$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Exercices math sup : Polynômes

Opérations sur les polynômes - Formule de Taylor
Enoncé
Soient $a,b$ des réels, et $P(X)=X^4+2aX^3+bX^2+2X+1$. Pour quelles valeurs de $a$ et $b$ le polynôme $P$ est-il le carré d'un polynôme de $\mathbb R[X]$?
Indication
Corrigé
Enoncé
Résoudre les équations suivantes, où l'inconnue est un polynôme $P$ de $\mathbb R[X]$ : $$\begin{array}{lll} \mathbf{1.}\ P(X^2 ) = (X^2 + 1)P(X)&\quad&\mathbf{2.}\ P'^2=4P\\ \mathbf{3.}\ P\circ P=P. \end{array}$$
Indication
Corrigé
Exercice 3 - Le polynôme dérivé divise le polynôme [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Déterminer les polynômes $P$ de degré supérieur ou égal à 1 et tels que $P'|P$.
Indication
Corrigé
Division euclidienne
Enoncé
Calculer le quotient et le reste de la division euclidienne de
  1. $X^4+5X^3+12X^2+19X-7$ par $X^2+3X-1$;
  2. $X^4-4X^3-9X^2+27X+38$ par $X^2-X-7$;
  3. $X^5-X^2+2$ par $X^2+1$.
Corrigé
Enoncé
Soit $P\in \mathbb K[X]$, soit $a\in\mathbb K$ et soit $R$ le reste de la division euclidienne de $P$ par $(X-a)^2$. Exprimer $R$ en fonction de $P(a)$ et de $P'(a)$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $P\in\mathbb R[X]$, $a,b\in\mathbb R$, $a\neq b$. Sachant que le reste de la division euclidienne de $P$ par $(X-a)$ vaut 1 et que le reste de la division euclidienne de $P$ par $X-b$ vaut $-1$, que vaut le reste de la division euclidienne de $P$ par $(X-a)(X-b)$?
Indication
Corrigé
Enoncé
Quel est le reste de la division euclidienne de $(X+1)^n-X^n-1$ par $$ \mathbf{1.}\ X^2-3X+2\quad\quad\mathbf{2.}\ X^2+X+1\quad\quad\mathbf{3.}\ X^2-2X+1? $$
Indication
Corrigé
Enoncé
Démontrer que
  1. $X^{n+1}\cos\big((n-1)\theta\big)-X^n\cos(n\theta)-X\cos\theta+1$ est divisible par $X^2-2X\cos\theta+1$;
  2. $nX^{n+1}-(n+1)X^n+1$ est divisible par $(X-1)^2$.
Indication
Corrigé
Exercice 9 - Divisibilité et composition [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $A,B,P\in\mathbb K[X]$ avec $P$ non-constant. On suppose que $A\circ P|B\circ P$. Démontrer que $A|B$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soient $n$, $p$ deux entiers naturels non nuls et soit $P(X)=\sum_{k=0}^n a_kX^k$ un polynôme de $\mathbb C[X]$. Pour chaque $k\in\{0,\dots,n\}$, on note $r_k$ le reste de la division euclidienne de $k$ par $p$. Démontrer que le reste de la division euclidienne de $P$ par $X^p-1$ est le polynôme $R(X)=\sum_{k=0}^n a_kX^{r_k}$.
Indication
Corrigé
Arithmétique
Enoncé
Déterminer les pgcd suivants :
  1. $P(X)=X^4-3X^3+X^2+4$ et $Q(X)=X^3-3X^2+3X-2$;
  2. $P(X)=X^5-X^4+2X^3-2X^2+2X-1$ et $Q(X)=X^5-X^4+2X^2-2X+1$;
  3. $P(X)=X^n-1$ et $Q(X)=(X-1)^n$, $n\geq 1$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Trouver deux polynômes $U$ et $V$ de $\mathbb R[X]$ tels que $AU+BV=1$, où $A(X)=X^7-X-1$ et $B(X)=X^5-1$.
Indication
Corrigé
Exercice 13 - Polynômes ayant un facteur commun [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $P$ et $Q$ des polynômes de $\mtc[X]$ non constants. Montrer que $P$ et $Q$ ont un facteur commun si, et seulement si, il existe $A,B\in\mtc[X]$, $A\neq 0$, $B\neq 0$, tels que $AP=BQ$ et $\deg(A)<\deg(Q)$, $\deg(B)<\deg(P)$.
Indication
Corrigé
Exercice 14 - Pgcd de deux polynômes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $n,m\geq 1$. Déterminer le pgcd de $X^n-1$ et $X^m-1$.
Indication
Corrigé
Racines
Exercice 15 - Ordre de multiplicité [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Quel est, pour $n\geq 1$, l'ordre de multiplicité de $2$ comme racine du polynôme $$P_n(X)=nX^{n+2}-(4n+1)X^{n+1}+4(n+1)X^n-4X^{n-1}?$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $P(X)=a_nX^n+\dots+a_0$ un polynômes à coefficients dans $\mathbb Z$, avec $a_n\neq 0$ et $a_0\neq 0$. On suppose que $P$ admet une racine rationnelle $p/q$ avec $p\wedge q=1$. Démontrer que $p|a_0$ et que $q|a_n$. Le polynôme $P(X)=X^5-X^2+1$ admet-il des racines dans $\mathbb Q$?
Indication
Corrigé
Exercice 17 - Polynômes définis par certaines valeurs [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
  1. Déterminer un polynôme de degré $2$ tel que $P(-1)=1$, $P(0)=-1$ et $P(1)=-1$. Ce polynôme est -il unique?
  2. Déterminer tous les polynômes $P\in\mathbb R[X]$ tels que $P(-1)=1$, $P(0)=-1$ et $P(1)=-1$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $P\in\mathbb C[X]$. On note, pour $p<n$, $u_p$ la somme des racines de $P^{(p)}$. Démontrer que $u_0,\dots,u_{n-1}$ forme une progression arithmétique.
Indication
Corrigé
Exercice 19 - Déterminer les racines sachant que... [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Dans cet exercice, on souhaite déterminer toutes les racines de polynômes de degré 3 ou 4 connaissant des informations sur ces racines.
  1. Soit $P(X)=X^3-8X^2+23X-28$. Déterminer les racines de $P$ sachant que la somme de deux des racines est égale à la troisième.
  2. Soit $Q(X)=X^4+12X-5$. On note $x_1,x_2,x_3,x_4$ les racines de $Q$. On sait que $x_1+x_2=2$.
    1. Déterminer la valeur de $x_1x_2$, $x_3x_4$ et $x_3+x_4$.
    2. En déduire les valeurs des racines.
Indication
Corrigé
Exercice 20 - Informations sur les racines [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Déterminer les racines du polynôme $8X^3-12X^2-2X+3$ sachant qu'elles sont en progression arithmérique.
Indication
Corrigé
Exercice 21 - Avec le théorème de Rolle [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $P$ un polynôme de $\mathbb R[X]$ de degré $n$ ayant $n$ racines réelles distinctes.
  1. Démontrer que toutes les racines de $P'$ sont réelles.
  2. En déduire que le polynôme $P^2+1$ n'admet que des racines simples.
  3. Reprendre les questions si l'on suppose simplement que toutes les racines de $P$ sont réelles.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $P$ un polynôme de $\mathbb C_n[X]$. Soient $\alpha_1,\dots,\alpha_n$ les racines de $P$, d'images respectives dans le plan complexe $A_1,\dots,A_n$. Soient $\beta_1,\dots,\beta_{n-1}$ les racines de $P'$, d'images respectives dans le plan complexe $B_1,\dots,B_{n-1}$.
  1. Montrer que les familles de points $(A_1,\dots,A_n)$ et $(B_1,\dots,B_{n-1})$ ont même isobarycentre.
  2. Quelle est l'image dans la plan complexe de la racine de $P^{(n-1)}$?
Indication
Corrigé
Enoncé
  1. Soit $P(X)=2X^3-X^2-7X+\lambda$, où $\lambda$ est tel que la somme de deux racines de $P$ vaut $1$. Déterminer la troisième racine. En déduire la valeur de $\lambda$.
  2. Soit $Q(X)=X^3-7X+\mu$ où $\mu$ est tel que l'une des racines de $Q$ soit le double d'une autre. Déterminer les valeurs possibles des racines de $Q$, puis déterminer les valeurs de $\mu$ pour lesquelles cette condition est possible.
Indication
Corrigé
Enoncé
Déterminer tous les polynômes $P\in\mathbb R[X]$ vérifiant $P(0)=0$ et $P(X^2+1)=\big(P(X)\big)^2+1$
Indication
Corrigé
Enoncé
  1. Soit $P\in\mathbb R[X]$ vérifiant $P(X^2)=P(X-1)P(X+1)$.
    1. Démontrer que si $z$ est racine de $P$, il existe une racine de $P$ de module supérieur strict à $z$.
    2. En déduire les polynômes $P\in\mathbb R[X]$ solutions.
  2. Soit $P\in\mathbb R[X]\backslash\{0\}$ vérifiant $P(X^2)=P(X)P(X-1)$.
    1. Démontrer que si $z$ est racine de $P$, alors $z=j$ ou $z=j^2$.
    2. En déduire les polynômes $P\in\mathbb R[X]$ solution.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit, pour $n\geq 0$, $P_n(X)=\sum_{k=0}^n \frac{X^k}{k!}$.
  1. Démontrer que $P_n$ admet $n$ racines simples complexes.
  2. Démontrer que, si $n$ est impair, une et une seule de ces racines est réelle, et que si $n$ est pair, aucune des racines n'est réelle.
Indication
Corrigé
Exercice 27 - Polynômes à valeurs réelles, complexes, rationnelles [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
  1. Déterminer tous les polynômes $P\in\mathbb C[X]$ tels que $P(\mathbb C)\subset\mathbb R$.
  2. Déterminer tous les polynômes $P\in\mathbb C[X]$ tels que $P(\mathbb R)\subset\mathbb R$.
  3. Soit $P\in\mathbb C[X]$. Démontrer que $P(\mathbb Q)\subset\mathbb Q$ si et seulement si $P\in\mathbb Q[X]$.
Indication
Corrigé
Décomposition en produits d'irréductibles
Enoncé
Décomposer en produits d'irréductibles de $\mathbb R[X]$ les polynômes suivants : $$\begin{array}{lllll}\mathbf{1.}\ \ X^4+1&\quad&\mathbf{2.}\ X^8-1&\quad&\mathbf{3.}\ (X^2-X+1)^2+1 \end{array}$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $P$ le polynôme $X^4-6X^3+9X^2+9$.
  1. Décomposer $X^4-6X^3+9X^2$ en produit de facteurs irréductibles dans $\mathbb R[X]$.
  2. En déduire une décomposition de $P$ en produit de facteurs irréductibles dans $\mathbb C[X]$, puis dans $\mathbb R[X]$.
Indication
Corrigé
Exercice 30 - Factorisation simultanée! [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On considère les deux polynômes suivants : $$P(X)=X^3-9X^2+26X-24\textrm{ et }Q(X)=X^3-7X^2+7X+15.$$ Décomposer ces deux polynômes en produits d'irréductibles de $\mathbb R[X]$, sachant qu'ils ont une racine commune.
Indication
Corrigé
Enoncé
Décomposer en produits d'irréductibles de $\mathbb C[X]$ le polynôme $P(X)=X^9+X^6+X^3+1$.
Indication
Corrigé
Exercice 32 - Racines $n$-ièmes de l'unité [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
  1. Rappeler la décomposition en produits d'irréductibles de $X^n-1$.
  2. En déduire la décomposition en produits d'irréductibles de $1+X+\dots+X^{n-1}$.
  3. Calculer $\prod_{k=1}^{n-1}\sin\left(\frac{k\pi}n\right)$.
  4. Pour $\theta\in\mathbb R$, calculer $\prod_{k=0}^{n-1}\sin\left(\frac{k\pi}n+\theta\right)$.
Indication
Corrigé
Exercice 33 - Tout polynôme positif est somme de deux carrés [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On note $$\mathcal S=\{P\in \mathbb R[X];\ \exists P_1,P_2\in \mathbb R[X];\ P=P_1^2+P_2^2\}.$$
  1. Montrer que $\mathcal S$ est stable par produit. On pourra considérer l'application $\phi:\mathbb C[X]\to\mathbb R[X]$, $P\mapsto P\bar P$.
  2. Soit $P\in\mathbb R[X]$ tel que $P(x)\geq 0$ pour tout $x\in\mathbb R$. Montrer qu'il existe $A,B\in\mathbb R[X]$ tels que $P=A^2+B^2$.
Indication
Corrigé
Enoncé
On dit qu'un polynôme $P\in\mathbb C[X]$ de degré $n$ est réciproque s'il s'écrit $P=a_nX^n+\dots+a_0$ avec $a_k=a_{n-k}$ pour tout $k$ dans $\{0,\dots,n\}$.
  1. Soit $P\in\mathbb C[X]$ de degré $n$. Démontrer que $P$ est réciproque si et seulement si $P(X)=X^n P\left(\frac 1X\right)$.
  2. Montrer qu'un produit de polynômes réciproques est réciproque.
  3. On suppose que $P$ et $Q$ sont réciproques et que $Q|P$. Démontrer que $\frac PQ$ est réciproque.
  4. Soit $P\in\mathbb C[X]$ un polynôme réciproque.
    1. Démontrer que si $\alpha$ est une racine de $P$, alors $\alpha\neq 0$ et $\alpha^{-1}$ est une racine de $P$.
    2. Démontrer que si $1$ est une racine de $P$, alors sa multiplicité est supérieure ou égale à $2$.
    3. Démontrer que si le degré de $P$ est impair, alors $-1$ est racine de $P$.
    4. Démontrer que si $P$ est de degré pair et si $-1$ est une racine de $P$, alors sa multiplicité est supérieure ou égale à $2$.
  5. Démontrer que tout polynôme réciproque de $\mathbb C[X]$ de degré $2n$ se factorise en $$P=a_{2n}(X^2+b_1X+1)\dots(X^2+b_n X+1).$$ Que peut-on dire si le degré de $P$ est impair?
Indication
Corrigé