Méthodes : espaces vectoriels de dimension finie
Pour démontrer qu'une famille $(v_1,\dots,v_n)$ est une base de $E$, on peut
- prouver qu'elle est libre et génératrice (voir cet exercice);
- prouver qu'elle est libre et, si on connait la dimension de $E$, remarquer qu'elle possède le même nombre de vecteurs que la dimension de $E$ (voir cet exercice).
Pour compléter une famille libre $(v_1,\dots,v_p)$ d'un espace vectoriel $E$, on utilise le théorème de la base incomplète : si $(e_1,\dots,e_n)$ est une base de $E$, on sait qu'on peut compléter $(v_1,\dots,v_p)$ avec $n-p$ vecteurs de $(e_1,\dots,e_n)$ pour obtenir une base de $E$. On choisit donc $n-p$ vecteurs de $(e_1,\dots,e_n)$, par exemple $(e_1,\dots,e_{n-p})$ et on regarde si la famille $(v_1,\dots,v_p,e_1,\dots,e_{n-p})$ est libre. Si c'est le cas, on a terminé. Sinon, on recommence en choisissant $n-p$ autres vecteurs. Certains choix peuvent ne pas fonctionner mais on est sûr qu'au moins un choix conduira à une base (voir cet exercice).
- chercher une famille génératrice $\mathcal B$ de $F$;
- si $\mathcal B$ est libre, c'est terminé, sinon, un des vecteurs peut s'exprimer en fonction des autres. On le supprime et on recommence jusqu'à trouver une famille libre
Pour trouver une base de la somme $F+G$ de deux sous-espaces vectoriels $F$ et $G$ de $E$, on peut :
- trouver une base $\mathcal B_1$ de $F$, une base $\mathcal B_2$ de $G$;
- on sait alors que $\mathcal B_1\cup\mathcal B_2$ est une famille génératrice de $F+G$;
- si $\mathcal B_1\cup\mathcal B_2$ est libre, c'est terminé, sinon, un des vecteurs peut s'exprimer en fonction des autres. On le supprime et on recommence jusqu'à trouver une famille libre.
Pour démontrer que $E=F\oplus G$, on peut :
- trouver la dimension de $F$, la dimension de $G$, vérifier que $F\cap G=\{0\}$ puis que $\dim(F)+\dim(G)=\dim(E)$ (voir cet exercice).
- trouver une base de $F$, une base de $G$, et vérifier que la concaténation des deux est une base de $E$ (voir cet exercice).
Pour démontrer que les deux sous-espaces vectoriels $F$ et $G$ sont égaux, on peut :
- démontrer que $F\subset G$ et que $\dim F=\dim G$ (voir cet exercice).
- si $F=\textrm{vect}(u_1,\dots,u_p)$ et $G=\textrm{vect}(v_1,\dots,v_q)$, démontrer que chaque $u_i$ est élément de $\textrm{vect}(v_1,\dots,v_q)$ (autrement dit, chaque $u_i$ s'écrit comme combinaison linéaire de $(v_1,\dots,v_q)$) puis que chaque $v_j$ est élément de $\textrm{vect}(u_1,\dots,u_p)$ (voir cet exercice).
- trouver une base $\mathcal B_1$ de $F$.
- compléter, à l'aide d'une base de $E$, $\mathcal B_1$ en une base $\mathcal B_1\cup\mathcal B_2$ de $E$.
- l'espace vectoriel engendré par $\mathcal B_2$ est alors un supplémentaire de $F$ dans $E$.
Pour trouver une base de l'image de $u$, où $u\in\mathcal L(E,F)$, on peut
- remarquer que si $(e_1,\dots,e_n)$ est une base de $E$, alors $(u(e_1),\dots,u(e_n))$ est une famille génératrice de $\textrm{Im}(u)$.
- si la famille est libre, c'est terminé, sinon, un des vecteurs peut s'exprimer en fonction des autres. On le supprime et on recommence jusqu'à trouver une famille libre
Si on a calculé auparavant le noyau d'une application linéaire, le théorème du rang nous donne la dimension de son image. Dans ce cas, il suffit de trouver une famille libre ayant le bon nombre de vecteurs de la famille génératrice $(u(e_1),\dots,u(e_n))$ de $\textrm{Im}(u)$ (voir cet exercice).
Pour construire des applications linéaires vérifiant des propriétés particulières, on peut
- définir l'application linéaire à l'aide de l'image d'une base;
- définir l'application linéaire en utilisant une décomposition en somme directe $E=F\oplus G$. Il suffit alors de définir l'application linéaire séparément sur $F$ et sur $G$;