de sorte de faire apparaitre au numérateur la dérivée du dénominateur plus une constante comme suit : $$\frac{\alpha x+\beta}{x^2+ax+b}=\frac{\alpha}2\frac{2x+a}{x^2+ax+b}+\frac{\beta-a\alpha/2}{x^2+ax+b}.$$ Pour le premier terme de droite, on reconnait une formule du type $u'/u$. Pour le second terme, on procède comme ci-dessous. (voir cet exercice)
    Fonctions trigonométriques
    • Pour trouver une primitive d'un polynôme trigonométrique, on le linéarise.
    • Pour des fonctions plus compliquées, on utilise souvent un changement de variables.
    Calculs d'intégrales dépendant d'un entier $n$
      On essaie souvent d'obtenir une formule de récurrence en utilisant une intégration par parties (voir cet exercice, ou celui-là).