$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Méthodes : inégalités dans $\mathbb R$ et fonctions usuelles

Equations et inéquations avec des valeurs absolues
  • pour résoudre une équation du type $|f(x)|=|g(x)|$, on commence par étudier le signe de $f$ et de $g$. On résoud ensuite l'équation sur des intervalles où $f$ et $g$ gardent un signe constant.
  • pour résoudre une équation du type $|f(x)|\leq |g(x)|$, on commence par étudier le signe de $f$ et de $g$. On résoud ensuite l'inéquation sur des intervalles où $f$ et $g$ gardent un signe constant. (voir cet exercice)
Déterminer le nombre de solutions d'une équation $f(x)=\ell$
  Pour déterminer le nombre de solutions d'une équation $f(x)=\ell$ où $f$ est une fonction continue, on étudie la fonction $f$ de sorte de partager $\mathbb R$ en intervalles où la fonction est strictement monotone, et on résoud l'équation sur chaque intervalle. Sur chaque intervalle $I=[a,b]$ où $f$ est strictement monotone, l'équation peut avoir au plus une solution. Elle a exactement une solution si $\ell \in [f(a),f(b)]$. (voir cet exercice)
Démontrer une inégalité du type $f(x)\leq g(x)$
  Pour démontrer une inégalité du type $f(x)\leq g(x)$, on pose $h(x)=f(x)-g(x)$ et on étudie la fonction $h$ (variations, étude aux bornes, etc…) dans le but de prouver que l'on a toujours $h(x)\leq 0$. (voir cet exercice)
Plan d'étude d'une fonction
  • déterminer le domaine de définition;
  • étudier la parité, la périodicité et les symétries éventuelles de la courbe pour limiter le domaine d'étude;
  • étudier les variations (par exemple, mais pas toujours, en calculant la dérivée et en étudiant son signe);
  • déterminer les limites aux bornes du tableau de variations afin de trouver les asymptotes horizontales et verticales;
  • tracer la courbe représentative.
Déterminer la limite d'une somme, d'un quotient
  Pour déterminer la limite d'une somme ou d'un quotient quand on a affaire à une forme indéterminée, on peut utiliser les théorèmes de croissance comparée et mettre en facteur le terme dominant. (voir cet exercice)