$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Math sup : généralités sur les espaces vectoriels

Sous-espace vectoriel
Exercice 1 - Est-ce un sous-espace vectoriel? [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Parmi les ensembles suivants, lesquels sont, ou ne sont pas, des sous-espaces vectoriels?
  1. $E_1=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3;\ x+y+3z=0\}$;
  2. $E_2=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3;\ x+y+3z=2\}$;
  3. $E_3=\{(x,y,z,t)\in\mathbb R^4;\ x=y=2z=4t\}$;
  4. $E_4=\{(x,y)\in\mathbb R^2;\ xy=0\}$;
  5. $E_5=\{(x,y)\in\mathbb R^2;\ y=x^2\}$;
  6. $E_6=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3;\ 2x+3y-5z=0\}\cap\{(x,y,z)\in\mathbb R^3;\ x-y+z=0\}$;
  7. $E_7=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3;\ 2x+3y-5z=0\}\cup\{(x,y,z)\in\mathbb R^3;\ x-y+z=0\}$.
Indication
Corrigé
Exercice 2 - Est-ce un sous-espace vectoriel (bis)? [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Déterminer si les ensembles suivants sont ou ne sont pas des sous-espaces vectoriels :
  1. $E_1=\{P\in\mathbb R[X];\ P(0)=P(2)\}$;
  2. $E_2=\{P\in\mathbb R[X];\ P'(0)=2\}$;
  3. Pour $A\in\mathbb R[X]$ non-nul fixé, $E_3=\{P\in\mathbb R[X]; A|P\}$;
  4. $\mathcal D$ l'ensemble des fonctions de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$ qui sont dérivables;
  5. $E_4$, l'ensemble des solutions de l'équation différentielle $y'+a(x) y=0$, où $a\in\mathcal D$.
  6. $E_5$, l'ensemble des solutions de l'équation différentielle $y'+a(x) y=x$, où $a\in\mathcal D$.
Indication
Corrigé
Exercice 3 - Réunion de deux sous-espaces vectoriels [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un espace vectoriel et soient $F$ et $G$ deux sous-espaces vectoriels de $E$. Montrer que $F\cup G$ est encore un sous-espace vectoriel de $E$ si et seulement si $F\subset G$ ou $G\subset F$.
Indication
Corrigé
Combinaisons linéaires
Exercice 4 - Combinaisons linéaires? [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Les vecteurs $u$ suivants sont-ils combinaison linéaire des vecteurs $u_i$?
  1. $E=\mathbb R^2$, $u=(1,2)$, $u_1=(1,-2)$, $u_2=(2,3)$;
  2. $E=\mathbb R^2$, $u=(1,2)$, $u_1=(1,-2)$, $u_2=(2,3)$, $u_3=(-4,5)$;
  3. $E=\mathbb R^3$, $u=(2,5,3)$, $u_1=(1,3,2)$, $u_2=(1,-1,4)$;
  4. $E=\mathbb R^3$, $u=(3,1,m)$, $u_1=(1,3,2)$, $u_2=(1,-1,4)$ (discuter suivant la valeur de $m$).
Indication
Corrigé
Enoncé
Émile achète pour sa maman une bague contenant 2g d'or, 5g de cuivre et 4g d'argent. Il la paie 6200 euros.
Paulin achète pour sa maman une bague contenant 3g d'or, 5g de cuivre et 1g d'argent. Il la paie 5300 euros.
Frédéric achète pour sa chérie une bague contenant 5g d'or, 12g de cuivre et 9g d'argent. Combien va-t-il la payer?
Indication
Corrigé
Familles libres
Enoncé
Les familles suivantes sont-elles libres dans $\mathbb R^3$ (ou $\mathbb R^4$ pour la dernière famille)?
  1. $(u,v)$ avec $u=(1,2,3)$ et $v=(-1,4,6)$;
  2. $(u,v,w)$ avec $u=(1,2,-1)$, $v=(1,0,1)$ et $w=(0,0,1)$;
  3. $(u,v,w)$ avec $u=(1,2,-1)$, $v=(1,0,1)$ et $w=(-1,2,-3)$;
  4. $(u,v,w,z)$ avec $u=(1,2,3,4)$, $v=(5,6,7,8)$, $w=(9,10,11,12)$ et $z=(13,14,15,16)$.
Indication
Corrigé
Exercice 7 - Deux par deux, et par trois? [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On considère dans $\mathbb R^3$ les vecteurs $v_1=(1,1,0)$, $v_2=(4,1,4)$ et $v_3=(2,-1,4)$.
  1. Montrer que la famille $(v_1,v_2)$ est libre. Faire de même pour $(v_1,v_3)$, puis pour $(v_2,v_3)$.
  2. La famille $(v_1,v_2,v_3)$ est-elle libre?
Indication
Corrigé
Exercice 8 - Complétion de familles libres [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On considère dans $\mathbb R^3$ les vecteurs $$v_1=(1,-1,1),\ v_2=(2,-2,2),\ v_3=(2,-1,2).$$
  1. Peut-on trouver un vecteur $w$ tel que $(v_1,v_2,w)$ soit libre? Si oui, construisez-en un.
  2. Même question en remplaçant $v_2$ par $v_3$.
Indication
Corrigé
Exercice 9 - Polynômes à degrés échelonnés [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $(P_1,\dots,P_n)$ une famille de polynômes de $\mathbb C[X]$ non nuls, à degrés échelonnés, c'est-à-dire $\deg(P_1)<\deg(P_2)<\dots<\deg(P_n)$. Montrer que $(P_1,\dots,P_n)$ est une famille libre.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $E=\mathcal F(\mathbb R,\mathbb R)$ l'espace vectoriel des fonctions de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$. Étudier l'indépendance linéaire des familles suivantes :
  1. $(\sin x,\cos x)$;
  2. $(\sin 2x,\sin x,\cos x)$;
  3. $(\cos 2x,\sin^2 x,\cos^2 x)$;
  4. $(x,e^x,\sin(x))$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Démontrer que les familles suivantes sont libres dans $\mathcal F(\mathbb R,\mathbb R)$:
  1. $(x\mapsto e^{ax})_{a\in\mathbb R}$;
  2. $(x\mapsto |x-a|)_{a\in\mathbb R}$;
  3. $(x\mapsto \cos(ax))_{a>0}$;
  4. $(x\mapsto (\sin x)^n)_{n\geq 1}$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $(v_1,\dots,v_n)$ une famille libre d'un $\mathbb R$-espace vectoriel $E$. Pour $k=1,\dots,n$, on pose $w_k=v_k+v_{k+1}$ et $w_n=v_n+v_1$. Etudier l'indépendance linéaire de la famille $(w_1,\dots,w_n)$.
Indication
Corrigé
Sous-espace vectoriel engendré
Exercice 13 - D'un système générateurs à un système d'équations... [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Donner un système d'équations des espaces vectoriels engendrés par les vecteurs suivants :
  1. $u_1=(1,2,3)$;
  2. $u_1=(1,2,3)$ et $u_2=(-1,0,1)$;
  3. $u_1=(1,2,0)$, $u_2=(2,1,0)$ et $u_3=(1,0,1)$.
Indication
Corrigé
Exercice 14 - D'un système d'équations à un système générateurs... [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Trouver un système générateur des sous-espaces vectoriels suivants de $\mathbb R^3$:
  1. $F=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3;\ x+2y-z=0\}$;
  2. $G=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3;\ x-y+z=0\textrm{ et }2x-y-z=0\}$.
Indication
Corrigé
Exercice 15 - Coïncidence de sous-espaces [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Dans les exemples suivants, démontrer que les sous-espaces $F$ et $G$ de $E$ sont égaux.
  1. $E=\mathbb R^3$, $u_1=(1,1,3)$, $u_2=(1,-1,-1)$, $v_1=(1,0,1)$, $v_2=(2,-1,0)$, $F=\textrm{vect}(u_1,u_2)$ et $G=\textrm{vect}(v_1,v_2)$.
  2. $E=\mathbb R^3$, $F=\textrm{vect}\big((2,3,-1),(1,-1,-2)\big)$ et $G=\textrm{vect}\big((3,7,0),(5,0,-7)\big)$.
  3. $E=\mathbb R^3$, $F=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3;\ x+y+z=0\}$, $u_1=(1,1,-2)$, $u_2=(1,-4,3)$ et $G=\textrm{vect}(u_1,u_2)$.
  4. $E=\mathbb R^4$, $$F=\{(x,y,z,t)\in\mathbb R^4;\ x+y+z+t=0\textrm{ et }x-y+2z-2t=0\}$$ $$G=\{(x,y,z,t)\in\mathbb R^4;\ 5x+y+7z-t=0\textrm{ et }x-3y+3z-5t=0\}.$$
Corrigé
Sous-espaces supplémentaires
Exercice 16 - Où sont les supplémentaires? [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On considère dans $\mathbb R^4$ les cinq vecteurs suivants : $v_1=(1,0,0,1)$, $v_2=(0,0,1,0)$, $v_3=(0,1,0,0)$, $v_4=(0,0,0,1)$ et $v_5=(0,1,0,1)$. Dire si les sous-espaces vectoriels suivants sont supplémentaires dans $\mathbb R^4$.
  1. $\textrm{vect}(v_1,v_2)$ et $\textrm{vect}(v_3)$?
  2. $\textrm{vect}(v_1,v_2)$ et $\textrm{vect}(v_4,v_5)$?
  3. $\textrm{vect}(v_1,v_3,v_4)$ et $\textrm{vect}(v_2,v_5)$?
  4. $\textrm{vect}(v_1,v_4)$ et $\textrm{vect}(v_3,v_5)$?
Indication
Corrigé
Exercice 17 - Par deux, mais par trois? [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E=\mathbb R^4$. On considère $(u_1,u_2,u_3,u_4)$ une famille libre de $E$ et on pose $$F=\textrm{vect}(u_1+u_2,u_3),\ G=\textrm{vect}(u_1+u_3,u_4), H=\textrm{vect}(u_1+u_4,u_2).$$ Démontrer que $F\cap G=\{0\}$, que $F\cap H=\{0\}$ et que $G\cap H=\{0\}$. La somme $F+G+H$ est-elle directe?
Indication
Corrigé
Exercice 18 - Périodiques et tend vers 0 à l'infini [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ l'espace vectoriel des fonctions de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$, $F$ le sous-espace vectoriel des fonctions périodiques de période 1 et $G$ le sous-espace vectoriel des fonctions $f$ telles que $\lim_{+\infty}f=0$. Démontrer que $F\cap G=\{0\}$. Est-ce que $F$ et $G$ sont supplémentaires?
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $E$ l'espace vectoriel des suites réelles, $$F=\{(u_n)\in E;\ \forall n\in\mathbb N,\ u_{2n}=0\}$$ $$G=\{(u_n)\in E;\ \forall n\in\mathbb N,\ u_{2n}=u_{2n+1}\}.$$ Démontrer que $F$ et $G$ sont supplémentaires.
Corrigé
Exercice 20 - Trouver un supplémentaire! [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $A\in\mathbb R[X]$ un polynôme non-nul et $F=\{P\in\mathbb R[X];\ A\textrm{ divise }P\}$. Montrer que $F$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb R[X]$ et trouver un supplémentaire à $F$.
Indication
Corrigé
Exercice 21 - Transformer une somme en somme directe [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $F$ et $G$ deux sous-espaces vectoriels d'un espace vectoriel $E$ tels que $F+G=E$. Soit $F'$ un supplémentaire de $F\cap G$ dans $F$. Montrer que $F'\oplus G=E$.
Corrigé
Exercice 22 - Caractérisation de la somme [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $E$ un espace vectoriel et $F,G,H$ trois sous-espaces vectoriels de $E$. Démontrer que $F$, $G$ et $H$ sont en somme directe si et seulement si ($F\cap G=\{0\}$ et $(F+G)\cap H=\{0\}$).
Corrigé
Exercice 23 - Fonctions paires / Fonctions impaires [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E=\mathcal F(\mathbb R,\mathbb R)$ l'espace vectoriel des fonctions de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$. On note $F$ le sous-espace vectoriel des fonctions paires (ie $f(-x)=f(x)$ pour tout $x\in\mathbb R$) et $G$ le sous-espace vectoriel des fonctions impaires (ie $f(-x)=-f(x)$ pour tout $x\in\mathbb R$). Montrer que $F$ et $G$ sont supplémentaires.
Indication
Corrigé
Exercice 24 - Un supplémentaire n'est jamais unique [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un espace vectoriel dans lequel tout sous-espace vectoriel admet un supplémentaire. Soit $F$ un sous-espace vectoriel propre de $F$ (c'est-à-dire que $F\neq \{0\}$ et que $F\neq E$). Démontrer que $F$ admet au moins deux supplémentaires distincts.
Indication
Corrigé
Exercice 25 - Fonctions qui s'annulent en un (plusieurs) point(s) [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ l'espace vectoriel des fonctions de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$.
  1. Soit $a\in\mathbb R$. On désigne par $F$ le sous-espace des fonctions constantes et par $G_a$ le sous-espace des fonctions qui s'annulent en $a$. Montrer que $F$ et $G_a$ sont supplémentaires dans $E$.
  2. Plus généralement, soient $a_0,\dots,a_N$ des éléments distincts de $\mathbb R$ et $G=\{f\in E;\ f(a_0)=\dots=f(a_N)=0\}$. Trouver un supplémentaire à $G$.
Indication
Corrigé
Exemples d'applications linéaires
Exercice 26 - Applications linéaires ou non? [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Dire si les applications suivantes sont des applications linéaires :
  1. $f:\mathbb R^2\to\mathbb R^3,\ (x,y)\mapsto (x+y,x-2y,0)$;
  2. $f:\mathbb R^2\to\mathbb R^3,\ (x,y)\mapsto (x+y,x-2y,1)$;
  3. $f:\mathbb R^2\to\mathbb R,\ (x,y)\mapsto x^2-y^2$;
  4. $f:\mathbb R[X]\to \mathbb R,\ P\mapsto \big(P(0),P'(1)\big)$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $f:\mathbb R^2\to\mathbb R^3$ l'application linéaire définie par $$f(x,y)=(x+y,x-y,x+y).$$ Déterminer le noyau de $f$, son image. $f$ est-elle injective? surjective?
Corrigé
Enoncé
Soit $E=\mathcal C^{\infty}(\mathbb R)$ et $\phi\in\mathcal L(E)$ définie par $\phi(f)=f'$. Quel est le noyau de $\phi$? Quelle est son image? $\phi$ est-elle injective? surjective?
Corrigé
Exercice 29 - Application linéaire définie sur un espace de polynôme [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E=\mathbb C[X]$, $p$ un entiel naturel et $f$ l'application de $E$ dans $E$ définie par $f(P)=(1-pX)P+X^2P'$. $f$ est-elle injective? surjective?
Indication
Corrigé
Projecteurs et symétries
Enoncé
Soit $E$ un espace vectoriel et $p,q$ deux projecteurs de $E$ tels que $p\neq 0$, $q\neq 0$ et $p\neq q$. Démontrer que $(p,q)$ est une famille libre de $\mathcal L(E)$.
Indication
Corrigé
Exercice 31 - Projections et sommes directes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $E_1,\dots,E_p$ des sous-espaces vectoriels de $E$. On suppose que $E_1\oplus\dots\oplus E_p=E$. On note $p_i$ le projecteur sur $E_i$ parallèlement à $\oplus_{j\neq i}E_j$. Montrer que $p_i\circ p_j=0$ si $i\neq j$ et $p_1+\dots+p_n=Id_E$.
Indication
Corrigé
Exercice 32 - Endomorphismes annulant un polynôme de degré 2 [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f\in\mathcal L(E)$ et soient $\alpha,\beta$ deux réels distincts.
  1. Démontrer que $E=\textrm{Im}(f-\alpha Id_E)+\textrm{Im}(f-\beta Id_E)$.
    On suppose de plus que $$(f-\alpha Id_E)\circ (f-\beta Id_E)=0.$$
  2. Démontrer que $f$ est inversible, et calculer $f^{-1}$.
  3. Démontrer que $E=\ker(f-\alpha Id_E)\oplus \ker(f-\beta Id_E)$.
  4. Exprimer en fonction de $f$ le projecteur $p$ sur $\ker(f-\alpha Id_E)$ parallèlement à $\ker(f-\beta Id_E)$.
Indication
Corrigé
Exercice 33 - Somme de deux projecteurs [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un $\mathbb R$-espace vectoriel. Soient $p$ et $q$ deux projecteurs de $E$.
  1. Montrer que $p+q$ est un projecteur si et seulement si $p\circ q=q\circ p=0$.
  2. Montrer que, dans ce cas, on a $\textrm{Im}(p+q)=\textrm{Im}(p)\oplus \textrm{Im}(q)$ et $\ker(p+q)=\ker p\cap \ker q$.
Indication
Corrigé
Exercices théoriques sur les applications linéaires
Exercice 34 - Avez-vous compris ce qu'étaient le noyau et l'image? [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $E,F,G$ trois $\mathbb K$-espaces vectoriels, et soient $f\in\mathcal L(E,F)$ et $g\in\mathcal L(F,G)$. Démontrer que $$g\circ f=0\iff \textrm{Im}f\subset\ker g.$$
Corrigé
Exercice 35 - Endomorphismes qui commutent, noyaux et images [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un espace vectoriel et $u,v\in\mathcal L(E)$. On suppose que $u\circ v=v\circ u$. Démontrons que $\textrm{ker}(u)$ et $\textrm{Im}u$ sont stables par $v$, c'est-à-dire que $$v(\ker u)\subset \ker u\textrm{ et }v(\textrm{Im}u)\subset \textrm{Im}u.$$
Corrigé
Exercice 36 - Endomorphisme nilpotent et famille libre [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f\in\mathcal L(E)$ tel qu'il existe $n\geq 1$ vérifiant $f^n=0$ et $f^{n-1}\neq 0$. Démontrer qu'il existe $x\in E$ tel que la famille $(x,f(x),\dots,f^{n-1}(x))$ soit libre.
Indication
Corrigé
Exercice 37 - Sommes directes de noyaux [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f\in\mathcal L(E)$. Démontrer que $\ker(f)$, $\ker(f-Id)$ et $\ker(f+Id)$ sont en somme directe.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soient $E,F$ deux espaces vectoriels et $f\in\mathcal L(E,F)$. Soit $G$ un supplémentaire de $\ker(f)$ dans $E$. Montrer que $G$ et $\textrm{Im}(f)$ sont isomorphes.
Indication
Corrigé
Exercice 39 - Une caractérisation des homothéties [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un espace vectoriel et $f\in\mathcal L(E)$ tel que, pour tout $x\in E$, la famille $(x,f(x))$ est liée.
  1. Démontrer que pour tout $x\in E$, $x\neq 0$, il existe un unique scalaire $\lambda_x$ tel que $f(x)=\lambda_x x$.
  2. Comparer $\lambda_x$ et $\lambda_y$ lorsque $(x,y)$ est liée.
  3. Comparer $\lambda_x$ et $\lambda_y$ lorsque $(x,y)$ est libre.
  4. En déduire que $f$ est une homothétie.
Indication
Corrigé
Exercice 40 - Factorisation d'une application linéaire surjective [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $E$ et $F$ deux $K$-espaces vectoriels et $f$ appartient à $\mathcal L(E,F)$.
  1. On suppose qu'il existe $g$ appartenant à $\mathcal L(F,E)$ telle que $f\circ g=Id_F$. Montrer que $f$ est surjective.
  2. On suppose que $f$ est surjective. On admet l'existence d'un sous-espace vectoriel $G$ de $E$ tel que $G\oplus \ker(f)=E$.
    1. Soit $\hat f:G\to F$, $x\mapsto f(x)$. Montrer que $\hat f$ est un isomorphisme d'espaces vectoriels.
    2. Soit $g:F\to E$, $y\mapsto \hat f^{-1}(y)$. Calculer $f\circ g$.
  3. Conclure.
Indication
Corrigé
Exercice 41 - Factorisation et inclusion de noyaux [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Dans cet exercice, on admet que dans tout espace vectoriel, un sous-espace admet un supplémentaire.
Soient $E,F$ deux espaces vectoriels et $u,v\in\mathcal L(E,F)$. Montrer que $$\ker(u)\subset\ker(v)\iff \exists f\in\mathcal L(F)\textrm{ tel que }v=f\circ u.$$
Indication
Corrigé
Exercice 42 - Factorisation et inclusion des images [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Dans cet exercice, on suppose connue la propriété suivante : si $E_1$ est un espace vectoriel et $F_1$ est un sous-espace vectoriel de $E_1$, alors il possède un supplémentaire. Soient alors $E,F,G$ trois espaces vectoriels, $u\in\mathcal L(F,G)$ et $v\in\mathcal L(E,G)$. Démontrer que les propriétés suivantes sont équivalentes :
  1. $\textrm{Im}(v)\subset\textrm{Im}(u)$;
  2. Il existe $w\in\mathcal L(E,F)$ tel que $v=u\circ w$.
Indication
Corrigé