Méthodes : Espaces préhilbertiens, espaces euclidiens, matrices orthogonales
Démontrer qu'une application est un produit scalaire
Pour démontrer qu'une application $\langle \cdot,\cdot\rangle:E\times E\to\mathbb R$
est un produit scalaire, on vérifie la définition d'un produit scalaire. Lorsque ce produit scalaire fait
intervenir une intégrale de fonctions continues, on utilise souvent le théorème suivante :
Si $h:[a,b]\to\mathbb R$ est continue et positive, alors
$$\int_a^b h(t)dt=0\iff h=0.$$
(voir cet exercice).
Orthonormaliser une famille libre
Pour trouver l'orthonormalisée de Gram-Schmidt de $(x_1,\dots,x_p)$, on construit successivement les
vecteurs $(u_1,\dots,u_p)$ de la façon suivante : si $(u_1,\dots,u_{i-1})$ a déja été construit, on pose
$$v_i=e_i-\lambda_1 u_1-\dots-\lambda_{i-1}u_{i-1}.$$
On détermine les $\lambda_k$ en écrivant que l'on souhaite que $\langle v_i,u_k\rangle=0$, ce qui donne
$$ \langle e_i,u_k\rangle=\lambda_k.$$
On pose ensuite
$$u_i=\frac{v_i}{\|v_i\|}$$
(voir cet exercice).
Déterminer une base orthonormale d'un espace, d'un sous-espace
On commence par chercher une base de cet espace, puis on l'orthonormalise
par le procédé de Schmidt
(voir cet exercice).
Calculer une distance à un sous-espace
Pour calculer la distance de $x$ à un sous-espace $F$, on peut
- déterminer une base orthonormale $(e_1,\dots,e_p)$ de $F$;
- calculer le projeté orthogonal $p_F(x)$ de $x$ sur $F$ par la formule $$p_F(x)=\sum_{i=1}^p \langle x,e_i\rangle e_i.$$
- calculer la distance par la formule $$d(x,F)=\|x-p_F(x)\|.$$