$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Math sup : intégrales et primitives

Lien dérivée/intégrale
Exercice 1 - Toutes les intégrales sont nulles [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:[a,b]\to\mathbb R$ continue telle que, pour tout couple $(\alpha,\beta)\in[a,b]^2$, on a $\int_\alpha^\beta f(x)dx=0$. Montrer que $f\equiv 0$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$ une fonction dérivable telle que $f'$ est $T$-périodique. On suppose que $f(T)\neq f(0)$.
  1. Montrer que pour tout $n\geq 1$, $f(nT)-f((n-1)T)=f(T)-f(0)$.
  2. En déduire que $f$ n'est pas périodique.
Indication
Corrigé
Enoncé
Déterminer toutes les fonctions continues $f:\mathbb R\to\mathbb R$ vérifiant, pour tous $(x,y)\in\mathbb R^2$, $2yf(x)=\int_{x-y}^{x+y}f(t)dt$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $f$ une fonction de classe $C^1$ réalisant une bijection de $[0,+\infty[$ sur $[0,+\infty[$.
  1. Justifier que $f$ est strictement croissante.
  2. Montrer que, pour tout $x\in\mathbb R^+$, on a $$xf(x)=\int_0^x f(t)dt+\int_{0}^{f(x)}f^{-1}(t)dt.$$
  3. En déduire que, pour tous $x,y\in[0,+\infty[^2$, on a $$xy\leq \int_0^x f(t)dt+\int_0^yf^{-1}(t)dt.$$ Dans quel cas a-t-on égalité?
Indication
Corrigé
Intégrales et suites
Enoncé
Soit $I_n=\int_0^{\pi/2}\sin^n xdx$, pour $n\in\mtn$.
  1. Montrer que la suite $(I_n)$ est décroissante.
  2. Montrer que la suite $(I_n)$ est strictement décroissante.
  3. Soit $\veps\in]0,\pi/2[$.
    1. Montrer que $I_n\leq \frac{\pi}{2}\sin^n\left(\frac\pi 2-\veps\right)+\veps$.
    2. En déduire (proprement!) que $(I_n)$ converge vers 0.
    Dans la suite, on va chercher à déterminer un équivalent de $I_n$ au voisinage de $+\infty$.
  4. Etablir que, pour tout $n\in\mtn$, on a : $(n+2)I_{n+2}=(n+1)I_n$.
  5. Montrer que $$I_{2p}=\frac{(2p)!}{2^{2p}(p!)^2}\frac{\pi}{2}\textrm{ et }I_{2p+1}=\frac{2^{2p}(p!)^2}{(2p+1)!}.$$
  6. Montrer que $(n+1)I_{n+1}I_n=\frac{\pi}{2}$.
  7. Montrer que $\dis \frac{n+1}{n+2}\leq \frac{I_{n+1}}{I_n}\leq 1$.
  8. Montrer que $\dis I_n\sim_{+\infty} \sqrt{\frac{\pi}{2n}}$.
Indication
Corrigé
Exercice 6 - Intégrales de Wallis (bis) [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Pour $n\in\mathbb N$, on pose $$I_n=\int_0^1 (1-t^2)^n dt.$$
  1. Montrer que la suite $(I_n)$ est strictement décroissante.
  2. Montrer que, pour tout $u\in [0,1]$, on a $0\leq 1-u\leq e^{-u}$.
  3. En déduire une majoration de $I_n$ à l'aide de $J_n=\int_0^{\sqrt n}e^{-x^2}dx$.
  4. Montrer que la suite $(J_n)$ est majorée. En déduire que la suite $(I_n)$ converge vers une limite que l'on calculera.
  5. Démontrer que, pour tout $n\geq 1$, $I_{n}=\frac{2n}{2n+1}I_{n-1}$.
  6. En déduire, pour $n\geq 0$, une expression de $I_n$ à l'aide de factorielles,
  7. En déduire une expression de $\int_0^{\pi/2}\cos^{2n+1}\theta d\theta$ pour tout $n\in\mathbb N$.
Indication
Corrigé
Suites d'intégrales
Exercice 7 - Lemme de Riemann-Lebesgue pour les fonctions de classe $C^1$ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:[a,b]\to\mathbb R$ une fonction de classe $C^1$. Démontrer que $$\int_a^b f(t)\sin(nt)dt\to 0.$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $f:[0,1]\to\mathbb R$ une fonction continue. On pose $u_n=\int_0^1 t^n f(t)dt$.
  1. Démontrer que $(u_n)$ tend vers 0.
  2. On suppose de plus que $f$ est $C^1$ et que $f(1)\neq 0$. Déterminer un équivalent de $(u_n)$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $g:[0,1]\to\mathbb R$ continue.
  1. Étudier la suite $(L_n)$ définie par $L_n=\int_0^1 t^n g(t)dt$.
  2. On suppose que $g$ vérifie $g(1)=0$. Étudier la suite $(I_n)$ définie par $I_n=n\int_0^1 t^n g(t)dt.$
  3. On suppose maintenant que $g$ est de classe $C^1$ et vérifie $g(1)=g'(1)=0$. Etudier la suite $(J_n)$ définie par : $J_n=n^2\int_0^1 t^ng(t)dt.$
Indication
Corrigé
Enoncé
On pose $\mathcal E=\{f\in\mathcal C^1([0,1],\mathbb R);\ f(0)=0\textrm{ et }f(1)=1\}$.
  1. Soit $f\in\mathcal E$.
    1. Démontrer que l'on a $$\int_0^1 e^{-t}\big(f'(t)-f(t)\big)dt=\frac 1e.$$
    2. En déduire l'inégalité $$\int_0^1 |f'(t)-f(t)|dt\geq\frac 1e.$$
    3. Discuter le cas d'égalité.
  2. Soit $n\geq 2$ un entier. On définit la fonction $f_n$ sur $[0,1]$ par $$f_n(t)=\left\{ \begin{array}{ll} n(2t-nt^2)e^{t-1}&\textrm{ si }t\in \left[0,\frac 1n\right[\\ e^{t-1}&\textrm{ si }t\in \left[\frac 1n,1\right[. \end{array}\right.$$
    1. Justifier que $f_n\in\mathcal E$.
    2. On pose $$I_n=\int_0^1 |f_n'(t)-f_n(t)|dt.$$ Montrer que $$I_n=\frac 2e\int_0^1 (1-x)e^{x/n}dx.$$
    3. Calculer $\dis \frac2e \int_0^1 (1-x)dx$ puis montrer que $$\left|I_n-\frac 1e\right|\leq \frac 1e\left(e^{1/n}-1\right).$$
    4. Que vaut $\inf_{f\in\mathcal E}\int_0^1 |f'(t)-f(t)|dt$?
Indication
Corrigé
Fonctions définies par une intégrale
Exercice 11 - Logarithme intégral au carré [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
  1. Soient $I,J$ des intervalles de $\mathbb R$, soit $h:I\to\mathbb R$ continue, $u,v:J\to I$ de classe $C^1$ et $$F(x)=\int_{u(x)}^{v(x)}h(t)dt.$$ Justifier que $F$ est $C^1$ et calculer sa dérivée.
  2. On considère la fonction $F$ définie sur $I=]1,+\infty[$ par $$F(x)=\int_x^{x^2}\frac{dt}{(\ln t)^2}.$$ Étudier le sens de variation de $F$ sur $I$.
  3. En utilisant la décroissance sur $I$ de la fonction $t\mapsto \frac1{(\ln t)^2}$, déterminer $\lim_{x\to+\infty}F(x)$.
  4. En utilisant l'inégalité $0<\ln t\leq t-1$ pour $t\in I$, déterminer $\lim_{x\to 1^+}F(x)$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=\int_x^{2x}\frac{dt}{\sqrt{t^4+t^2+1}}$.
  1. Quel est le domaine de définition de $f$? Est-elle paire, impaire?
  2. Étudier les variations de $f$, puis l'existence de limites aux bornes de l'ensemble de définition.
Indication
Corrigé
Enoncé
Étudier la fonction suivante sur $\mathbb R$ : $$f:x\mapsto\int_0^{\sin^2 x}\arcsin\sqrt tdt+\int_0^{\cos^2 x}\arccos \sqrt tdt.$$
Indication
Corrigé
Exercice 14 - Le logarithme intégral [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Question préliminaire : Soient $I,J$ des intervalles de $\mathbb R$, soit $h:I\to\mathbb R$ continue, $u,v:J\to I$ de classe $C^1$ et $$F(x)=\int_{u(x)}^{v(x)}h(t)dt.$$ Justifier que $F$ est $C^1$ et calculer sa dérivée.
On définit, pour $x\in[0,1[$, $$f(x)=\int_x^{x^2}\frac{dt}{\ln t}.$$
  1. En utilisant la concavité du logarithme, démontrer que $$\forall x\in]0,1],\ \forall t\in]x^2,1],\ \frac{2\ln x}{x^2-1}(t-1)\leq \ln t\leq t-1.$$
  2. En déduire que $f$ se prolonge par continuité en 1.
  3. Justifier que $f$ est dérivable sur $[0,1]$, et calculer sa dérivée.
  4. En déduire la valeur de $I=\int_0^1\frac{(t-1)}{\ln t}dt$.
Indication
Corrigé
Formules de Taylor
Enoncé
    1. Soit $a>0$. Démontrer que $$\left|\cos a-1+\frac{a^2}{2!}-\frac{a^4}{4!}\right|\leq \frac{a^5}{5!}.$$
    2. En déduire que $$\frac{337}{384}-\frac{1}{3840}\leq\cos(1/2)\leq\frac{337}{384}+\frac{1}{3840}.$$
  1. Soit $x$ un réel strictement positif. Démontrer que : $$\left|\ln(1+x)-x+\frac{x^2}{2}\right|\leq\frac{x^3}{3}.$$ En déduire une valeur approchée de $\ln(1,003)$ à $10^{-8}$ près.
Indication
Corrigé
Enoncé
  1. Soit $(u_n)$ la suite définie par $$u_n=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\dots+\frac{1}{n!}.$$ Démontrer que $(u_n)$ converge vers $\exp(1)$.
  2. On considère la suite $(u_n)$ définie par $$u_n=1-\frac12+\frac13+\dots+\frac{(-1)^{n-1}}{n}.$$ Montrer que cette suite converge vers $\ln(2)$.
Indication
Corrigé
Exercice 17 - Inégalités de Kolmogorov [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f$ une fonction définie sur $\mtr$, de classe $C^2$. On suppose que $f$ et $f''$ sont bornées, et l'on pose : $$M_0=\sup_{x\in\mtr}|f(x)|,\ \ M_2=\sup_{x\in\mtr}|f''(x)|$$ ($M_0$ et $M_2$ sont donc des nombres réels tels que, pour tout $x$ réel, on a $|f(x)|\leq M_0$ et $|f''(x)|\leq M_2$). Le but de cet exercice est de prouver que $f'$ est bornée, et de majorer $M_1=\sup_{x\in\mtr}|f'(x)|$ en fonction de $M_0$ et $M_2$. Soit $x\in\mtr$, et $h>0$.
  1. Appliquer l'inégalité de Taylor-Lagrange à $f$ entre $x$ et $x+h$ à l'ordre 2.
  2. En déduire l'inégalité : $$|f'(x)|\leq \frac{2M_0}{h}+\frac{hM_2}{2}.$$ En particulier, si on choisit $h=1$, on obtient $|f'(x)|\leq 2M_0+\frac{M_2}{2}$ pour tout $x$ de $\mtr$, ce qui prouve que $f'$ est bornée, avec $M_1\leq 2M_0+\frac{M_2}{2}.$ On se propose de trouver une meilleure majoration :
  3. Etudier la fonction $h\mapsto \frac{2M_0}{h}+\frac{hM_2}{2}$ sur $]0,+\infty[$.
  4. En déduire $M_1\leq 2\sqrt{M_0M_2}.$
Indication
Corrigé
Exercice 18 - Contrôle des dérivées [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$ de classe $C^\infty$ et $\lambda>0$ vérifiant : $$\left\{ \begin{array}{c} f^{(n)}(0)=0\textrm{ pour tout entier }n\geq 0\\ \sup_{\mathbb R}|f^{(n)}|\leq \lambda^nn! \end{array}\right.$$
  1. Montrer que $f=0$ sur l'intervalle $\left]-\frac1\lambda,\frac1\lambda\right[$.
  2. Montrer que $f=0$ sur $\mathbb R$.
Indication
Corrigé
Exercice 19 - Dérivées majorées par un polynôme [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$ une fonction de classe $C^\infty$ vérifiant la propriété suivante : il existe un polynôme $P$ de degré impair tel que, pour tout $n\geq 0$, pour tout $x\in\mathbb R$, $$|f^{(n)}(x)|\leq |P(x)|.$$
  1. Montrer qu'il existe $a\in\mathbb R$ tel que $f^{(n)}(a)=0$ pour tout $n\geq 0$.
  2. En déduire que $f$ est identiquement nulle.
  3. Le résultat subsiste-t-il si on suppose que $P$ est de degré pair?
Indication
Corrigé
Exercice 20 - La dérivée seconde doit être grande [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:[0,1]\to\mathbb R$ de classe $C^2$ vérifiant $f(0)=f'(0)=f'(1)=0$ et $f(1)=1$. Montrer qu'il existe $c\in[0,1]$ tel que $|f''(c)|\geq 4.$
Indication
Corrigé
Exercice 21 - Une égalité étrange [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
En appliquant la formule de Taylor avec reste intégral à la fonction $x\mapsto \ln(1+x^2)$, prouver que : $$\int_0^1\frac{(1+t)(1-t)^2}{(1+t^2)^2}dt=\frac{\ln 2}{2}.$$
Indication
Corrigé
Exercice 22 - Égalité de Taylor-Lagrange [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $a<b$ deux réels.
  1. Soit $g:[a,b]\to\mathbb R$ continue et $n\geq 1$. On note $m=\min_{[a,b]}g$ et $M=\max_{[a,b]}g$.
    1. Démontrer que $$\frac{m(b-a)^{n}}n \leq \int_a^b (b-t)^{n-1} g(t)dt\leq \frac{M(b-a)^{n}}n.$$
    2. En déduire qu'il existe $c\in [a,b]$ tel que $$\int_a^b (b-t)^{n-1} g(t)dt=\frac{(b-a)^{n}g(c)}n.$$
  2. Soit $f:[a,b]\to\mathbb R$ de classe $C^n$. Démontrer qu'il existe $c\in[a,b]$ tel que $$f(b)=\sum_{k=0}^{n-1} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(b-a)^k +\frac{(b-a)^nf^{(n)}(c)}{n!}.$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Démontrer que pour tout $x\in[0;+\infty[$ : $$1-\frac x3+\frac{2x^2}9-\frac{14x^3}{81}\leq\frac1{\sqrt[3]{1+x}}\leq 1-\frac x3+\frac{2x^2}9.$$
Indication
Corrigé
Méthodes numériques de calcul approché d'intégrales
Exercice 24 - Méthode du point médian [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f$ une fonction de classe $C^2$ sur un intervalle $[a,b]$ de $\mathbb R$. On pose $I=\int_a^b f(t)dt$, $I_m=(b-a)f\left(\frac{a+b}2\right)$. On note $M_2=\max\{|f''(x)|;\ x\in[a,b]\}$.
  1. Soit $\Delta(x)=\int_{c-x}^{c+x}f(t)dt-2xf(c)$, où $c=\frac{a+b}2$. Montrer que $|\Delta''(x)|\leq 2xM_2$ pour tout $x\in[0,\frac{b-a}2]$. En déduire une majoration de $\Delta\left(\frac{b-a}{2}\right)$, puis que $$\left|I-I_m\right|\leq M_2 \frac{(b-a)^3}{24}.$$
  2. Pour tout $n\geq 1$, on pose $I_{m,n}=\frac{b-a}{n}\sum_{k=0}^{n-1} f\left(\frac{x_k+x_{k+1}}{2}\right)$ où $x_k=a+k\frac{b-a}n$. Montrer que $$\left|\int_a^b f(x)dx-I_{m,n}\right|\leq\frac{(b-a)^3}{24n^2}M_2.$$
Indication
Corrigé
Exercice 25 - Méthode des trapèzes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f$ une fonction de classe $C^2$ sur un intervalle $[a,b]$ de $\mathbb R$. On pose $I=\int_a^b f(t)dt$ et on note $M_2=\max\{|f''(x)|;\ x\in[a,b]\}$.
  1. Montrer que $I=(b-a)\frac{f(a)+f(b)}{2}+\int_a^b \frac{(t-a)(t-b)}{2}f''(t)dt$.
  2. Montrer que $\int_a^b \frac{(t-a)(b-t)}{2}dt=\frac{(b-a)^3}{12}$.
  3. On fixe $n\geq 1$, et on pose $a_k=a+k\frac{b-a}{n}$. On note $I_n$ la valeur approchée de $I$ obtenue par la méthode des trapèzes avec $n$ intervalles. Exprimer $I_n$ en fonction des $a_k$, puis démontrer que $$|I-I_n|\leq\frac{M_2(b-a)^3}{12n^2}.$$
Indication
Corrigé