Math Sup : Limite de fonctions - Continuité
Limites en un point - aspect pratique
Enoncé
Étudier les limites suivantes :
$$\begin{array}{lcl}
\displaystyle \mathbf 1.\ \frac{1}{1-x}-\frac{2}{1-x^2}\textrm{ en 1}&&\displaystyle \mathbf 2.\frac{\sqrt x-1}{x-1}\textrm{ en 1}\\
\displaystyle \mathbf 3.\ \frac{x^3+x+5}{5x^3+7x^2+8}\textrm{ en }+\infty&&
\displaystyle \mathbf 4.\ \sqrt{x^2+2x}-x\textrm{ en }+\infty\\
\displaystyle \mathbf 5.\ x^5e^{-x^2}\textrm{ en }+\infty&&\displaystyle \mathbf 6.\ \frac{x+\cos x}{x+\sin x}\textrm{ en }+\infty\\
\displaystyle \mathbf 7.\ \frac{x\ln x+7}{x^2+4}\textrm{ en }+\infty&&\displaystyle \mathbf 8. \frac{4\sin^2 x+3\cos(5x)}{x}\textrm{ en }+\infty.
\end{array}$$
Enoncé
Étudier les limites suivantes :
$$\begin{array}{lcl}
\displaystyle \mathbf 1.\ \frac{e^{3x}+2x+7}{e^x+e^{-x}}\textrm{ en }+\infty&&\displaystyle \mathbf 2.\
\frac{\sqrt{1+x}-\left(1+\frac x2\right)}{x^2}\textrm{ en }0\\
\displaystyle \mathbf 3.\ \frac{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt x}}}{\sqrt{x+1}}\textrm{ en }+\infty&&
\displaystyle \mathbf 4.\ \frac{\sqrt{2x^2+5x+9}-3}{x}\textrm{ en }0\\
\displaystyle \mathbf 5.\ \sqrt{x+\sqrt x}-\sqrt x\textrm{ en }+\infty
\end{array}$$
Enoncé
Étudier les limites à droite en 0 des fonctions suivantes :
$$f:x\mapsto \left\lfloor\frac 1x\right\rfloor,\ g:x\mapsto x\left\lfloor\frac 1x\right\rfloor,\ h:x\mapsto x^2\left\lfloor\frac 1x\right\rfloor.$$
Enoncé
Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$ définie par $f(x)=\lfloor x\rfloor +\sqrt{x-\lfloor x\rfloor }$.
Étudier la continuité de $f$ sur $\mathbb R$.
Enoncé
Soient $a$ et $b$ deux réels strictement positifs. Étudier et déterminer, si elles existent,
les limites en $0$ des fonctions $f:x\mapsto \frac xa \left\lfloor \frac bx\right\rfloor $ et
$g:x\mapsto \left\lfloor \frac xa\right\rfloor \frac bx$.
Exercice 6 - Prolongement par continuité et fonctions trigonométriques [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Dire si les fonctions suivantes sont prolongeables par continuité à $\mathbb R$ tout entier :
- $f(x)=\sin(1/x)$ si $x\neq 0$;
- $g(x)=\sin(x)\sin(1/x)$ si $x\neq 0$;
- $h(x)=\cos(x)\cos(1/x)$ si $x\neq 0$.
Enoncé
Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$ la fonction définie par
$$f(x)=\left\{
\begin{array}{ll}
1&\textrm{si }x\in\mathbb Q\\
0&\textrm{si }x\notin \mathbb Q.
\end{array}\right.$$
Montrer que $f$ est discontinue en tout point.
Enoncé
Soit $f:\mathbb R\to \mathbb R$ la fonction définie par
$$f(x)=\left\{
\begin{array}{ll}
0&\textrm{si $x$ est irrationnel ou $x=0$.}\\
\frac{1}{q}&\textrm{si $x=p/q$, avec $p\in \mathbb Z^*$, $q\geq 1$ et $p\wedge q=1$ }\\
\end{array}\right.$$
En quels points $f$ est-elle continue?
Limites en un point - aspect théorique
Enoncé
- Écrire, à l'aide de quantificateurs, la proposition suivante : $f$ ne tend pas vers $+\infty$ en $+\infty$.
- Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$. On suppose que $f$ admet une limite $\ell$ en $+\infty$, avec $\ell>0$. Démontrer qu'il existe un réel $A>0$ tel que, pour tout $x\geq A$, $f(x)>0$.
Enoncé
Démontrer que si une fonction $f:\mathbb R\to\mathbb R$ est continue en $x_0$, alors $|f|$ est continue en $x_0$. Démontrer que la réciproque est fausse.
Enoncé
Soient $f,g:\mathbb R\to\mathbb R$ deux fonctions continues.
Montrer que $\inf(f,g)$ et $\sup(f,g)$ sont continues.
Exercice 12 - Fonction périodique ayant une limite en $+\infty$ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$ périodique et admettant une limite finie $l$ en $+\infty$. Montrer que $f$ est constante.
Prolongements d'identité
Enoncé
Soient $f,g:\mathbb R\to\mathbb R$ continues.
- On suppose que, pour tout $x\in\mathbb Q$, on a $f(x)<g(x)$.
- Montrer que $f(x)\leq g(x)$ pour tout $x\in\mathbb R$.
- Montrer que l'on n'a pas nécessairement une inégalité stricte dans la question précédente.
- On suppose désormais que, pour tout $x,y\in\mathbb Q$ avec $x<y$, on a $f(x)<f(y)$. Montrer que $f$ est strictement croissante.
Enoncé
Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$ continue telle que,
$$\forall (x,y)\in\mathbb R^2,\ f(x+y)=f(x)+f(y).$$
- Déterminer $f(0)$.
- Démontrer que $f$ est impaire.
- Démontrer que, pour tout $n\geq 1$ et tout $x\in\mathbb R$, $f(nx)=nf(x)$.
- Démontrer que, pour tout $n\in\mathbb Z$ et tout $x\in\mathbb R$, $f(nx)=nf(x)$.
- Démontrer que pour tout nombre rationnel $r=\frac{p}q$ et pour tout $x\in\mathbb R$, on a $$f\left(\frac pq x\right)=\frac pqf(x)$$ (on pourra écrire $p=q\times\frac pq$).
- Conclure qu'il existe $a\in\mathbb R$ tel que, pour tout $x\in\mathbb R$, $f(x)=ax$.
Théorème des valeurs intermédiaires
Enoncé
Les propositions suivantes sont elles vraies ou fausses :
- L'image par une fonction continue d'un intervalle ouvert est un intervalle ouvert.
- L'image par une fonction continue d'un intervalle fermé est un intervalle fermé.
- L'image par une fonction continue d'une partie bornée est une partie bornée.
- L'image réciproque par une fonction continue d'un intervalle est un intervalle.
Enoncé
Montrer que l'équation $x^3+x^2-4x+1=0$ admet au moins trois solutions distinctes dans $\mathbb R$.
En utilisant l'algorithme de dichotomie, donner un encadrement d'amplitude inférieur à $10^{-1}$ de chacune de ces racines.
Enoncé
Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$ continue telle que, pour tout $x\in\mathbb R$, on a $f(x)^2=1$.
Démontrer que $f=1$ ou $f=-1$.
Enoncé
Que dire d'une fonction $f:I\to\mathbb R$, où $I$ est un intervalle, continue,
et ne prenant qu'un nombre fini de valeurs?
Enoncé
Soit $f:[a,b]\to \mathbb R$ une fonction continue, et soient $p,q$ deux réels strictement positifs.
Démontrer qu'il existe $c\in[a,b]$ tel que
$pf(a)+qf(b)=(p+q)f(c).$
Enoncé
Soit $f:[0,1]\to[0,1]$ une fonction continue. Démontrer que $f$ admet toujours au moins un point fixe.
Enoncé
Soit $f:\mathbb R_+\to \mathbb R_+$ continue. On suppose que $x\mapsto \frac{f(x)}x$ admet une limite
finie $l<1$ en $+\infty$. Démontrer que $f$ admet un point fixe.
Enoncé
Un cycliste parcourt 30 km en une heure. Démontrer qu'il existe un intervalle de temps de 10 minutes tel
que le cycliste a parcouru 5 km. Existe-t-il toujours un intervalle de temps de 40 minutes durant lequel il aura parcouru 20km?
Enoncé
Soit $f$ une fonction continue sur un segment $[a,b]$.
On suppose que $f$ vérifie la propriété suivante :
pour tous les points $c<d$ de l'intervalle, il existe $e$ compris entre $c$ et $d$ tel que $f(e)=f(a)$ ou $f(e)=f(b)$. Montrer que $f$ est constante.
Exercice 24 - Non continue et vérifie pourtant la propriété des valeurs intermédiaires [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On considère la fonction $f$ définie sur $[0,1]$ par
$$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
0&\textrm{si }x=0\\
\sin\left(\frac 1x\right)&\textrm{sinon.}
\end{array}
\right.$$
- Démontrer que la fonction $f$ n'est pas continue en 0.
- On souhaite prouver que $f$ vérifie la propriété des valeurs intermédiaires, c'est-à-dire que pour tous réels $a<b$, et pour tout $y$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe $c\in]a,b[$ tel que
$y=f(c)$.
- Traiter le cas $a>0$.
- Si $a=0$, justifier l'existence de $d\in ]a,b[$ tel que $f(d)=f(0)$. Conclure.
Enoncé
Soit $f$ une fonction continue sur $[0,1]$, à valeurs dans $\mathbb R$, et telle que $f(0)=f(1)$.
- Montrer que pour tout entier $n\geq 2$, il existe $c_n\in\left[0,1-\frac 1n \right]$ tel que $$f(c_n)=f\left(c_n+\frac 1n\right).$$
- Montrer que si l'on remplace $1/n$ par un réel $\alpha\in]0,1[$ tel que $1/\alpha$ n'est pas un entier, le résultat précédent n'est plus vrai. On pourra considérer la fonction $f$ définie sur $[0,1]$ par $$f(x)=\cos\left(\frac{2\pi x}\alpha\right)-x\left(\cos\left(\frac{2\pi}{\alpha}\right)-1\right).$$
Fonctions continues bornées
Enoncé
Soit $f,g:[a,b]\to\mathbb R$ continues telles que $f(x)>g(x)$ pour tout $x\in[a,b]$.
- Montrer qu'il existe $\delta>0$ tel que $f(x)\geq g(x)+\delta$ pour tout $x\in[a,b]$.
- On suppose de plus que $g(x)>0$ pour tout $x\in[a,b]$. Montrer qu'il existe $k>1$ tel que $f(x)\geq kg(x)$ pour tout $x\in[a,b]$.
- Les résultats restent-ils vrais si on remplace le segment $[a,b]$ par $\mathbb R$?
Enoncé
Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$ une fonction continue telle que
$\lim_{-\infty}f=\lim_{+\infty}f=+\infty$. Démontrer que $f$ admet un minimum sur $\mathbb R$.
Fonctions continues injectives - fonctions réciproques
Enoncé
Démontrer que la fonction réciproque d'une fonction impaire bijective $f:\mathbb R\to\mathbb R$ est impaire. Que dire pour une fonction paire?
Exercice 29 - Symétrie par rapport à la première bissectrice [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$ dont la courbe représentative $\mathbf C$ est symétrique par rapport à la première bissectrice du repère.
- Démontrer que pour tout $x\in\mathbb R$, on a $f(f(x))=x$.
- Démontrer que si $\mathbf C$ n'est pas la première bissectrice du repère, alors $f$ n'est pas croissante.
- En déduire, si on suppose de plus que $f$ est continue, qu'elle est strictement décroissante.
- Donner un exemple de fonction non décroissante dont la courbe représentative $\mathbf C$ est symétrique par rapport à la première bissectrice (sans être celle-ci).