Nombres réels
Partie entière
Enoncé
Soient $a,b$ deux réels. Prouver que
$$\lfloor a\rfloor +\lfloor b\rfloor \leq \lfloor a+b\rfloor \leq \lfloor a\rfloor +\lfloor b\rfloor +1.$$
Enoncé
Soit $x\in\mathbb R$ et $n\in\mathbb N^*$. Démontrer que
$$\left \lfloor \frac{\lfloor nx\rfloor}{n}\right\rfloor =\lfloor x\rfloor.$$
Enoncé
Calculer $\sum_{k=1}^{2010}\lfloor \sqrt k\rfloor $.
Enoncé
Soit $x$ un nombre réel.
- Démontrer que $\lfloor x\rfloor+\left\lfloor x+\frac 12\right\rfloor=\lfloor 2x\rfloor$.
- Plus généralement, démontrer que pour tout $n\geq 2$, $$\sum_{k=0}^{n-1}\left\lfloor x+\frac kn\right\rfloor=\lfloor nx\rfloor.$$
Enoncé
Soit $n\in\mathbb N^*$. Vérifier que $(2+\sqrt 3)^n+(2-\sqrt 3)^n$ est un entier pair.
En déduire que la partie entière de $(2+\sqrt 3)^n$ est un entier impair.
Borne inférieure, borne supérieure
Enoncé
Soient $a,b$ deux réels strictement positifs. Les parties suivantes sont-elles majorées, minorées? Si oui, déterminer leurs bornes
supérieures, inférieures.
$$\begin{array}{lcl}
\displaystyle \mathbf 1.\ \{a+bn;\ n\in\mathbb N\}&&\displaystyle\mathbf 2.\ \{a+(-1)^n b;\ n\in\mathbb N\}\\
\displaystyle\mathbf 3.\ \left\{a+\frac bn;\ n\in\mathbb N^*\right\}&&\displaystyle\mathbf 4.\ \left\{(-1)^n a+\frac bn;\ n\in\mathbb N^*\right\}\\
\displaystyle\mathbf 5.\ \left\{a+(-1)^n \frac bn;\ n\in\mathbb N^*\right\}.
\end{array}$$
Enoncé
Les ensembles suivants sont-ils majorés? minorés? Si oui, déterminer leur borne inférieure, leur borne supérieure.
$$\begin{array}{lll}
A=\{x\in\mathbb R;\ x^2<2\}&\quad&B=\left\{\frac 1n;\ n\in\mathbb N^*\right\}\\
C=\left\{\frac1n-\frac 1p;\ p,n\in\mathbb N^*\right\}.
\end{array}$$
Enoncé
Les parties de $\mathbb R$ suivantes sont elles-minorées, majorées? Dans chaque cas, déterminer s'il y a lieu la borne inférieure, la borne supérieure,
et dire s'il s'agit d'un minimum ou d'un maximum.
$$A=\left\{\frac{n}{mn+1};\ (m,n)\in\mathbb N^{*2}\right\},\quad\quad B=\left\{\frac{n}{mn+1};\ (m,n)\in\mathbb N^2\right\}.$$
Enoncé
Soient $A$ et $B$ deux parties non-vides de $\mathbb R$
telles que :
$$\forall a\in A,\ \forall b\in B,\ a\leq b.$$
Démontrer que $A$ est majoré, $B$ est minoré et $\sup(A)\leq \inf(B)$.
Enoncé
Soit $A$ une partie de $\mathbb R$ majorée et on note $M=\sup A$.
On suppose que $M\notin A$. Démontrer que, pour tout $\veps>0$,
l'intervalle $]M-\veps,M[$ contient une infinité d'éléments de $A$.
Enoncé
Soient $A$ et $B$ deux parties non-vides et bornées de $\mathbb R$, et $x\in\mathbb R$.
On note
$$\begin{array}{lcl}
\displaystyle-A=\{-a;\ a\in A\}&&A+B=\{a+b;\ a\in A,b\in B\}\\
\displaystyle x+A=\{x+a;\ a\in A\}&&AB=\{ab;\ a\in A,b\in B\}.
\end{array}$$
- Montrer que $\sup(-A)=-\inf(A)$.
- Montrer que $\sup(A+B)=\sup(A)+\sup(B)$.
- Montrer que $\sup(x+A)=x+\sup (A)$.
- A-t-on toujours $\sup(AB)=\sup(A)\times \sup(B)$? Quelle hypothèse peut-on ajouter pour que cela soit vrai?
Enoncé
Soit $A$ une partie non-vide et bornée de $\mathbb R$. On note $B=\{|x-y|;\ (x,y)\in A^2\}$.
- Justifier que $B$ est majorée.
- On note $\delta(A)$ la borne supérieure de cet ensemble. Prouver que $\delta(A)=\sup(A)-\inf(A)$.
Enoncé
- Vérifier que, pour tous réels $x_i,x_j>0$, on a $$\frac{x_i}{x_j}+\frac{x_j}{x_i}=\frac{x_i^2+x_j^2}{x_ix_j}\geq 2.$$
- Soit $n\geq 1$ fixé. Déterminer $$\inf\left\{(x_1+\dots+x_n)\left(\frac 1{x_1}+\dots+\frac 1{x_n}\right);\ x_1,\dots,x_n\in\mathbb R_+^*\right\}.$$
Exercice 14 - Application à l'existence d'un point fixe d'une application croissante de $[0,1]$ dans $[0,1]$ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:[0,1]\to[0,1]$ une application croissante. On note $E=\{x\in [0,1]; f(x)\geq x\}$.
- Montrer que $E$ admet une borne supérieure $b$.
- Prouver que $f(b)=b$.
Nombres rationnels et irrationnels
Enoncé
Démontrer que les réels suivants sont irrationels :
- $\sqrt x+\sqrt y$ où $x$ et $y$ sont des rationnels positifs tels que $\sqrt x$ et $\sqrt y$ sont irrationnels.
- $\sqrt 2+\sqrt 3+\sqrt 5$.
Enoncé
Soient $I$ et $J$ deux intervalles ouverts. On suppose que $(I\cap \mathbb Q)\cap (J\cap\mathbb Q)=\varnothing$.
Démontrer que $I\cap J=\varnothing$.
Enoncé
Soit $x$ un nombre irrationnel et $(a,b,c,d)\in\mathbb Q^4$. Prouver que, si $ad-bc\neq 0$,
alors $\frac{ax+b}{cx+d}$ est un nombre irrationnel.