$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Méthodes : développements limités

Composition de deux développements limités
  Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies respectivement sur $I$ et $J$, de sorte que $f(I)\subset J$. On suppose que $f$ admet en $a$ le développement limité suivant : $$f(a+h)=a_0+a_1h+a_2h^2+\dots+a_n h^n+o(h^n).$$ On suppose que $g$ admet en $f(a)=b$ le développement limité suivant : $$g(f(a)+k)=b_0+b_1 k+b_2 k^2+\dots+b_n k^n+o(k^n).$$ Alors le développement limité de $g\circ f$ en $a$ s'obtient en posant $$k=a_1h+a_2h^2+\dots+a_n h^n+o(h^n),$$ en calculant les puissances $k^2$, $k^3$,…, mais en tronquant à l'ordre $n$, et en remplaçant ces puissances par leur nouvelle expression dans le développement limité de $g$ (voir cet exercice).
Inverse d'un développements limité - Quotient de deux développements limités
  • Si $g$ admet un développement limité en $a$ à l'ordre $n$, de la forme $$g(a+h)=a_0+a_1h+a_2h^2+\dots+a_n h^n+o(h^n),$$ alors on obtient le développement limité de $\frac 1g$ en $a$ en commençant par factoriser par $a_0$ : $$\frac 1{g(a+h)}=\frac1{a_0}\times\frac 1{1+\frac{a_1}{a_0}h+\dots+\frac{a_n}{a_0}h^n+o(h^n)}$$ puis on compose avec le développement limité de $\frac 1{1+x}$ comme indiqué ci-dessus.
  • Pour obtenir le développement limité d'un quotient $f/g$, on multiplie le développement limité de $f$ par le développement limité de l'inverse $1/g$ calculé ci-dessus.
(Voir cet exercice).
Développement limité d'une fonction réciproque
  Pour calculer le développement limité d'une fonction réciproque $f^{-1}$ au voisinage de $f(a)$ :
  • on calcule le développement limité de $f$ en $a$.
  • on écrit de façon formelle le développement limité de $f^{-1}$ en $f(a)$ : $$f^{-1}(f(a)+h)=a+a_1 h+\dots+a_n h^n+o(h^n).$$
  • on écrit que $f\circ f^{-1}(x)=x$. On calcule (formellement) le développement limité de $f\circ f^{-1}(x)$ en composant des développements limités. Puis on utilise l'unicité des développements limités et l'écriture $f\circ f^{-1}(x)=x$ pour identifier les coefficients.
(Voir cet exercice, ou celui-là, ou celui-là).
Étude locale d'une courbe représentative : tangente et position par rapport à la tangente
  • Pour trouver la tangente en $(a,f(a))$ à la courbe représentative $y=f(x)$, on calcule le développement limité à l'ordre $1$ de $f$ en $a$ : $$f(a+h)=a_0+a_1h+o(h).$$ Alors la droite $y=a_0+a_1x$ est la tangente à la courbe en $(a,f(a))$.
  • Pour étudier (localement) la position de la courbe par rapport à la tangente, on calcule le développement limité à un ordre supérieur, jusqu'à avoir un terme non-nul : $$f(a+h)=a_0+a_1 h+a_ph^p+o(h^p),\ a_p\neq 0.$$
    • Si $p$ est pair, la courbe reste (localement) toujours du même côté de la tangente, elle est au-dessus de la tangente si $a_p>0$, en dessous de la tangente si $a_p<0$.
    • Si $p$ est impair, la tangente traverse la courbe au point $(a,f(a))$.
(Voir cet exercice, ou celui-là).
Étude locale d'une courbe représentative : extrémum local
  En un point $a$ où $f$ admet un extrémum local, on a $f'(a)=0$. Réciproquement, si $f'(a)=0$, pour savoir si on a effectivement un extrémum, on cherche le premier terme non nul d'ordre supérieur ou égal à $1$ dans le développement limité de $f$ en $a$ : $$f(a+h)=f(a)+a_p h^p+o(h^p),\ a_p\neq 0.$$
  • Si $p$ est pair, la fonction admet un extrémum local en $a$. C'est un minimum si $a_p>0$, et un maximum si $a_p<0$.
  • Si $p$ est impair, la fonction n'admet pas d'extrémum local en $a$.
Détermination d'une asymptote
  Pour déterminer une asymptote à la courbe représentative de $y=f(x)$ au voisinage de $+\infty$, on essaie d'obtenir un développement asymptotique de la fonction du type $$f(x)=ax+b+o(1).$$ Dans ce cas, la droite $y=ax+b$ est asymptote à la courbe au voisinage de l'infini. Si on veut étudier de plus la position de la courbe par rapport à cette asymptote, on cherche le terme suivant du développement asymptotique (voir cet exercice).