$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Nombres réels

Partie entière
Exercice 1 - Partie entière et somme [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $a,b$ deux réels. Prouver que $$\lfloor a\rfloor +\lfloor b\rfloor \leq \lfloor a+b\rfloor \leq \lfloor a\rfloor +\lfloor b\rfloor +1.$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $x\in\mathbb R$ et $n\in\mathbb N^*$. Démontrer que $$\left \lfloor \frac{\lfloor nx\rfloor}{n}\right\rfloor =\lfloor x\rfloor.$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Calculer $\sum_{k=1}^{2010}\lfloor \sqrt k\rfloor $.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $x$ un nombre réel.
  1. Démontrer que $\lfloor x\rfloor+\left\lfloor x+\frac 12\right\rfloor=\lfloor 2x\rfloor$.
  2. Plus généralement, démontrer que pour tout $n\geq 2$, $$\sum_{k=0}^{n-1}\left\lfloor x+\frac kn\right\rfloor=\lfloor nx\rfloor.$$
Indication
Corrigé
Exercice 5 - Avec des racines carrées [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $n\in\mathbb N^*$. Vérifier que $(2+\sqrt 3)^n+(2-\sqrt 3)^n$ est un entier pair. En déduire que la partie entière de $(2+\sqrt 3)^n$ est un entier impair.
Indication
Corrigé
Borne inférieure, borne supérieure
Enoncé
Soient $a,b$ deux réels strictement positifs. Les parties suivantes sont-elles majorées, minorées? Si oui, déterminer leurs bornes supérieures, inférieures. $$\begin{array}{lcl} \displaystyle \mathbf 1.\ \{a+bn;\ n\in\mathbb N\}&&\displaystyle\mathbf 2.\ \{a+(-1)^n b;\ n\in\mathbb N\}\\ \displaystyle\mathbf 3.\ \{a+b/n;\ n\in\mathbb N^*\}&&\displaystyle\mathbf 4.\ \{(-1)^n a+b/n;\ n\in\mathbb N^*\}\\ \displaystyle\mathbf 5.\ \{a+(-1)^n b/n;\ n\in\mathbb N^*\}. \end{array}$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Les ensembles suivants sont-ils majorés? minorés? Si oui, déterminer leur borne inférieure, leur borne supérieure. $$\begin{array}{lll} A=\{x\in\mathbb R;\ x^2<2\}&\quad&B=\left\{\frac 1n;\ n\in\mathbb N^*\right\}\\ C=\left\{\frac1n-\frac 1p;\ (p,n)\in\mathbb N^*\right\}. \end{array}$$
Corrigé
Enoncé
Les parties de $\mathbb R$ suivantes sont elles-minorées, majorées? Dans chaque cas, déterminer s'il y a lieu la borne inférieure, la borne supérieure, et dire s'il s'agit d'un minimum ou d'un maximum. $$A=\left\{\frac{n}{mn+1};\ (m,n)\in\mathbb N^{*2}\right\},\quad\quad B=\left\{\frac{n}{mn+1};\ (m,n)\in\mathbb N^2\right\}.$$
Corrigé
Exercice 9 - Plus petit et plus grand [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $A$ et $B$ deux parties non-vides de $\mathbb R$ telles que : $$\forall a\in A,\ \forall b\in B,\ a\leq b.$$ Démontrer que $A$ est majoré, $B$ est minoré et $\sup(A)\leq \inf(B)$.
Indication
Corrigé
Exercice 10 - Borne sup non atteinte [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $A$ une partie de $\mathbb R$ majorée et on note $M=\sup A$. On suppose que $M\notin A$. Démontrer que, pour tout $\veps>0$, l'intervalle $]M-\veps,M[$ contient une infinité d'éléments de $A$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soient $A$ et $B$ deux parties non-vides et bornées de $\mathbb R$, et $x\in\mathbb R$. On note $$\begin{array}{lcl} \displaystyle-A=\{-a;\ a\in A\}&&A+B=\{a+b;\ a\in A,b\in B\}\\ \displaystyle x+A=\{x+a;\ a\in A\}&&AB=\{ab;\ a\in A,b\in B\}. \end{array}$$
  1. Montrer que $\sup(-A)=-\inf(A)$.
  2. Montrer que $\sup(A+B)=\sup(A)+\sup(B)$.
  3. Montrer que $\sup(x+A)=x+\sup (A)$.
  4. A-t-on toujours $\sup(AB)=\sup(A)\times \sup(B)$? Quelle hypothèse peut-on ajouter pour que cela soit vrai?
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $A$ une partie non-vide et bornée de $\mathbb R$. On note $B=\{|x-y|;\ (x,y)\in A^2\}$.
  1. Justifier que $B$ est majorée.
  2. On note $\delta(A)$ la borne supérieure de cet ensemble. Prouver que $\delta(A)=\sup(A)-\inf(A)$.
Indication
Corrigé
Enoncé
  1. Vérifier que, pour tous réels $x_i,x_j>0$, on a $$\frac{x_i}{x_j}+\frac{x_j}{x_i}=\frac{x_i^2+x_j^2}{x_ix_j}\geq 2.$$
  2. Soit $n\geq 1$ fixé. Déterminer $$\inf\left\{(x_1+\dots+x_n)\left(\frac 1{x_1}+\dots+\frac 1{x_n}\right);\ x_1,\dots,x_n\in\mathbb R_+^*\right\}.$$
Indication
Corrigé
Exercice 14 - Application à l'existence d'un point fixe d'une application croissante de $[0,1]$ dans $[0,1]$ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:[0,1]\to[0,1]$ une application croissante. On note $E=\{x\in [0,1]; f(x)\geq x\}$.
  1. Montrer que $E$ admet une borne supérieure $b$.
  2. Prouver que $f(b)=b$.
Indication
Corrigé
Nombres rationnels et irrationnels
Enoncé
Démontrer que les réels suivants sont irrationels :
  1. $\sqrt x+\sqrt y$ où $x$ et $y$ sont des rationnels positifs tels que $\sqrt x$ et $\sqrt y$ sont irrationnels.
  2. $\sqrt 2+\sqrt 3+\sqrt 5$.
Indication
Corrigé
Exercice 16 - Intervalles et rationnels [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $I$ et $J$ deux intervalles ouverts. On suppose que $(I\cap \mathbb Q)\cap (J\cap\mathbb Q)=\varnothing$. Démontrer que $I\cap J=\varnothing$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $x$ un nombre irrationnel et $(a,b,c,d)\in\mathbb Q^4$. Prouver que, si $ad-bc\neq 0$, alors $\frac{ax+b}{cx+d}$ est un nombre irrationnel.
Indication
Corrigé