$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Math sup : Probabilités sur un univers fini

Exercices théoriques sur les espaces probabilisés
Enoncé
Soit $\Omega$ un univers et soient $A,B,C$ trois événements de $\Omega$. Traduire en termes ensemblistes (en utilisant uniquement les symboles d'union, d'intersection et de passage au complémentaire, ainsi que $A$, $B$ et $C$) les événements suivants :
  1. Seul $A$ se réalise;
  2. $A$ et $B$ se réalisent, mais pas $C$.
  3. les trois événements se réalisent;
  4. au moins l'un des trois événements se réalise;
  5. au moins deux des trois événements se réalisent;
  6. aucun ne se réalise;
  7. au plus l'un des trois se réalise;
  8. exactement deux des trois se réalisent;
Corrigé
Exercice 2 - Sur la probabilité de l'intersection [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $A$ et $B$ deux événements d'un espace probabilisé. Démontrer que $$\max\big(0,P(A)+P(B)-1\big)\leq P(A\cap B)\leq \min\big(P(A),P(B)\big).$$
Indication
Corrigé
Exercice 3 - Inégalité de Bonferroni [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $(\Omega,\mathcal F,\mathbb P)$ un espace probabilisé, et $A_1,\dots,A_n$ des événements. Démontrer que $$\mathbb P(A_1\cap\dots\cap A_n)\geq \sum_{i=1}^n \mathbb P(A_i)-(n-1).$$
Indication
Corrigé
Calcul de probabilités par dénombrement
Enoncé
On tire trois cartes au hasard dans un paquet de 32 cartes. Quelle est la probabilité de
  1. n'obtenir que des coeurs?
  2. que des as?
  3. deux coeurs et un pique?
On donnera le résultat sous forme de fraction irréductible.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $n\geq 1$. On lance $n$ fois un dé parfaitement équilibré. Quelle est la probabilité d'obtenir
  1. au moins une fois le chiffre 6?
  2. au moins deux fois le chiffre 6?
  3. au moins $k$ fois le chiffre 6?
Indication
Corrigé
Enoncé
On jette 3 fois un dé à 6 faces, et on note $a$, $b$ et $c$ les résultats successifs obtenus. On note $Q(x)=ax^2+bx+c$. Déterminer la probabilité pour que :
  • $Q$ ait deux racines réelles distinctes.
  • $Q$ ait une racine réelle double.
  • $Q$ n'ait pas de racines réelles.
Indication
Corrigé
Exercice 7 - Le problème des anniversaires [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Vous êtes dans une classe de 30 élèves. Votre prof de maths veut parier avec vous 10 euros que deux personnes dans cette classe ont la même date d'anniversaire. Acceptez-vous le pari?
Indication
Corrigé
Enoncé
Pour organiser une coupe, on organise un tirage au sort qui réunit $n$ équipes de basket-ball de 1ère division et $n$ équipes de 2ième division, de sorte que chaque équipe joue un match, et un seul.
  1. Calculer la probabilité $p_n$ que tous les matchs opposent une équipe de 1ère division à une équipe de 2ème division.
  2. Calculer la probabilité $q_n$ que tous les matchs opposent deux équipes de la même division.
  3. Montrer que pour tout $n\geq 1$, $\dis\frac{2^{2n-1}}{n}\leq \binom{2n}n\leq 2^{2n}.$
  4. En déduire $\lim_{n\to+\infty}p_n$ et $\lim_{n\to\infty}q_n$.
Indication
Corrigé
Probabilités non uniformes
Enoncé
On dispose d'un dé pipé tel que la probabilité d'obtenir une face soit proportionnelle au chiffre porté par cette face. On lance le dé pipé.
  1. Donner un espace probabilisé modélisant l'expérience aléatoire.
  2. Quelle est la probabilité d'obtenir un chiffre pair.
  3. Reprendre les questions si cette fois le dé est pipé de sorte que la probabilité d'une face paire soit le double de la probabilité d'une face impaire.
Indication
Corrigé
Exercice 10 - Déterminer une probabilité [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $n\geq 1$. Déterminer une probabilité sur $\{1,\dots,n\}$ telle que la probabilité de $\{1,\dots,k\}$ soit proportionnelle à $k^2$.
Indication
Corrigé
Indépendance
Exercice 11 - Indépendance et contexte [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
  1. Une urne contient 12 boules numérotées de 1 à 12. On en tire une hasard, et on considère les événements $$A=\textrm{"tirage d'un nombre pair''},$$ $$B=\textrm{"tirage d'un multiple de 3''}.$$ Les événements $A$ et $B$ sont-ils indépendants?
  2. Reprendre la question avec une urne contenant 13 boules.
Indication
Corrigé
Exercice 12 - Indépendance deux à deux et indépendance mutuelle [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Votre voisine a deux enfants dont vous ignorez le sexe. On considère les trois événement suivants :
  • $A$="les deux enfants sont de sexes différents"
  • $B$="l'ainé est une fille"
  • $C$="le cadet est un garçon".
Montrer que $A$, $B$ et $C$ sont deux à deux indépendants, mais ne sont pas mutuellement indépendants.
Indication
Corrigé
Exercice 13 - Probabilité d'une réunion et indépendance [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $A_1, \dots,A_n$ $n$ événements d’un espace probabilisé $(\Omega,P)$. On les suppose mutuellement indépendants et de probabilités respectives $p_i = P(A_i)$. Donner une expression simple de $P(A_1\cup\dots\cup A_n)$ en fonction de $p_1,\dots,p_n$.
Application : on suppose qu'une personne est soumise à $n$ expériences indépendantes les unes des autres et qu'à chaque expérience, elle ait une probabilité $p$ d'avoir un accident. Quelle est la probabilité qu'elle ait au moins un accident?
Indication
Corrigé
Exercice 14 - Indépendance impossible [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On suppose qu'on a un espace probabilisé tel que l'univers $\Omega$ est un ensemble fini de cardinal un nombre premier $p$, et que le modèle choisi soit celui de l'équiprobabilité. Prouver que deux événements $A$ et $B$ non triviaux (différent de $\varnothing$ et $\Omega$) ne peuvent pas être indépendants.
Indication
Corrigé
Enoncé
  1. Soient $A,\ B,\ C$ trois événements. Montrer que : $$P(A\cup B\cup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A\cap B)-P(A\cap B)-P(B\cap C)+P(A\cap B\cap C).$$
  2. On dispose de 3 composants électriques $C_1,\ C_2$ et $C_3$ dont la probabilité de fonctionnement est $p_i$, et de fonctionnement totalement indépendant les uns des autres. Donner la probabilité de fonctionnement du circuit
    1. si les composants sont disposés en série.
    2. si les composants sont disposés en parallèle.
    3. si le circuit est mixte : $C_1$ est disposé en série avec le sous-circuit constitué de $C_2$ et $C_3$ en parallèle.
Indication
Corrigé
Enoncé
Un livre contient 4 erreurs, numérotées de 1 à 4, et est relu par une suite de relecteurs pour correction. A chaque relecture, chaque erreur est corrigée avec une probabilité 1/3. Les erreurs sont corrigées de manière indépendante les unes des autres, et les relectures sont indépendantes les unes des autres.
  1. Quelle est la probabilité que l’erreur numéro 1 ne soit pas corrigée à l’issue de la $n$-ième lecture ?
  2. Quelle est la probabilité que le livre soit entièrement corrigé à l’issue de la $n$-ième lecture ? Combien faut-il de relectures pour que cette probabilité soit supérieure à 0.9 ?
Corrigé
Enoncé
Soit $n>1$ un entier fixé. On choisit de manière équiprobable un entier $x$ dans $\{1,\dots,n\}$. Pour tout entier $m\leq n$, on note $A_m$ l'événement "$m$ divise $x$". On note également $B$ l'événement "$x$ est premier avec $n$". Enfin, on note $p_1,\dots,p_r$ les diviseurs premiers de $n$.
  1. Exprimer $B$ en fonction des $A_{p_k}$.
  2. Pour tout entier naturel $m$ qui divise $n$, calculer la probabilité de $A_m$.
  3. Montrer que les événements $A_{p_1},\dots,A_{p_r}$ sont mutuellement indépendants.
  4. En déduire la probabilité de $B$.
  5. Application : on note $\phi(n)$ le nombre d'entiers compris entre $1$ et $n$ qui sont premiers avec $n$. Démontrer que $$\phi(n)=n\prod_{k=1}^r \left(1-\frac{1}{p_k}\right).$$
Indication
Corrigé
Probabilités conditionnelles
Enoncé
Le gérant d'un magasin d'informatique a reçu un lot de boites de CD-ROM. $5\%$ des boites sont abîmées. Le gérant estime que :
  • $60\%$ des boites abîmées contiennent au moins un CD-ROM défectueux.
  • $98\%$ des boites non abîmées ne contiennent aucun CD-ROM défectueux.
Un client achète une boite du lot. On désigne par $A$ l'événement : ``la boite est abimée'' et par $D$ l'événement ``la boite achetée contient au moins une disquette défectueuse''.
  1. Donner les probabilités de $P(A)$, $P(\bar A)$, $P(D|A)$, $P(D|\bar A)$, $P(\bar D|A)$ et $P(\bar D|\bar A)$. En déduire la probabilité de $D$.
  2. Le client constate qu'un des CD-ROM achetés est défectueux. Quelle est a la probabilité pour qu'il ait acheté une boite abimée.
Indication
Corrigé
Exercice 19 - Probabilités composées [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On considère une urne contenant 4 boules blanches et 3 boules noires. On tire une à une et sans remise 3 boules de l'urne. Quelle est la probabilité pour que la première boule tirée soit blanche, la seconde blanche et la troisième noire?
Indication
Corrigé
Exercice 20 - A partir de dénombrement [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Une urne contient 8 boules blanches et 2 boules noires, indiscernables au toucher. On tire sans remise et successivement 3 boules de cette urne.
  1. Quelle est la probabilité qu'au moins une boule noire figure dans le tirage?
  2. Sachant qu'au moins une boule noire figure dans le tirage, quelle est la probabilité que la première boule tirée soit noire?
Indication
Corrigé
Enoncé
Un questionnaire à choix multiples propose $m$ réponses pour chaque question. Soit $p$ la probabilité qu'un étudiant connaisse la bonne réponse à une question donnée. S'il ignore la réponse, il choisit au hasard l'une des réponses proposées. Quelle est pour le correcteur la probabilité qu'un étudiant connaisse vraiment la bonne réponse lorsqu'il l'a donnée?
Indication
Corrigé
Enoncé
Un lot de 100 dés contient 25 dés pipés tels que la probabilité d'apparition d'un six soit de 1/2. On choisit un dé au hasard, on le jette, et on obtient un 6. Quelle est la probabilité que le dé soit pipé?
Indication
Corrigé
Enoncé
Une compagnie d'assurance répartit ses clients en trois classes $R_1$, $R_2$ et $R_3$ : les bons risques, les risques moyens, et les mauvais risques. Les effectifs de ces trois classes représentent $20\%$ de la population totale pour la classe $R_1$, $50\%$ pour la classe $R_2$, et $30\%$ pour la classe $R_3$. Les statistiques indiquent que les probabilités d'avoir un accident au cours de l'année pour une personne de l'une de ces trois classes sont respectivement de 0.05, 0.15 et 0.30.
  1. Quelle est la probabilité qu'une personne choisie au hasard dans la population ait un accident dans l'année?
  2. Si M.Martin n'a pas eu d'accident cette année, quelle est la probabilité qu'il soit un bon risque?
Indication
Corrigé
Enoncé
Une information est transmise à l'intérieur d'une population. Avec une probabilité $p$, c'est l'information correcte qui est transmise à chaque étape d'une personne à une autre. Avec une probabilité $1-p$, c'est l'information contraire qui est transmise. On note $p_n$ la probabilité que l'information après $n$ transmissions soit correcte.
  1. Donner une relation de récurrence entre $p_{n+1}$ et $p_n$.
  2. En déduire la valeur de $p_n$ en fonction de $p$ et de $n$.
  3. En déduire la valeur de $\lim_n p_n$. Qu'en pensez-vous?
Indication
Corrigé
Enoncé
Vous êtes directeur de cabinet du ministre de la santé. Une maladie est présente dans la population, dans la proportion d'une personne malade sur $10000$. Un responsable d'un grand laboratoire pharmaceutique vient vous vanter son nouveau test de dépistage : si une personne est malade, le test est positif à $99\%$. Si une personne n'est pas malade, le test est positif à $0,1\%$. Autorisez-vous la commercialisation de ce test?
Indication
Corrigé
Enoncé
Vous jouez à pile ou face avec un autre joueur. Il parie sur pile, lance la pièce, et obtient pile. Quelle est la probabilité pour qu'il soit un tricheur?
Indication
Corrigé