Méthodes : dénombrement
Démontrer une formule avec des coefficients binomiaux
Pour démontrer une formule faisant intervenir des coefficients binomiaux, on peut
- procéder par récurrence, on utilise alors très souvent la formule du triangle de Pascal (voir cet exercice);
- utiliser la formule du binôme (voir cet exercice);
- faire un dénombrement (on sera alors souvent amené à couper des ensembles…) (voir cet exercice).
Dénombrer des ensembles
Pour dénombrer des ensembles, on peut
- faire un tableau et essayer de retrouver les cardinaux en utilisant les formules du type $\textrm{card}(A\cup B)=\dots$ (voir cet exercice);
- interpréter les ensembles recherchés en utilisant des combinaisons, des permutations,… (voir cet exercice);
- faire des disjonctions de cas : ou bien… ou bien… et faire la somme des cardinaux obtenus;
- compter chaque élément $p$ fois, et diviser le total par $p$ (voir cet exercice).
Comment savoir si on dénombre une $p$-liste, un arrangement, ou une combinaison?
Lorsqu'on choisit $p$ éléments de $E$,
- si l'ordre compte et qu'on s'autorise des répétitions, on démontre les $p$-listes de $E$;
- si l'ordre compte et qu'on ne s'autorise pas les répétitions, on dénombre les arrangements à $p$ éléments de $E$;
- si l'ordre ne compte pas, et qu'on ne s'autorise pas les répétitions, on dénombre les combinaisons à $p$ éléments de $E$.
En particulier :
- dénombrer des tirages successifs avec remise = dénombrer des $p$-listes;
- dénombrer des tirages successifs sans remise = dénombrer des arrangement;
- dénombrer des tirages simultanés = dénombrer des combinaisons.