$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Méthodes : Espaces vectoriels

Démontrer qu'une partie est/n'est pas un sous-espace vectoriel
  • pour démontrer que $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$, on applique la caractérisation des sous-espaces vectoriels, c'est-à-dire qu'on vérifie que $0_E\in F$ et que, pour tout couple $(x,y)\in F^2$ et tout scalaire $\lambda\in\mathbb K$, on a $$\left\{ \begin{array}{l} x+y\in F\\ \lambda x\in F \end{array} \right.$$
  • si on veut démontrer que $F$ n'est pas un sous-espace vectoriel de $E$, il faut trouver un contre-exemple. Le plus souvent
    • on montre que $0_E\notin F$;
    • ou bien on trouve $x,y\in F$ tel que $x+y\notin F$;
    • ou bien on trouve $x\in F$ et $\lambda\in\mathbb K$ tel que $\lambda x\notin F$
(voir cet exercice ou celui-ci).
Démontrer que des sous-espaces sont en somme directe/supplémentaires
  • Pour démontrer que deux sous-espaces $F$ et $G$ sont en somme directe, on vérifie simplement que $F\cap G=\{0\}$ (voir cet exercice).
  • Pour démontrer que trois sous-espaces ou plus $E_1,\dots,E_n$ sont en somme directe, on prend $x_1\in E_1,\dots,x_n\in E_n$ tels que $x_1+\dots+x_n=0$. On utilise alors les propriétés des sous-espaces pour prouver que $x_1=\dots=x_n=0$ (voir cet exercice).
  • Pour prouver que deux sous-espaces $F$ et $G$ sont supplémentaires dans $E$ :
    • on commence par prouver qu'ils sont en somme directe;
    • on procède ensuite souvent par analyse synthèse. On prend $x\in E$ et on suppose qu'il s'écrite $x=y+z$ avec $y\in F$ et $z\in G$. On utilise ensuite les propriétés de $F$ et $G$ pour essayer de trouver la valeur de $y$ et la valeur de $z$. Ensuite, on passe à la synthèse. On pose, en fonction du travail effectué auparavant, $y=\dots$, $z=\dots$, on vérifie que $x=y+z$, que $y\in F$ et $z\in G$ (voir cet exercice ou celui-ci).
Démontrer qu'une famille est libre
  Pour démontrer qu'une famille $(x_1,\dots,x_n)$ est libre, on écrit une relation de liaison $$\sum_{i=1}^n \alpha_ix_i=0$$ et on essaie de démontrer que tous les $\alpha_i$ sont nuls. Pour cela :
  • si les $x_i$ sont des vecteurs de $\mathbb R^n$, on écrit ce que cela signifie coordonnées par coordonnées, et on trouve un système en les $\alpha_i$ à résoudre (voir cet exercice).
  • si les $x_i$ sont des polynômes, on peut essayer de raisonner sur le degré (voir cet exercice).
  • si les $x_i$ sont des fonctions, on peut
    • évaluer les fonctions en certains points bien choisis
    • dériver la relation pour obtenir d'autres équations
    • factoriser par la fonction "dominante" et calculer des limites…
    (voir cet exercice ou celui-ci).
Démontrer qu'une application linéaire est injective
  Pour démontrer qu'une application linéaire est injective, on montre que son noyau est réduit à $\{0\}$ (voir cet exercice ou celui-ci ou celui-ci)