$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Math sup : Variables aléatoires discrètes finies

Calculs de lois, d'espérances, de variances
Enoncé
On considère un dé cubique truqué dont les faces sont numérotés de 1 à 6 et on note $X$ la variable aléatoire donnée par le numéro de la face du dessus. On suppose que le dé est truqué de sorte que la probabilité d'obtenir une face est proportionnelle au numéro inscrit sur cette face.
  1. Déterminer la loi de $X$, calculer son espérance.
  2. On pose $Y=1/X$. Déterminer la loi de $Y$, et son espérance.
Indication
Corrigé
Enoncé
Un garagiste dispose de deux voitures de location. Chacune est utilisable en moyenne 4 jours sur 5. Il loue les voitures avec une marge brute de 300 euros par jour et par voiture. On considère $X$ la variable aléatoire égale au nombre de clients se présentant chaque jour pour louer une voiture. On suppose que $X(\Omega)=\{0,1,2,3\}$ avec $$P(X=0)=0,1\ \ P(X=1)=0,3\ \ P(X=2)=0,4\ \ P(X=3)=0,2.$$
  1. On note $Z$ le nombre de voitures disponibles par jour. Déterminer la loi de $Z$. On pourra considérer dans la suite que $X$ et $Z$ sont indépendantes.
  2. On note $Y$ la variable aléatoire : " nombre de clients satisfaits par jour". Déterminer la loi de $Y$.
  3. Calculer la marge brute moyenne par jour.
Indication
Corrigé
Enoncé
Les vaches laitières sont atteintes par une maladie $M$ avec la probabilité $p=0,15$. Pour dépister la maladie $M$ dans une étable de de $n$ vaches, on fait procéder à une analyse de lait. Deux méthodes sont possibles :
  • Première méthode : On fait une analyse sur un échantillon de lait de chaque vache.
  • Deuxième méthode : On effectue d'abord une analyse sur un échantillon de lait provenant du mélange des $n$ vaches. Si le résultat est positif, on effectue une nouvelle analyse, cette fois pour chaque vache.
On voudrait connaître la méthode la plus économique (=celle qui nécessite en moyenne le moins d'analyse). Pour cela, on note $X_n$ la variable aléatoire du nombre d'analyses réalisées dans la deuxième étape. On pose $Y_n=\frac{X_n}{n}.$
  1. Déterminer la loi de $Y_n$, et montrer que son espérance vaut : $1+\frac{1}{n}-(0.85)^n$.
  2. Etudier la fonction $f(x)=ax+\ln x$, pour $a=\ln(0,85)$. Donner la liste des entiers $n$ tels que $f(n)>0$.
  3. Montrer que $f(n)>0$ équivaut à $E(Y_n)<1$. En déduire la réponse (en fonction de $n$) à la question posée).
Indication
Corrigé
Enoncé
Une entreprise souhaite recrute un cadre. $n$ personnes se présentent pour le poste. Chacun d'entre eux passe à tour de rôle un test, et le premier qui réussit le test est engagé. La probabilité de réussir le test est $p\in ]0,1[$. On pose également $q=1-p$. On définit la variable aléatoire $X$ par $X=k$ si le $k$-ième candidat qui réussit le test est engagé, et $X=n+1$ si personne n'est engagé.
  1. Déterminer la loi de $X$.
  2. En dérivant la formule donnant $\sum_{k=0}^n x^k$, calculer $\sum_{k=1}^n kx^{k-1}$ pour $x\neq 1$.
  3. En déduire l'espérance de $X$.
  4. Quelle est la valeur minimale de $p$ pour avoir plus d'une chance sur deux de recruter l'un des candidats?
Indication
Corrigé
Enoncé
On s'intéresse à une maladie génétique. Elle est portée par un gène particulier qui existe en deux formes : l'allèle A (sain), et l'allèle B (malade). Il existe donc par chaque individu trois génotypes possibles : 1 (A A), 2 (A B) et 3 (B B). Un individu est malade lorsqu'il porte le génotype (B B). Le but de l'exercice est de démontrer que la proportion de malades est constante au cours du temps.
Pour cela, on s'intéresse à une population dont la proportion du génotype $i$, à la génération $n$, est noté $u_i(n)$. On rappelle que chaque enfant reçoit un des deux allèles de chacun de ses parents (et ce de façon complètement aléatoire). On suppose aussi que les procréations dans la population se font complètement aléatoirement.
On fixe $n\geq 0$ et on note $E$ le génotype d'un enfant de la $n+1$-ième génération, $P$ et $M$ les génotypes respectifs du père et de la mère.
  1. Calculer les probabilités conditionnelles $P(E=1| (P,M)=(i,j) )$.
  2. En déduire la loi de $E$ en fonction de $u_i(n)$.
  3. On pose $\theta(n)=u_1(n)+\frac 12 u_2(n)$. Exprimer $u_{i}(n+1)$ en fonction de $\theta(n)$.
  4. Démontrer que la proportion de malades ne varie plus à partir de la génération $2$.
Indication
Corrigé
Lois discrètes usuelles
Enoncé
$A$ et $B$ sont deux avions ayant respectivement 4 et 2 moteurs. Les moteurs sont supposés indépendants les uns des autres, et ils ont une probabilité $p$ de tomber en panne. Chaque avion arrive à destination si moins de la moitié de ses moteurs tombe en panne. Quel avion choisissez-vous? (on discutera en fonction de $p$).
Indication
Corrigé
Enoncé
On lance $n$ fois une pièce parfaitement équilibrée. Quelle est la probabilité d'obtenir strictement plus de piles que de faces.
Indication
Corrigé
Exercice 8 - Minimum et maximum de deux dés [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On lance deux dés équilibrés, on note $U_1$ et $U_2$ les variables aléatoires correspondant aux résultats obtenus. On appelle $X=\min(U_1,U_2)$ et $Y=\max(U_1,U_2)$.
  1. Donner la loi de $X$. En déduire $E(X)$.
  2. Exprimer $X+Y$ en fonction de $U_1$ et $U_2$. En déduire $E(Y)$.
  3. Exprimer $XY$ en fonction de $U_1$ et $U_2$. En déduire $\textrm{Cov}(X,Y)$. $X$ et $Y$ sont-elles indépendantes?
Indication
Corrigé
Enoncé
On dispose de $n$ urnes numérotées de $1$ à $n$, l'urne numérotée $k$ comprenant $k$ boules numérotées de $1$ à $k$. On choisit d'abord une urne, puis une boule dans cette urne, et on note $Y$ la variable aléatoire du numéro obtenu. Quelle est la loi de $Y$? Son espérance?
Indication
Corrigé
Exercice 10 - Deux variables aléatoires suivant une loi uniforme [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $X,Y$ deux variables aléatoires indépendantes suivant la loi uniforme sur $\{1,\dots,n\}$.
  1. Déterminer $P(X=Y)$.
  2. Déterminer $P(X\geq Y)$.
  3. Déterminer la loi de $X+Y$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Une urne contient $N$ boules numérotées de $1$ à $N$. On en tire $n$ en effectuant des tirages avec remise. On note $X$ et $Y$ le plus petit et le plus grand des nombres obtenus. Déterminer la loi de $X$ et la loi de $Y$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Un examen consiste en un QCM de 15 questions. Pour chaque question, 3 réponses sont possibles. Les étudiants répondent à chaque question indépendamment. L'enseignant estime que les étudiants ayant préparé l'examen sont $70\%$ et répondent à une question correctement avec probabilité 0,8. Les autres étudiants choisissent les réponses au hasard. Il faut au moins 8 bonnes réponses pour réussir l'examen.
  1. Quelle est la probabilité qu'un étudiant, choisi au hasard, réussisse l'examen?
  2. Si un étudiant échoue, quelle est la probabilité qu'il ait préparé l'examen?
Indication
Corrigé
Enoncé
  1. Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi binomiale $\mathcal B(n,p)$ et soit $\veps>0$. Démontrer que $$P\left(\left|\frac Xn-p\right|\geq \veps\right)\leq \frac{p(1-p)}{n\veps^2}.$$
  2. Application : On lance un dé cubique parfait. Déterminer un nombre de lancers à effectuer pour pouvoir affirmer avec un risque d'erreur inférieur à $5\%$ que la fréquence d'apparition du 6 au cours de ces lancers diffère de 1/6 d'au plus 1/100?
Indication
Corrigé
Exercice 14 - Maximum d'une loi binomiale [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres $n\in\mathbb N^*$ et $p\in ]0,1[$. Pour quelle(s) valeur(s) de $k$ la probabilité $p_k=P(X=k)$ est maximale?
Indication
Corrigé
Exercices théoriques
Exercice 15 - Une autre expression de l'espérance [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $X$ une variable aléatoire prenant ses valeurs dans $\{0,1,\dots,N\}$. Démontrer que $$E(X)=\sum_{n=0}^{N-1}P(X>n).$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $X$ une variable aléatoire réelle définie sur un espace probabilisé fini. Démontrer que $E(X)^2\leq E(X^2)$.
Indication
Corrigé
Exercice 17 - Maximiser l'espérance [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $n\geq 2$. On considère deux variables aléatoires indépendantes $X_1$ et $X_2$, définies sur le même espace probabilisé $(\Omega,\mathcal{B},P)$, et suivant la loi uniforme discrète sur $\{1,2,\dots,n\}$. On considère $a$ un entier de $\{1,2,\dots,n\}$, et $Y$ la variable aléatoire définie par : $$\forall \omega\in\Omega,\ Y(\omega)= \left\{\begin{array}{ll} X_1(\omega)&\textrm{ si }X_2(\omega)\leq a\\ X_2(\omega)&\textrm{ si }X_2(\omega)>a. \end{array}\right.$$
  1. Déterminer la loi de $Y$ (vérifier que l'on obtient bien une loi de probabilité).
  2. Calculer l'espérance de $Y$ et la comparer à l'espérance de $X_1$.
  3. Pour quelles valeurs de $a$ cette espérance est-elle maximale?
Indication
Corrigé
Exercice 18 - Loi faible des grands nombres [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $(X_n)$ une suite de variables aléatoires définies sur le même espace probabilisé fini $\Omega$. On suppose qu'elles sont deux à deux indépendantes, qu'elles ont même espérance $m$ et même variance $\sigma^2$. On pose $S_n=\frac{X_1+\dots+X_n}n$. Démontrer que, pour tout $\veps>0$, $$P(|S_n-m|\geq\veps)\to 0.$$
Indication
Corrigé
Exercice 19 - Loi faible pour des sommes de Bernoulli qui n'ont pas la même loi [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $(X_n)$ une suite de variables aléatoires définies sur un même espace probabilisé fini $\Omega$. On suppose que, pour chaque $n\geq 1$, $X_i$ suit une loi de paramètre $p_i$. On suppose en outre que les variables aléatoires sont deux à deux indépendantes. On pose $$S_n=\frac{X_1+\dots+X_n}n\textrm{ et }m_n=\frac{p_1+\dots+p_n}n.$$ Démontrer que, pour tout $\veps>0$, $P(|S_n-m_n|\geq\veps)\to 0$.
Indication
Corrigé
Exercice 20 - Fonction génératrice [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Pour $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $\{0,\dots,n\}$, on appelle fonction génératrice la fonction de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$ définie par $$G_X(x)=\sum_{k=0}^n p_k x^k$$ où $p_k=P(X=k)$.
  1. Déterminer la fonction génératrice d'une variable aléatoire suivant une loi de Bernoulli de paramètre $p$; une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$.
  2. Démontrer que deux variables aléatoires discrètes finies $X$ et $Y$ ont même loi si et seulement si $G_X=G_Y$.
  3. Montrer que $E(X)=G_X'(1)$ et $V(X)=G_X''(1)+G_X'(1)-\big( G_X'(1)\big)^2.$ Retrouver l'espérance et la variance d'une variable aléatoire suivant une loi binomiale.
  4. Montrer que si $X$ et $Y$ sont deux variables aléatoires discrètes finies indépendantes, alors $G_{X+Y}=G_XG_Y$. Retrouver alors la fonction génératrice d'une variable aléatoire suivant une loi binomiale.
  5. Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes suivant des lois binomiales respectives $\mathcal B(n,p)$ et $\mathcal B(m,p)$. Quelle est la loi de $Z=X+Y$?
Indication
Corrigé
Exercice 21 - Somme de variables aléatoires ayant une répartition uniforme [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
  1. Soient $a,b,c,d,\lambda$ 5 réels strictement positifs. Montrer qu'il est impossible que $$\left\{ \begin{array}{rcl} ab&=&\lambda\\ cd&=&\lambda\\ ac+bd&\leq&\lambda \end{array}\right. $$
  2. Soit $n\geq 1$. Existe-t-il deux variables aléatoires indépendantes à valeurs dans $\{0,\dots,n\}$ dont la somme suit une loi uniforme sur $\{0,\dots,2n\}$?
Indication
Corrigé
Vecteurs aléatoires discrets finis
Enoncé
On dispose de $n$ boites numérotées de $1$ à $n$. La boite $k$ contient $k$ boules numérotées de $1$ à $k$. On choisit au hasard de façon équiprobable une boite, puis une boule dans cette boite. On note $X$ le numéro de la boite et $Y$ le numéro de la boule.
  1. Déterminer la loi conjointe du couple $(X,Y)$.
  2. En déduire la loi de $Y$.
  3. Calculer l'espérance de $Y$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $(X,Y)$ un couple de variables aléatoires suivant une loi uniforme sur $\{0,\dots,n\}^2$.
  1. Déterminer la loi de $X$, la loi de $Y$, la loi de $X+Y$.
  2. $X$ et $Y$ sont-elles indépendantes?
Indication
Corrigé