$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Math sup : séries numériques

Convergence de séries à termes positifs
Enoncé
Etudier la convergence des séries $\sum u_n$ suivantes : $$\begin{array}{lllll} \displaystyle \mathbf 1.\ u_n=\frac{n}{n^3+1}&&\displaystyle \mathbf 2.\ u_n=\frac{\sqrt n}{n^2+\sqrt n}&&\displaystyle \mathbf 3.\ \dis u_n=n\sin(1/n)\\ \displaystyle \mathbf 4.\ u_n=\frac{1}{\sqrt{n}}\ln\left(1+\frac{1}{\sqrt{n}}\right)&& \displaystyle \mathbf 5.\ u_n=\frac{\sqrt {n+1}-\sqrt{n}}{n}&&\displaystyle \mathbf 6.\ u_n=\frac{(-1)^n +n}{n^2+1}\\ \displaystyle \mathbf 7.\ u_n=\frac{1}{n!}&&\displaystyle \mathbf 8. \ u_n=\frac{\ln(n^n)}{n!}&& \displaystyle \mathbf 9.\ u_n=\ln\left(\frac{n^2+n+1}{n^2+n-1}\right) \end{array}$$
Corrigé
Enoncé
Étudier la convergence des séries $\sum u_n$ suivantes : $$\begin{array}{lllll} \displaystyle \mathbf 1.\ u_n=\left(\frac{1}{2}\right)^{\sqrt{n}}&& \displaystyle \mathbf 2.\ u_n=a^n n!,\ a\in\mathbb R&&\displaystyle \mathbf 3. \ u_n=ne^{-\sqrt n}\\ \displaystyle {\bf 4.} \ u_n=\frac{\ln(n^2+3)\sqrt{2^n+1}}{4^n}.&& \displaystyle {\bf 5}.\ \ u_n=\frac{\ln n}{\ln(e^n -1)}&& \displaystyle \mathbf 6.\ \left(\frac 1n\right)^{1+\frac 1n}. \end{array}$$
Corrigé
Exercice 3 - A partir de développements limités [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Donner la nature des séries numériques $\sum u_n$ suivantes : $$\begin{array}{lll} \displaystyle\mathbf 1.\ u_n=1-\cos\frac{\pi}{n}&& \displaystyle \displaystyle \mathbf 2.\ u_n=\sqrt{\ch\frac{1}{n}-1}\\ \displaystyle \displaystyle \mathbf 3.\ u_n=\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n^2}\\ \end{array}.$$
Indication
Corrigé
Exercice 4 - Avec des paramètres - 1 [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Discuter, suivant la valeur des paramètres, la convergence des séries suivantes : $$\begin{array}{lll} \displaystyle \mathbf 1.\ e^{\frac 1n}-a-\frac{b}{n},\ a,b\in\mathbb R && \displaystyle \mathbf 2.\ \sqrt[3]{n^3+an}-\sqrt{n^2+3},\ a\in\mathbb R \end{array}$$
Corrigé
Enoncé
Étudier la nature des séries $\sum u_n$ suivantes :
  1. $u_n=1/n$ si $n$ est un carré, et 0 sinon.
  2. $u_n=\arctan(n+a)-\arctan(n)$, avec $a>0$.
Indication
Corrigé
Exercice 6 - Série des inverses des nombres premiers [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $(p_k)_{k\geq 1}$ la suite ordonnée des nombres premiers. Le but de l'exercice est d'étudier la divergence de la série $\sum_{k\geq 1}\frac{1}{p_k}$. Pour $n\geq 1$, on pose $V_n=\prod_{k=1}^n \frac{1}{1-\frac1{p_k}}$.
  1. Montrer que la suite $(V_n)$ est convergente si et seulement si la suite $(\ln V_n)$ est convergente.
  2. En déduire que la suite $(V_n)$ est convergente si et seulement si la série $\sum_{k\geq 1}\frac{1}{p_k}$ est convergente.
  3. Démontrer que $$V_n=\prod_{k=1}^n\left(\sum_{j\geq 0}\frac{1}{p_k^j}\right).$$
  4. En déduire que $V_n\geq\sum_{j=1}^n \frac{1}j$.
  5. Quelle est la nature de la série $\sum_{k\geq 1}\frac{1}{p_k}$?
  6. Pour $\alpha\in\mathbb R$, quelle est la nature de la série $\sum_{k\geq 1}\frac{1}{p_k^\alpha}$?
Indication
Corrigé
Convergence de séries à termes quelconques
Exercice 7 - Sans le critère des séries alternées [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On considère la série $\sum_{n\geq 1}\frac{(-1)^k}k$, et on note, pour $n\geq 1$, $$S_n=\sum_{k=1}^n \frac{(-1)^k}{k},\ u_n=S_{2n},\ v_n=S_{2n+1}.$$
  1. La série est-elle absolument convergente?
  2. Démontrer que les deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes.
  3. Conclure que la série est convergente.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $f:[0,1]\to\mtr$ une fonction continue. Montrer que la série de terme général $\frac{1}{n}\int_0^1 t^nf(t)dt$ est convergente.
Indication
Corrigé
Comparaison à une intégrale
Exercice 9 - Somme partielle des séries de Riemann [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $\alpha\in\mathbb R$.
  1. Pour $\alpha<1$, déterminer un équivalent de $S_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k^\alpha}$.
  2. Pour $\alpha=1$, déterminer un équivalent de $S_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k^\alpha}$.
Indication
Corrigé
Exercice 10 - Reste d'une série de Riemann [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $\alpha>1$. On note $$R_n=\sum_{k=n+1}^{+\infty}\frac 1{n^{\alpha}}.$$
  1. Soit $a\in\mathbb R$. Déterminer $$\lim_{x\to+\infty}\int_a^{x}\frac{dt}{t^\alpha}.$$
  2. En déduire un équivalent simple de $R_n$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Déterminer un équivalent simple de $\ln(n!)$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Déterminer $\displaystyle \lim_{a\to+\infty}\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{a}{n^2+a^2}.$
Indication
Corrigé
Enoncé
On souhaite étudier, suivant la valeur de $\alpha,\beta\in\mathbb R$, la convergence de la série de terme général $$u_n=\frac{1}{n^\alpha(\ln n)^\beta}.$$
  1. Démontrer que la série converge si $\alpha>1$.
  2. Traiter le cas $\alpha<1$.
  3. On suppose que $\alpha=1$. On pose $T_n=\int_2^n \frac{dx}{x(\ln x)^\beta}$.
    1. Montrer si $\beta\leq 0$, alors la série de terme général $u_n$ est divergente.
    2. Montrer que si $\beta>1$, alors la suite $(T_n)$ est bornée, alors que si $\beta\leq 1$, la suite $(T_n)$ tend vers $+\infty$.
    3. Conclure pour la série de terme général $u_n$, lorsque $\alpha=1$.
Indication
Corrigé
Calcul de sommes
Enoncé
Montrer que la série de terme général $$u_n=\frac{1}{\sqrt{n-1}}-\frac{2}{\sqrt{n}}+\frac{1}{\sqrt{n+1}}$$ (pour $n\geq 2$) est convergente, et calculer sa somme.
Indication
Corrigé
Exercice 15 - A partir d'une série géométrique [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $x\in ]-1,1[$. Calculer $\displaystyle \sum_{k=0}^{+\infty}kx^k$.
Indication
Corrigé
Exercice 16 - Avec des exponentielles [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Sachant que $e=\sum_{n\geq 0}\frac1{n!}$, déterminer la valeur des sommes suivantes : $$\begin{array}{lllll} \displaystyle \mathbf 1.\ \dis \sum_{n\geq 0}\frac{n+1}{n!}&&\displaystyle \mathbf 2.\ \dis \sum_{n\geq 0}\frac{n^2-2}{n!}&& \displaystyle \mathbf 3.\ \sum_{n\geq 0}\frac{n^3}{n!}. \end{array}$$
Indication
Corrigé
Exercice 17 - Série harmonique alternée [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
  1. En utilisant l'inégalité de Taylor-Lagrange sur la fonction $t\mapsto {\ln(1+t)}$, montrer que la série $\sum_{n\geq 1}\frac{(-1)^{n-1}}{n}$ est convergente et de somme $\ln 2$.
  2. Sachant que $\dis\frac{1}{k}=\int_0^1 t^{k-1}dt$, retrouver d'une autre façon le résultat précédent.
Indication
Corrigé
Exercice 18 - Somme de la série des inverses des carrés [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Le but de l'exercice est de calculer $\sum_{n\geq 1}\frac1{n^2}$.
  1. Soit $f$ une fonction de classe $C^1$ sur $[0,\pi]$. Démontrer que $$\int_0^\pi f(t)\sin\left(\frac{(2n+1)t}{2}\right)dt\longrightarrow_{n\to+\infty}0.$$
  2. On pose $A_n(t)=\frac12+\sum_{k=1}^n \cos(kt).$ Vérifier que, pour $t\in]0,\pi]$, on a $$A_n(t)=\frac{\sin\left((2n+1)t/2\right)}{2\sin(t/2)}.$$
  3. Déterminer deux réels $a$ et $b$ tels que, pour tout $n\geq 1$, $$\int_0^\pi (at^2+bt)\cos(nt)dt=\frac1{n^2}.$$ Vérifier alors que $$\int_0^\pi(at^2+bt)A_n(t)=S_n-\frac{\pi^2}6.$$
  4. Déduire des questions précédentes que $S_n\to \frac{\pi^2}6.$
Indication
Corrigé
Estimation des sommes partielles et du reste
Enoncé
Soit pour $n\geq 1$, $u_n=\frac 1{(2n-1)5^{2n-1}}$.
  1. Montrer que la série de terme général $u_n$ converge.
  2. On note $R_n=\sum_{k=n+1}^{+\infty}u_{k}$. Montrer que $R_n\leq \frac{25}{24}u_{n+1}$.
  3. En déduire la valeur de $\sum_{n=1}^{+\infty} u_n$ à 0,001 près.
Indication
Corrigé
Exercice 20 - Décroissance très rapide à l'infini [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:[0,+\infty[\to[0,+\infty[$ une fonction de classe $C^1$ telle que $f'/f$ tend vers $-\infty$ en $+\infty$. Montrer que la série converge et donner un équivalent, lorsque $n\to+\infty$, de $R_n=\sum_{k\geq n}f(k)$.
Indication
Corrigé
Applications
Enoncé
  1. Soit $(x_n)$ une suite de réels et soit $(y_n)$ définie par $y_n=x_{n+1}-x_n$. Démontrer que la série $\sum_n y_n$ et la suite $(x_n)$ sont de même nature.
  2. On pose $(u_n)$ la suite définie par $\dis u_n=\frac{n^ne^{-n}\sqrt{n}}{n!}$. Donner la nature de la série de terme général $\dis v_n=\ln\left(\frac{u_{n+1}}{u_n}\right)$.
  3. En déduire l'existence d'une constante $C>0$ telle que : $$n!\sim_{+\infty} C\sqrt{n}n^ne^{-n}.$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $(u_n )$ une suite de réels strictement positifs telle que $$\frac{{u_{n + 1} }}{{u_n }} = 1 + \frac{\alpha }{n} + O\left( {\frac{1}{{n^2 }}} \right)\text{, avec }\alpha \in \mathbb{R}.$$ On fixe $\beta\in\mathbb R$ et on pose $$v_n=\ln\big((n+1)^\beta u_{n+1}\big)-\ln\big(n^\beta u_n\big).$$
  1. Pour quel(s) $\beta \in \mathbb{R}$ y a-t-il convergence de la série de terme général $v_n$?
  2. En déduire qu'il existe $A \in \mathbb{R}^{ + \star} $ pour lequel $u_n \sim_{+\infty} An^\alpha.$
Indication
Corrigé
Exercices théoriques
Exercice 23 - Produit de racines carrées et maximum [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites réelles positives. On suppose que les deux séries $\sum_n u_n$ et $\sum_n v_n$ convergent. Prouver la convergence de $\sum_n \sqrt{u_nv_n}$ et de $\sum_n \max(u_n,v_n)$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $\sum_n u_n$ une série à termes positifs.
  1. On suppose que $\sum_n u_n$ converge. Prouver que, pour tout $\alpha>1$, $\sum_n u_n^\alpha$ converge.
  2. On suppose que $\sum_n u_n$ diverge. Prouver que, pour tout $\alpha\in]0,1[$, $\sum_n u_n^\alpha$ diverge.
Indication
Corrigé
Exercice 25 - Deux séries de même nature [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $(u_n)$ une suite de réels positifs. On pose $v_n=\frac{u_n}{1+u_n}$.
  1. Prouver que la fonction $x\mapsto \frac{x}{1+x}$ est croissante sur $[0,+\infty[$.
  2. Démontrer que les séries $\sum_n u_n$ et $\sum_n v_n$ sont de même nature.
Indication
Corrigé
Exercice 26 - Terme général positif et décroissant [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $(u_n)$ une suite positive et décroissante. Prouver que si la série $\sum_n u_n$ est convergente, alors $(nu_n)$ tend vers 0.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $(u_n)$ une suite décroissante positive. Montrer que les séries $\sum_n u_n$ et $\sum_n 2^nu_{2^n}$ sont de même nature.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $(u_n)$ une suite de réels positifs. On suppose qu'il existe $l\in\mathbb R$ tel que $$\frac{u_{n+1}}{u_n}\to l.$$
    On suppose $l<1$ et on fixe $\varepsilon>0$ tel que $l+\varepsilon<1$.
    1. Démontrer qu'il existe un entier $n_0$ tel que, pour $n\geq n_0$, on a $$u_n\leq (l+\varepsilon)^{n-n_0}u_{n_0}.$$
    2. En déduire que $\sum_n u_n$ converge.
  1. On suppose $l>1$. Démontrer que $\sum_n u_n$ diverge.
  2. Étudier le cas $l=1$.
Indication
Corrigé