$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Méthodes : matrices

Calculer la puissance d'une matrice
  Pour calculer $A^n$, on peut
  • calculer les premières puissances, conjecturer le résultat puis le démontrer par récurrence (voir cet exercice);
  • écrire $A$ sous la forme $A=N+M$, où $N$ et $M$ sont deux matrices qui commutent et dont les puissances sont simples à calculer, puis appliquer la formule du binôme (voir cet exercice);
  • trouver un polynôme $P$ tel que $P(A)=0$, puis effectuer la division euclidienne de $X^n$ par $P$ : si $X^n=P(X)Q(X)+R(X)$, alors $A^n=R(A)$ (voir cet exercice);
  • étudier l'application linéaire canoniquement associée à $A$ (voir cet exercice).
Inverser une matrice
  Pour prouver qu'une matrice $A$ est inversible et éventuellement déterminer son inverse, on peut :
  • utiliser la méthode du pivot de Gauss : une suite d'opérations élémentaires sur les lignes qui transforme $A$ en $I_n$ transforme $I_n$ en $A^{-1}$ (voir cet exercice);
  • trouver un polynôme $P$ avec un terme constant non nul tel que $P(A)=0$. On peut alors écrire $$a_nA^n+a_{n_1}A^{n-1}+\dots+a_1A=I_n\iff A(a_nA^{n-1}+a_{n-1}A^{n-2}+\dots+a_1I_n)=I_n$$ qui donne immédiatement l'inverse (voir cet exercice);
  • interpréter $A$ comme la matrice d'une application linéaire et prouver que cette application linéaire est inversible (par exemple, en calculant son noyau) (voir cet exercice ou celui-ci).
Écrire la matrice d'une application linéaire
  Pour écrire la matrice de $u\in \mathcal L(E,F)$ dans les bases $\mathcal B$ de $E$ et $\mathcal C$ de $F$, on peut :
  • écrire en colonne les coordonnées des images des vecteurs de $\mathcal B$ par $u$ dans la base $\mathcal C$ (voir cet exercice);
  • si on connait la matrice de $u$ dans d'autres bases, appliquer la formule du changement de base (voir cet exercice).
Pour les exercices liés au rang
  • le calcul du rang se fait le plus souvent avec la méthode du pivot de Gauss (voir cet exercice ou celui-ci).
  • pour les exercices liés au rang, on peut souvent utiliser le fait qu'une matrice de rang $r$ est équivalente à la matrice $J_r$ (voir cet exercice).
Divers
  Pour des exercices théoriques sur la structure de $\mathcal M_{n,p}(\mathbb K)$ ou de parties de $\mathcal M_n(\mathbb K)$, l'usage des matrices élémentaires $E_{i,j}$ est souvent utile.