$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Nombres réels et études de fonctions

Valeur absolue - Inégalité dans $\mathbb R$
Exercice 1 - Maximum et valeur absolue [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $x$ et $y$ deux nombres réels. Démontrer que $$\max(x,y)=\frac12(x+y+|x-y|)$$ $$\min(x,y)=\frac12(x+y-|x-y|).$$
Indication
Corrigé
Exercice 2 - Egalités et inégalités avec des valeurs absolues [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Résoudre dans $\mathbb R$ les équations et inéquations suivantes : $$\begin{array}{lll} \mathbf{1.}\ |x+3|=5&\quad& \mathbf{2.}\ |x+3|\leq 5\\ \mathbf{3.}\ |x+2|>7&\quad& \mathbf{4.}\ |2x-4|\leq |x+2|\\ \end{array} $$
Indication
Corrigé
Exercice 3 - Inégalités avec des valeurs absolues [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $x$ et $y$ des réels. Démontrer les inégalités suivantes : $$\begin{array}{lcl} \displaystyle \mathbf 1.\ |x|+|y|\leq |x+y|+|x-y|&&\displaystyle\mathbf 2.\ 1+|xy-1|\leq (1+|x-1|)(1+|y-1|)\\ \displaystyle\mathbf 3.\ \frac{|x+y|}{1+|x+y|}\leq \frac{|x|}{1+|x|}+\frac{|y|}{1+|y|}. \end{array}$$
Indication
Corrigé
Fonctions logarithme, exponentielle, puissance
Enoncé
Résoudre sur $\mathbb R$ les équations suivantes : $$ \begin{array}{lll} {\bf 1.}\ \ln(x^2-1)-\ln(2x-1)+\ln 2=0&\quad\quad&{\bf 2.}\ \log_{10}(x+2)-\log_{10}(x+1)=\log_{10}(x-1). \end{array} $$
Indication
Corrigé
Enoncé
Résoudre l'équation $x^{\sqrt x}={\left(\sqrt x\right)}^x$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Résoudre l'équation suivante : $$\left\{ \begin{array}{rcl} x^y&=&y^x\\ x^2&=&y^3\\ \end{array} \right.$$ avec $(x,y)\in]0,+\infty[^2$.
Corrigé
Enoncé
Simplifier les expressions suivantes : $$\begin{array}{lll} \displaystyle \mathbf{1.}\ x^{\frac{\ln(\ln x)}{\ln x}};&\quad&\displaystyle\mathbf{2.}\ \log_x\left(\log_x x^{x^y}\right)\\ \end{array}$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Étudier la fonction $f:x\mapsto x^{-\ln x}$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Démontrer que, pour tout $x\geq 0$, on a $$x-\frac{x^2}2\leq \ln(1+x)\leq x.$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $g:\mathbb R_+\to\mathbb R$ définie par $g(x)=(x-2)e^{x}+(x+2)$. Démontrer que $g\geq 0$ sur $\mathbb R_+$.
Indication
Corrigé
Exercice 11 - Limites et croissances comparées [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Déterminer la limite en $+\infty$ des fonctions suivantes : $$ \begin{array}{lll} \mathbf 1.\ \ln(x)-e^x&\quad&\mathbf 2.\ \frac{x^3}{\exp(\sqrt x)}\\ \mathbf 3.\ \frac{\ln(1+e^x)}{\sqrt x}&\quad&\mathbf 4.\ \frac{\exp(\sqrt x)+1}{\exp(x^2)+1}. \end{array} $$
Indication
Corrigé
Enoncé
Discuter, selon les valeurs de $a\in\mathbb R$, le nombre de solutions de l'équation $$\frac 1{x-1}+\frac 12\ln\left|\frac{1+x}{1-x}\right|=a.$$
Indication
Corrigé
Exercice 13 - Le logarithme n'est pas une fraction rationnelle [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
  1. Soit $f$ un polynôme de degré $n$, $f(x)=a_n x^n+\dots+a_1x+a_0$, avec $a_n\neq 0$. Démontrer que $x^{-n} f(x)$ admet une limite non-nulle en $+\infty$.
  2. On suppose qu'il existe deux polynômes $P$ et $Q$ tels que, pour tout $x>0$, $$\ln x=\frac{P(x)}{Q(x)}.$$ On note $p=\deg P$ et $q=\deg Q$. Démontrer que $x^{q-p}\ln (x)$ admet une limite non-nulle en $+\infty$.
  3. En déduire que l'hypothèse fait à la question précédente est fausse.
Indication
Corrigé
Enoncé
Déterminer les limites suivantes : $$\begin{array}{lll} \displaystyle \mathbf{1.}\ \lim_{x\to+\infty}\frac{{(x^x)}^x}{x^{(x^x)}};&\quad&\displaystyle\mathbf{2.}\ \lim_{x\to+\infty}\frac{a^{(b^x)}}{b^{(a^x)}}\textrm{ avec }1<a<b;\\ \displaystyle \mathbf{3.}\ \lim_{x\to+\infty}\frac{a^{(a^x)}}{x^{(x^a)}}\textrm{ avec }a>1. \end{array}$$
Indication
Corrigé
Exercice 15 - Racine d'une somme de puissances [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $p\geq 2$ un entier et $0<a_1<\dots<a_p$ des nombres réels positifs.
  1. Montrer que, pour tout $a>a_p$, l'équation $a_1^x+\dots+a_p^x=a^x$ admet une unique racine $x_a$.
  2. Etudier le sens de variation de $a\mapsto x_a$.
  3. Déterminer l'existence et calculer $\lim_{a\to+\infty}x_a$ et $\lim_{a\to+\infty}x_a\ln(a)$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Trouver la plus grande valeur de $\sqrt[n]n$, $n\in\mathbb N^*$.
Indication
Corrigé
Fonctions hyperboliques
Exercice 17 - Somme de cosinus hyperboliques [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Montrer que $$\sum_{k=0}^n\cosh(kx)=\frac{\cosh(nx/2)\sinh\big((n+1)x/2\big)}{\sinh(x/2)}.$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Résoudre l'équation $\cosh(x)=2$.
Indication
Corrigé
Enoncé
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb R^*$ par $f(x)=x\sinh(1/x)$.
  1. Étudier la parité de $f$.
  2. Étudier le comportement de $f$ en $\pm\infty$, en $0$.
  3. Justifier que $f$ est dérivable sur $\mathbb R^*$ et calculer sa dérivée.
  4. Justifier que pour tout $y\geq 0$, $\tanh(y)\leq y$. En déduire le tableau de variations de $f$, puis tracer la courbe représentative de $f$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Démontrer que, pour tout $x\in\mathbb R$ et tout $n\geq 1$, on a $$\left(\frac{1+\tanh(x)}{1-\tanh(x)}\right)^n=\frac{1+\tanh(nx)}{1-\tanh(nx)}.$$
Indication
Corrigé
Fonctions sinus, cosinus, tangente
Enoncé
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb R$ par $$f(x)=\cos3x\cos^3x.$$
  1. Pour $x\in\mathbb R$, exprimer $f(-x)$ et $f(x+\pi)$ en fonction de $f(x)$. Sur quel intervalle $I$ peut-on se contenter d'étudier $f$?
  2. Vérifier que $f'(x)$ est du signe de $-\sin(4x)$, et on déduire le sens de variation de $f$ sur $I$.
  3. Tracer la courbe représentative de $f$.
Indication
Corrigé
Enoncé
On considère la fonction $f$ définie par $$f(x)=\frac{\sin x}{1+\sin x}.$$ On note $\Gamma$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
  1. Quel est le domaine de définition de $f$? Vérifier que $f$ est $2\pi$-périodique.
  2. Comparer $f(\pi-x)$ et $f(x)$. Que dire sur $\Gamma$?
  3. Étudier les variations de $f$ sur l'intervalle $\left]-\frac\pi 2,\frac\pi 2\right]$, puis déterminer la limite de $f$ en $-\pi/2$.
  4. Construire $\Gamma$ à l'aide des renseignements précédents.
Indication
Corrigé
Fonctions circulaires réciproques
Enoncé
Calculer $$\arccos \left(\cos\frac{2\pi}3\right),\quad \arccos\left(\cos\frac{-2\pi}{3}\right),\quad\arccos\left(\cos\frac{4\pi}{3}\right).$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Simplifier les expressions suivantes : $$\tan(\arcsin x),\quad \sin(\arccos x),\quad \cos(\arctan x).$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $f$ la fonction définie par $$f(x)=\arcsin\left(2x\sqrt{1-x^2}\right).$$
  1. Quel est l'ensemble de définition de $f$?
  2. En posant $x=\sin t$, simplifier l'écriture de $f$.
Indication
Corrigé
Enoncé
  1. Démontrer que, pour tout $t\in]-\pi/2,\pi/2[\backslash\{0\}$, on a $ \displaystyle \frac{1-\cos t}{\sin t}=\tan(t/2).$
  2. En déduire une forme simplifiée de $\displaystyle \arctan\left(\frac{\sqrt{1+x^2}-1}x\right),$ pour $x\neq 0$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Montrer que, pour tout $x\in[-1,1]$, $\arccos(x)+\arcsin(x)=\frac\pi2$.
Indication
Corrigé
Enoncé
  1. Pour quelles valeurs de $x$ a-t-on $\sqrt{1-x^2}\leq x$?
  2. Etudier la fonctions $x\mapsto \sqrt{1-x^2}\exp\big(\arcsin(x)\big).$
Indication
Corrigé
Exercice 29 - Existence de solutions [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Discuter, suivant les valeurs des paramètres $a$ et $b$, l'existence de solutions pour les équations suivantes :
  1. $\arcsin x=\arcsin a+\arcsin b$;
  2. $\arcsin x=\arccos a+\arccos b$;
(on ne demande pas de résoudre les équations!).
Indication
Corrigé
Enoncé
Résoudre les équations suivantes : $$\begin{array}{lll} \mathbf{1.}\ \arcsin x=\arccos\frac13-\arccos\frac14&\quad&\mathbf{2.}\ \arcsin\frac{2x}{1+x^2}=\frac{\pi}3;\\ \mathbf{3.}\ \arctan 2x+\arctan 3x=\frac{\pi}4;&\quad&\mathbf{4.}\ \arcsin x+\arcsin \sqrt{1-x^2}=\frac\pi2;\\ \mathbf{5.}\ \arcsin x=\arctan 2+\arctan 3. \end{array}$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Calculer $\arctan 2+\arctan 5+\arctan8.$
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $p\in\mathbb N$.
  1. Vérifier que $\arctan(p+1)-\arctan p=\arctan\left(\frac{1}{p^2+p+1}\right)$.
  2. Déterminer la limite de $S_n=\sum_{p=0}^n\arctan\left(\frac1{p^2+p+1}\right)$.
Indication
Corrigé
Enoncé
  1. Montrer que pour tout $x\in\mathbb R$, $\arctan x+2\arctan\left(\sqrt{1+x^2}-x\right)=\frac{\pi}2$.
  2. Calculer, pour tous $x,y\in\mathbb R$ avec $y\neq 1/x$, $$\arctan\left(\frac{x+y}{1-xy}\right)-\arctan x-\arctan y.$$
Indication
Corrigé
Exercice 34 - Polynômes de Chebychev [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Pour $n\in\mathbb N$, on pose $f_n(x)=\cos(n\arccos x)$ et $g_n(x)=\frac{\sin(n \arccos x)}{\sqrt{1-x^2}}$. Prouver que $f_n$ et $g_n$ sont des fonctions polynomiales.
Indication
Corrigé
Fonctions réciproques
Exercice 35 - Etude de fonction et de la réciproque [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$ définie par $f(x)=xe^x$.
  1. Etudier les variations de $f$ et ses limites en $\pm \infty$. Préciser la tangente à la courbe représentative de $f$ en l'origine.
  2. Démontrer que $f$ induit une bijection $h$ de $[-1,+\infty[$ sur $[-e^{-1}, +\infty[$.
  3. On note $W$ l'application réciproque de $h$. Justifier que $W$ est dérivable sur $]-e^{-1}, +\infty[$ et vérifier que, pour $x\neq 0$, $$W'(x)=\frac{W(x)}{x(1+W(x))}.$$
Indication
Corrigé
Exercice 36 - Dérivée de la réciproque [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Démontrer que les fonctions suivantes sont bijectives, et donner l'équation de la tangente à la courbe $y=f^{-1}(x)$ au point $x=0$.
  1. $f:]0,+\infty[\to \mathbb R$, $f(x)=-1+e^{x-1}+\ln x$;
  2. $f:\mathbb R\to\mathbb R$, $f(x)=4x+\sin^4 x$.
Indication
Corrigé
Exercice 37 - Fonction réciproque et fonctions circulaires réciproques [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f$ la fonction définie par $2\arcsin x+\arcsin f(x)=\frac{\pi}6$. Donner l'ensemble de définition de $f$. Prouver qu'elle admet une fonction réciproque dont on donnera l'ensemble de définition.
Corrigé