$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Méthodes : Espaces préhilbertiens, espaces euclidiens, matrices orthogonales

Démontrer qu'une application est un produit scalaire
  Pour démontrer qu'une application $\langle \cdot,\cdot\rangle:E\times E\to\mathbb R$ est un produit scalaire, on vérifie la définition d'un produit scalaire. Lorsque ce produit scalaire fait intervenir une intégrale de fonctions continues, on utilise souvent le théorème suivante :
Si $h:[a,b]\to\mathbb R$ est continue et positive, alors $$\int_a^b h(t)dt=0\iff h=0.$$
(voir cet exercice).
Orthonormaliser une famille libre
  Pour trouver l'orthonormalisée de Gram-Schmidt de $(x_1,\dots,x_p)$, on construit successivement les vecteurs $(u_1,\dots,u_p)$ de la façon suivante : si $(u_1,\dots,u_{i-1})$ a déja été construit, on pose $$v_i=e_i-\lambda_1 u_1-\dots-\lambda_{i-1}u_{i-1}.$$ On détermine les $\lambda_k$ en écrivant que l'on souhaite que $\langle v_i,u_k\rangle=0$, ce qui donne $$ \langle e_i,u_k\rangle=\lambda_k.$$ On pose ensuite $$u_i=\frac{v_i}{\|v_i\|}$$ (voir cet exercice).
Déterminer une base orthonormale d'un espace, d'un sous-espace
  On commence par chercher une base de cet espace, puis on l'orthonormalise par le procédé de Schmidt (voir cet exercice).
Calculer une distance à un sous-espace
  Pour calculer la distance de $x$ à un sous-espace $F$, on peut
  • déterminer une base orthonormale $(e_1,\dots,e_p)$ de $F$;
  • calculer le projeté orthogonal $p_F(x)$ de $x$ sur $F$ par la formule $$p_F(x)=\sum_{i=1}^p \langle x,e_i\rangle e_i.$$
  • calculer la distance par la formule $$d(x,F)=\|x-p_F(x)\|.$$
(voir cet exercice).
  Si $F$ est un hyperplan, on cherche plutôt un vecteur normal $\mathbb n$ à l'hyperplan, et on sait que $$d(x,F)=\frac{|\langle x,\mathbb n\rangle|}{\|\mathbb n\|}.$$