$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Math sup : espaces préhilbertiens, euclidiens, matrices orthogonales

Produit scalaire, orthogonalité
Exercice 1 - Produit scalaire et matrices [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Pour $A,B\in\mathcal M_n(\mathbb R)$, on définit $$\langle A,B\rangle=\textrm{tr}(A^T B).$$
  1. Démontrer que cette formule définit un produit scalaire sur $\mathcal M_n(\mathbb R)$.
  2. En déduire que, pour tous $A,B\in\mathcal S_n(\mathbb R)$, on a $$\big(\textrm{tr}(AB))^2\leq \textrm{tr}(A^2)\textrm{tr}(B^2).$$
Indication
Corrigé
Exercice 2 - Des exemples de produit scalaire [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Démontrer que les formules suivantes définissent des produits scalaires sur l'espace vectoriel associé :
  1. $\langle f,g\rangle=f(0)g(0)+\int_0^1 f'(t)g'(t)dt$ sur $E=\mathcal C^1([0,1],\mathbb R)$;
  2. $\langle f,g\rangle=\int_a^b f(t)g(t)w(t)dt$ sur $E=\mathcal C([a,b],\mathbb R)$ où $w\in E$ satisfait $w>0$ sur $]a,b[$.
Indication
Corrigé
Exercice 3 - CNS pour avoir un produit scalaire [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $E$ un espace préhilbertien réel, $a\in E$ un vecteur unitaire et $k\in\mathbb R$. On définit $\phi:E\times E\to\mathbb R$ par $$\phi(x,y)=\langle x,y\rangle+k\langle x,a\rangle\langle y,a\rangle.$$ Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur $k$ pour que $\phi$ soit un produit scalaire.
Indication
Corrigé
Exercice 4 - CNS pour avoir un produit scalaire [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $a,b,c,d\in\mathbb R$. Pour $u=(x,y)$ et $v=(x',y')$, on pose $$\phi(u,v)=axx'+bxy'+cx'y+dyy'.$$ Déterminer une condition nécessaire sur $a,b,c,d$ pour que $\phi$ définisse un produit scalaire sur $\mathbb R^2$.
Indication
Corrigé
Exercice 5 - Quand une inégalité en implique une autre... [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $x,y,z$ trois réels tels que $2x^2+y^2+5z^2\leq 1$. Démontrer que $(x+y+z)^2\leq\frac {17}{10}.$
Indication
Corrigé
Exercice 6 - Applications de l'inégalité de Cauchy-Schwarz [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $x_1,\dots,x_n\in\mathbb R^n$.
  1. Démontrer que $$\left(\sum_{k=1}^n x_k\right)^2\leq n\sum_{k=1}^n x_k^2$$ et étudier les cas d'égalité.
  2. On suppose en outre que $x_k>0$ pour chaque $k\in\{1,\dots,n\}$ et que $x_1+\dots+x_n=1$. Démontrer que $$\sum_{k=1}^n \frac 1{x_k}\geq n^2$$ et étudier les cas d'égalité.
Indication
Corrigé
Exercice 7 - Un calcul de borne inférieure [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E=\mathcal C([a,b],\mathbb R^*)$. Déterminer $\inf_{f\in E}\left(\int_a^b f\times \int_a^b \frac 1f\right)$. Cette borne inférieure est-elle atteinte?
Indication
Corrigé
Exercice 8 - Stricte convexité de la boule [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un espace préhilbertien et soit $B=\{x\in E;\ \|x\|\leq 1\}$. Démontrer que $B$ est strictement convexe, c'est-à-dire que, pour tous $x,y\in B$, $x\neq y$ et tout $t\in ]0,1[$, $\|tx+(1-t)y\|<1$.
Indication
Corrigé
Exercice 9 - Relations usuelles sur les orthogonaux [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un espace préhilbertien, et $A$ et $B$ deux parties de $E$. Démontrer les relations suivantes :
  1. $A\subset B\implies B^\perp\subset A^\perp$.
  2. $(A\cup B)^\perp=A^\perp\cap B^\perp$.
  3. $A^\perp=\textrm{vect}(A)^\perp$;
  4. $\textrm{vect}(A)\subset A^{\perp\perp}$.
  5. On suppose de plus que $E$ est de dimension finie. Démontrer que $\textrm{vect}(A)= A^{\perp\perp}$.
Indication
Corrigé
Exercice 10 - Orthogonal, somme et intersection [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $F$ et $G$ deux sous-espaces vectoriels d'un espace préhilbertien $E$. Montrer que : $$(F+G)^\perp=F^\perp\cap G^\perp.$$ $$F^\perp+G^\perp\subset (F\cap G)^\perp.$$ Que se passe-t-il en dimension finie?
Indication
Corrigé
Bases orthonormales
Exercice 11 - Orthonormalisation de Schmidt [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Dans $\mathbb R^3$ muni du produit scalaire canonique, orthonormaliser en suivant le procédé de Schmidt la base suivante : $$u=(1,0,1),\ v=(1,1,1),\ w=(-1,-1,0).$$
Indication
Corrigé
Exercice 12 - Trouver une base orthonormale [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Déterminer une base orthonormale de $\mathbb R_2[X]$ muni du produit scalaire $$\langle P,Q\rangle=\int_{-1}^1 P(t)Q(t)dt.$$
Indication
Corrigé
Exercice 13 - Une caractérisation des bases orthonormales [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un espace préhilbertien, et $(e_1,\dots,e_n)$ une famille de $n$ vecteurs de $E$ de norme 1 tels que, pour tout $x\in E$, on a $$\|x\|^2=\sum_{k=1}^n \langle x,e_k\rangle^2.$$ Démontrer que $E$ est de dimension $n$ et que $(e_1,\dots,e_n)$ est une base orthonormale de $E$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $E$ un espace euclidien, $f\in\mathcal L(E)$ et $\lambda>0$. On dit que $f$ est une similitude de rapport $\lambda$ si pour tout $x\in E$, $\|f(x)\|=\lambda \|x\|$.
  1. Question préliminaire : soient $u,v\in E$ tels que $u+v\perp u-v$. Démontrer que $\|u\|=\|v\|$.
  2. Démontrer que $f$ est une similitude de rapport $\lambda$ si et seulement si, pour tous $x,y\in E$, $\langle f(x),f(y)\rangle =\lambda^2 \langle x,y\rangle.$
  3. On souhaite prouver que $f$ est une similitude si et seulement $f$ est non-nulle et conserve l'orthogonalité : pour tout couple $(x,y)\in E$, si $x\perp y$, alors $f(x)\perp f(y)$.
    1. Prouver le sens direct.
    2. Soit $(e_1,\dots,e_n)$ une base orthonormale de $E$. Démontrer que, pour tout couple $(i,j)$, $\|f(e_i)\|=\|f(e_j)\|$.
    3. Démontrer le sens réciproque.
Indication
Corrigé
Projections orthogonales, calcul de distances
Exercice 15 - Projection orthogonale dans $\mathbb R^4$ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E=\mathbb R^4$ muni de son produit scalaire canonique et de la base canonique $\mathcal B=(e_1,e_2,e_3,e_4)$. On considère $G$ le sous-espace vectoriel défini par les équations $$\left\{ \begin{array}{rcl} x_1+x_2&=&0\\ x_3+x_4&=&0. \end{array} \right. $$
  1. Déterminer une base orthonormale de $G$.
  2. Déterminer la matrice dans $\mathcal B$ de la projection orthogonale $p_G$ sur $G$.
  3. Soit $x=(x_1,x_2,x_3,x_4)$ un élément de $E$. Déterminer la distance de $x$ à $G$.
Indication
Corrigé
Exercice 16 - Distance à un hyperplan affine [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Dans $\mathbb R^3$ muni de sa structure euclidienne canonique, déterminer la distance de $M(3,4,5)$ au plan $\mathcal P$ d'équation $2x+y-z+2=0$.
Indication
Corrigé
Exercice 17 - Base orthonormale, polynômes et projection [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E=\mtr_3[X]$ muni du produit scalaire suivant : $$(a_0+a_1X+a_2X^2+a_3X^3,b_0+b_1X+b_2X^2+b_3X^3)=a_0b_0+a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3.$$ On pose $H$ l'hyperplan $H=\{P\in E;\ P(1)=0\}$.
  1. Déterminer une base de $H$.
  2. Déterminer une base orthonormale de $H$.
  3. En déduire la projection orthogonale de $X$ sur $H$, puis la distance de $X$ à $H$.
Indication
Corrigé
Exercice 18 - Un produit scalaire sur les polynômes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $E=\mathbb R_n[X]$ et $a_0,\dots,a_n$ des réels distincts. On pose, pour $(P,Q)\in E^2$, $$\langle P,Q\rangle=\sum_{k=0}^n P(a_k)Q(a_k).$$
  1. Vérifier qu'on définit un produit scalaire sur $E$.
  2. Déterminer une base orthonormée de $E$.
  3. Déterminer la distance de $Q\in E$ au sous-espace $H=\left\{P\in E;\ \sum_{k=0}^n P(a_k)=0\right\}.$
Indication
Corrigé
Enoncé
Calculer $\inf_{a,b\in\mathbb R}\int_0^1(x^2-ax-b)^2dx$.
Indication
Corrigé
Exercice 20 - Projecteurs orthogonaux [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un espace vectoriel euclidien, et $p$ un projecteur de $E$. Montrer que $p$ est un projecteur orthogonal si et seulement si pour tout $x$ de $E$, on a $\|p(x)\|\leq \|x\|$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $E$ un espace préhilbertion. Pour $x_1,\dots,x_p$ des vecteurs de $E$, on appelle matrice de Gram la matrice de $\mathcal M_p(\mathbb R)$ définie par $(\langle x_i,x_j\rangle)_{i,j}$. On appelle déterminant de Gram des vecteurs $x_1,\dots,x_p$, et on note $G(x_1,\dots,x_p)$, le déterminant de cette matrice.
  1. Démontrer que $(x_1,\dots,x_p)$ est une famille libre si et seulement si $G(x_1,\dots,x_p)\neq 0$.
  2. On suppose désormais que $(x_1,\dots,x_p)$ est une famille libre, et on note $F=\textrm{vect}(x_1,\dots,x_p)$. Soit également $x\in E$. Démontrer que $$d(x,F)^2=\frac{G(x,x_1,\dots,x_p)}{G(x_1,\dots,x_p)}.$$
Indication
Corrigé
Matrices orthogonales
Exercice 22 - Matrices orthogonales triangulaires supérieures [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Quelles sont les matrices orthogonales triangulaires supérieures?
Indication
Corrigé
Exercice 23 - CNS pour que la matrice soit orthogonale [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $(a,b,c)\in\mathbb R^3$, on pose $S=a+b+c$ et $\sigma=ab+bc+ca$, et $$M=\left(\begin{array}{ccc} a&b&c\\ c&a&b\\ b&c&a \end{array}\right).$$
  1. Démontrer que $M\in O_3(\mathbb R)$ si et seulement $\sigma=0$ et $S=\pm 1$.
  2. Démontrer que $M\in SO_3(\mathbb R)$ si et seulement si $\sigma=0$ et $S=1$.
Indication
Corrigé
Exercice 24 - Une symétrie orthogonale [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E=\mathbb R_3[X]$ muni du produit scalaire $\langle P,Q\rangle =\int_{-1}^1 P(t)Q(t)dt$. On considère l'endorphisme de $E$ défini par $\phi(P)(X)=P(-X)$. Démontrer que $\phi$ est une symétrie orthogonale.
Indication
Corrigé
Exercice 25 - Une symétrie orthogonale [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un espace vectoriel euclidien, et $a\in E\backslash\{0\}$. On pose $$s_a(x)=x-2\frac{(a,x)}{(a,a)}a,$$ Montrer $s_a$ est un endomorphisme orthogonal. Calculer $\ker(s_a-id)$, $\ker(s_a+id)$. Décrire alors géométriquement $s_a$.
Indication
Corrigé
Exercice 26 - Sur les coefficients d'une matrice orthogonale [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $M=(m_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}\in\mathcal O_n(\mathbb R)$. On note $(C_1,\dots,C_n)$ les vecteurs colonnes de $M$, $v=\sum_{j=1}^n C_j$, et $u=\sum_{j=1}^n e_j$, où $(e_1,\dots,e_n)$ est la base canonique de $\mtr^n$ muni de son produit scalaire canonique.
  1. Montrer que $\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n m_{i,j}=(u|v).$
  2. En déduire que $\left|\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n m_{i,j}\right|\leq n$. Cette inégalité est-elle optimale?
  3. Démontrer que $\sum_{1\leq i,j\leq n}|m_{i,j}|\leq n^{3/2}.$
  4. Démontrer que $\sum_{1\leq i,j\leq n}|m_{i,j}|\geq n.$
Indication
Corrigé
Enoncé
  1. Soit $\mathcal B$ une base d'un espace euclidien $E$ et soit $\mathcal C$ l'orthonormalisée de Schmidt de $\mathcal B$. Que dire de la matrice de passage de $\mathcal C$ à $\mathcal B$?
  2. Montrer que, pour toute matrice $A\in GL_n(\mathbb R)$, il existe une matrice orthogonale $Q$ et une matrice triangulaire supérieure $T$ dont tous les coefficients diagonaux sont strictement positifs telles que $A=QR$.
  3. Démontrer que le couple $(Q,R)$ est unique.
Indication
Corrigé
Exercice 28 - Si on enlève la linéarité.... [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un espace vectoriel euclidien et soit $f:E\to E$ une application telle que $$\forall x,y\in E,\ \langle f(x),f(y)\rangle=\langle x,y\rangle.$$
  1. Démontrer que l'image d'une base orthonormale de $E$ par $f$ est une base orthonormale.
  2. En déduire que $f$ est linéaire.
Indication
Corrigé
Matrices orthogonales en dimension 2
Exercice 29 - Echange de deux vecteurs [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un plan vectoriel euclidien orienté, et soient $u$ et $v$ deux vecteurs unitaires de $E$. Déterminer les automorphismes orthogonaux qui envoient $u$ sur $v$.
Indication
Corrigé
Exercice 30 - Rotations et symétries qui commutent [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $E$ un plan euclidien orienté, $r$ une rotation de $E$ et $s$ une symétrie de $E$.
  1. Déterminer l'automorphisme orthogonal $s\circ r\circ s$.
  2. Déterminer l'automorphisme orthogonal $r\circ s\circ r$.
  3. A quelle condition a-t-on $s\circ r=r\circ s$?
Indication
Corrigé