$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Méthodes : Intégration sur un segment

Démontrer qu'une fonction est uniformément continue
  Pour démontrer qu'une fonction est uniformément continue, on peut
  • dans un exercice pratique, démontrer que la fonction est lipschitzienne en utilisant l'inégalité des accroissements finis.
  • dans un exercice théorique, utiliser le théorème de Heine sur un segment et une autre propriété de la fonction sur le reste de son ensemble de définition. Parfois, il sera utile d'appliquer le théorème de Heine sur un segment plus grand que celui qui pourrait sembler naturel, pour "recoller" convenablement (voir cet exercice ou celui-ci).
Trouver des propriétés des fonctions vérifiant des égalités d'intégrales
  Pour trouver des propriétés des fonctions vérifiant des égalités d'intégrales, on utilise souvent le théorème suivant :

Théorème : L'intégrale sur un segment d'une fonction continue de signe constant est nulle si et seulement si cette fonction est nulle.
Attention! Parfois le fait qu'une intégrale doit être nulle est caché dans l'énoncé de l'exercice (voir cet exercice ou celui-ci).
Calculer la limite d'une suite à l'aide d'intégrales
  Pour calculer la limite d'une suite à l'aide d'intégrales, on peut
  • interpréter cette suite comme la somme de Riemann d'une certaine fonction, et utiliser le théorème sur les sommes de Riemann (voir cet exercice ou celui-ci).
  • interpréter la suite à partir d'intégrales, et majorer, minorer la fonction à l'intérieur de l'intégrale…