Méthodes : matrices
- calculer les premières puissances, conjecturer le résultat puis le démontrer par récurrence (voir cet exercice);
- écrire $A$ sous la forme $A=N+M$, où $N$ et $M$ sont deux matrices qui commutent et dont les puissances sont simples à calculer, puis appliquer la formule du binôme (voir cet exercice);
- trouver un polynôme $P$ tel que $P(A)=0$, puis effectuer la division euclidienne de $X^n$ par $P$ : si $X^n=P(X)Q(X)+R(X)$, alors $A^n=R(A)$ (voir cet exercice);
- étudier l'application linéaire canoniquement associée à $A$ (voir cet exercice).
Pour prouver qu'une matrice $A$ est inversible et éventuellement déterminer son inverse, on peut :
- utiliser la méthode du pivot de Gauss : une suite d'opérations élémentaires sur les lignes qui transforme $A$ en $I_n$ transforme $I_n$ en $A^{-1}$
(voir cet exercice);
- trouver un polynôme $P$ avec un terme constant non nul tel que $P(A)=0$. On peut alors écrire $$a_nA^n+a_{n_1}A^{n-1}+\dots+a_1A=I_n\iff A(a_nA^{n-1}+a_{n-1}A^{n-2}+\dots+a_1I_n)=I_n$$ qui donne immédiatement l'inverse (voir cet exercice);
Pour écrire la matrice de $u\in \mathcal L(E,F)$ dans les bases $\mathcal B$ de $E$ et $\mathcal C$ de $F$, on peut :
- écrire en colonne les coordonnées des images des vecteurs de $\mathcal B$ par $u$ dans la base $\mathcal C$ (voir cet exercice ou cet exercice);
- si on connait la matrice de $u$ dans d'autres bases, appliquer la formule du changement de base (voir cet exercice).
Pour calculer le rang d'une matrice $A$, on applique souvent la méthode du pivot de Gauss. En utilisant des opérateurs élémentaires sur les lignes et les colonnes (permuter deux lignes, ajouter à une ligne un multiple d'une autre ligne, multiplier une ligne par un scalaire non nul, et de même sur les colonnes), qui ne changent pas le rang, on prouve que $$\textrm{rg}(A)=\textrm{rg}\begin{pmatrix} d_1&*&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots \\ 0&d_2&*&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\ 0&\ddots&\ddots&&\ddots&\cdots&\vdots\\ 0&0&0&d_r&*&\dots&*\\ 0&0&\dots&\dots&0&\dots&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ 0&\dots&\dots&\dots&\dots&\dots&0 \end{pmatrix}$$ où les coefficients $d_1,\dots,d_r$ sont non nuls. Alors $\textrm{rg}(A)=r$ (voir cet exercice ou celui-ci).
Pour les exercices théoriques liés au rang, on peut souvent utiliser le fait qu'une matrice de rang $r$ est équivalente à la matrice $J_r$ (voir cet exercice).