$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Math Sup : Systèmes linéaires

Comprendre le cours
Enoncé
Résoudre les systèmes linéaires suivants : $$\left\{ \begin{array}{rcl} x+y+2z&=&3\\ x+2y+z&=&1\\ 2x+y+z&=&0 \end{array}\right. \quad\quad\quad \left\{ \begin{array}{rcl} x+2z&=&1\\ -y+z&=&2\\ x-2y&=&1 \end{array}\right.$$
Indication
Corrigé
Exercice 2 - Trop d'inconnues ou d'équations [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Résoudre les systèmes suivants : \begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{rcl} x+y+z-3t&=&1\\ 2x+y-z+t&=&-1 \end{array}\right. \quad\quad\quad \left\{ \begin{array}{rcl} x+2y-3z&=&4\\ x+3y-z&=&11\\ 2x+5y-5z&=&13\\ x+4y+z&=&18 \end{array}\right. \end{eqnarray*}
Indication
Corrigé
Exercice 3 - Système et interprétation géométrique [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Résoudre le système suivant : $$\left\{ \begin{array}{rcl} x+my&=&-3\\ mx+4y&=&6 \end{array}\right.$$ Quelle interprétation géométrique du résultat faites-vous?
Corrigé
Exercice 4 - Paramètre dans le second membre [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Discuter suivant la valeur du paramètre $m\in\mathbb R$ le système :$$\left\{ \begin{array}{rcl} 3x+y-z&=&1\\ x-2y+2z&=&m\\ x+y-z&=&1 \end{array}\right.$$
Corrigé
Exercice 5 - Systèmes proches, et pourtant! [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Résoudre les deux systèmes suivants. Qu'en pensez-vous? \begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{rcl} x+5y+9z&=&180\\ 9x+10y+5z&=&40\\ 10x+9y+z&=&-50\\ \end{array}\right. &\quad\quad& \left\{ \begin{array}{rcl} 10x+9y+z=-50\\ 9x+10y+5z&=&41\\ x+5y+9z&=&180 \end{array}\right. \end{eqnarray*}
Corrigé
D'autres système linéaires
Enoncé
Discuter suivant la valeur du paramètre $a\in\mathbb R$ le système $$\left\{ \begin{array}{rcl} ax+(1-a)y+(1-a)z&=&a^2\\ ax+(1+a)y+(1+a)z&=&a-a^2\\ x+y+z&=&1-a \end{array}\right.$$
Corrigé
Exercice 7 - Nature de l'ensemble des solutions [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Discuter, suivant la valeur du paramètre $m\in\mathbb C$, le nombre de solutions du système suivant : $$\left\{ \begin{array}{rcl} x-my+m^2z&=&m\\ mx-m^2y+mz&=&1\\ mx+y-m^3z&=&-1 \end{array}\right.$$
Corrigé
Enoncé
Étudier l'existence de solutions du système : $$\left\{\begin{array}{ccccccc} x &+& by &+& az &=& 1\\ ax &+& by &+& z &=& 1 \\ x &+& aby &+& z &=& b \\ \end{array}\right.$$
Corrigé
Applications
Exercice 9 - Fraction rationnelle avec décomposition en éléments simples [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f(x)=\frac{5x^2+21x+22}{(x-1)(x+3)^2}$, $x\in ]1,+\infty[$.
  1. Démontrer qu'il existe trois réels $a$, $b$ et $c$ tels que $$\forall x\in ]1,+\infty[,\ f(x)=\frac a{x-1}+\frac b{x+3}+\frac c{(x+3)^2}.$$
  2. En déduire la primitive de $f$ sur $]1,+\infty[$ qui s'annule en 2.
Indication
Corrigé
Exercice 10 - Système non linéaire [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Résoudre le système suivant, où $x$, $y$ et $z$ sont des réels positifs : $$\left\{ \begin{array}{rcl} x^3y^2z^6&=&1\\ x^4y^5z^{12}&=&2\\ x^2y^2z^5&=&3. \end{array}\right.$$
Indication
Corrigé
Exercice 11 - Application géométrique [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $n\geq 3$. Discuter l'existence et l'unicité dans le plan d'un polygone à $n$ côtés dont les milieux des côtés sont fixés.
Indication
Corrigé