$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Math sup : intégration sur un segment

Fonctions uniformément continues
Exercice 1 - Manipuler la définition [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$. Écrire, avec des quantificateurs, que $f$ n'est pas uniformément continue.
Corrigé
Exercice 2 - Sont-elles uniformément continues? [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f$ une fonction uniformément continue sur une partie $D$ de $\mathbb R$. Soient $(x_n)$ et $(y_n)$ deux suites d'éléments de $D$ telles que $\lim_{n\to+\infty}(x_n-y_n)=0$.
  1. Démontrer que $\lim_{n\to+\infty}(f(x_n)-f(y_n))=0$.
  2. Dire si les fonctions suivantes sont uniformément continues sur l'intervalle considéré.
    1. $f(x)=1/x$ sur $[1,+\infty[$.
    2. $f(x)=1/x$ sur $]0,1]$.
    3. $f(x)=\sin(x^2)$ sur $\mathbb R$.
Indication
Corrigé
Exercice 3 - Fonctions continues périodiques [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f$ une fonction continue sur $\mtr$ admettant une période $T$. Prouver que $f$ est uniformément continue.
Indication
Corrigé
Exercice 4 - Avec une limite à l'infini [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:\mathbb R_+\to\mathbb R$ une fonction continue admettant une limite (finie) en $+\infty$. Montrer que $f$ est uniformément continue.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $f:I\to\mathbb R$ et $g:\mathbb R\to\mathbb R$.
  1. On suppose que $f$ et $g$ sont uniformémement continues. Montrer que $g\circ f$ est uniformément continue.
  2. On suppose que $f$ est uniformément continue et bornée et que $g$ est continue. Démontrer que $g\circ f$ est uniformément continue.
Indication
Corrigé
Propriétés fondamentales de l'intégrale
Enoncé
  1. Soient $m,n\in\mathbb Z^2$ avec $n\geq m$. Calculer $\int_m^n \lfloor x \rfloor dx$.
  2. Calculer $\int_{-1}^2 x|x|dx$.
  3. Calculer, pour tout $a\in\mathbb R$, $I(a)=\int_0^1 \min(x,a)dx$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $f:[a,b]\to\mathbb R$ continue telle que $|f(x)|\leq 1$ pour tout $x\in[a,b]$ et $\int_a^b f(x)dx=b-a$. Que dire de $f$?
Corrigé
Exercice 8 - Intégrale de $f$ et de $f^2$ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Déterminer les fonctions continues $f:[0,1]\to [0,1]$ vérifiant $\int_0^1 f(t)dt=\int_0^1 f^2(t)dt$.
Indication
Corrigé
Exercice 9 - Égalité des valeurs absolues [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:[a,b]\to\mathbb R$ une fonction continue telle que $$\left|\int_a^b f(t)dt\right|=\int_a^b |f(t)|dt.$$ Montrer que $f$ garde un signe constant sur $[a,b]$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $f:[a,b]\to\mathbb R$ continue. Démontrer que sa valeur moyenne est atteinte : il existe $c\in [a,b]$ tel que $$f(c)=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(t)dt.$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $f:[0,1]\to\mathbb R$ une fonction continue. Pour tout $x\in\mathbb R$, on pose $$g(x)=\int_0^1 f(t)e^{tx}dt.$$ Démontrer que $g$ est une fonction continue sur $\mathbb R$.
Indication
Corrigé
Exercice 12 - Lemme de Riemann-Lebesgue [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $\varphi$ une fonction en escalier sur $[a,b]$. On pose $$u_n=\int_a^b\varphi(x)\sin(nx)dx.$$ Montrer que $\lim_{n\to+\infty}u_n=0$. Montrer que cette propriété est conservée si $\varphi$ est continue par morceaux sur $[a,b]$.
Indication
Corrigé
Sommes de Riemann
Enoncé
Calculer la limite des suites suivantes :
  1. $\dis u_n=\frac 1n\left(\sin\left(\frac{\pi}{n}\right)+\sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)+\dots+\sin\left(\frac{n\pi}{n}\right)\right).$
  2. $\dis u_n=n\left(\frac{1}{(n+1)^2}+\dots+\frac{1}{(n+n)^2}\right).$
  3. $\dis u_n=\frac{\sqrt{1}+\sqrt{2}+\dots+\sqrt{n-1}}{n\sqrt{n}}.$
  4. $\dis u_n=\sqrt[n]{\left(1+\left(\frac{1}{n}\right)^2\right)\left(1+\left(\frac{2}{n}\right)^2\right)\dots\left(1+\left(\frac{n}{n}\right)^2\right)}$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Déterminer la limite de $$v_n=\frac1n\prod_{k=1}^n (k+n)^{1/n}.$$
Indication
Corrigé
Exercice 15 - Somme presque harmonique [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Déterminer la limite de $S_n=\sum_{p=n}^{2n}\frac 1p$.
Indication
Corrigé
Exercice 16 - Somme de Riemann alternée [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f$ continue sur $[a,b]$. Déterminer la limite de la suite $u_n=\frac 1n\sum_{k=0}^n (-1)^k f\left(\frac kn\right).$
Indication
Corrigé
Intégrales et suites
Exercice 17 - Série harmonique alternée [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Pour $n\geq 0$, on définit $$I_n=\int_0^1 \frac{x^n}{1+x}dx.$$
  1. Démontrer que la suite $(I_n)$ tend vers 0.
  2. Pour $n\geq 0$, calculer $I_n+I_{n+1}$.
  3. En déduire $\lim_{n\to+\infty}\sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{k+1}$.
Indication
Corrigé
Exercice 18 - Un équivalent de $\ln(n!)$ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
    1. Montrer que, pour tout $i\geq 2$, $$\int_{i-1}^i\ln t\,dt\leq\ln i\leq\int_i^{i+1}\ln t \,dt.$$
    2. Montrer que, pour tout entier $n\geq 1$, $$\int_1^n \ln t\,dt\leq \ln(n!)\leq \int_1^n\ln t \,dt+\ln n.$$
  1. Pour tout $x>0$, calculer $F(x)=\int_1^x \ln t\, dt.$
  2. En déduire que $\ln(n!)$ est équivalent à $n\ln(n)$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.
Indication
Corrigé
Enoncé
On pose, pour $n\geq 1$, $$u_n=\sum_{k=1}^n \frac1k\textrm{ et }v_n=u_n-\ln n.$$
  1. Démontrer que, pour tout entier naturel $k$ non nul, on a $$\frac{1}{k+1}\leq\int_k^{k+1}\frac 1xdx\leq \frac 1k.$$
  2. En déduire que pour tout entier $n\geq 2$, on a $$u_n-1\leq \ln n\leq u_n-\frac 1n\textrm{ et }0\leq v_n\leq 1.$$
  3. Démontrer que pour tout entier naturel non nul, $$v_{n+1}-v_n=\frac1{n+1}-\int_n^{n+1}\frac{dx}x.$$
  4. En déduire que la suite $(v_n)$ converge vers une limite $\gamma$ (que l'on ne cherchera pas à calculer). Que dire de $(u_n)$?
Indication
Corrigé
Suites d'intégrales
Enoncé
Calculer la limite de la suite $(u_n)$ dans les cas suivants : $$\begin{array}{lll} \mathbf 1. u_n=\int_0^1 x^n\ln(1+x)dx&\quad&\mathbf 2. u_n=\int_0^n \frac{dt}{1+e^{nt}}. \end{array} $$
Indication
Corrigé
Exercice 21 - Strictement croissante [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:[0,1]\to\mathbb R$ strictement croissante telle que $f(0)=0$ et $f(1)=1$. Prouver que $\lim_{n\to+\infty}\int_0^1\big(f(t))^n dt=0.$
Indication
Corrigé
Exercice 22 - Ces\`aro pour les intégrales [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:[0,+\infty[\to\mathbb R$ une fonction continue admettant une limite finie $a$ en $+\infty$. Montrer que $$\frac 1x\int_0^x f(t)dt\to a\textrm{ quand }x\to+\infty.$$
Indication
Corrigé
Exercice 23 - Norme $p$ et norme infinie [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f$ une fonction définie, continue, positive sur $[a,b]$. Montrer que $$\lim_{n\to +\infty}\left(\int_a^b f(x)^n dx\right)^{1/n}=\sup_{x\in [a,b]}f(x).$$
Indication
Corrigé
Inégalité de Cauchy-Schwarz
Exercice 24 - Norme deux d'une fonction et de sa dérivée [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:[a,b]\to\mathbb R$ de classe $C^1$ telle que $f(a)=0$.
  1. Prouver que, pour tout $x\in[a,b]$, $$|f(x)|^2\leq (x-a)\int_a^b |f'(t)|^2dt.$$
  2. En déduire que $$\int_a^b |f(x)|^2dx\leq\frac{(b-a)^2}{2}\int_a^b |f'(x)|^2dx.$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $E$ l'ensemble des fonctions continues strictement positives sur $[0,1]$. Calculer, après en avoir justifié l'existence $$\inf_{f\in E}\left(\int_0^1 f(x)dx\times\int_0^1\frac1{f(x)}dx\right).$$ Cette borne inférieure est-elle atteinte? Si oui, par quelles fonctions?
Indication
Corrigé