$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Equations différentielles

Résolution d'équations linéaires
Exercice 1 - Premier ordre, à coefficients constants [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Résoudre les équations différentielles suivantes :
  1. $7y'+2y=2x^3-5x^2+4x-1$;
  2. $y'+2y=x^2-2x+3$;
  3. $y'+y=xe^{-x}$;
  4. $y'-2y=\cos(x)+2\sin(x)$;
Indication
Corrigé
Exercice 2 - Varions la constante... [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Résoudre les équations différentielles suivantes :
  1. $y'+y=\frac{1}{1+e^x}$ sur $\mathbb R$;
  2. $(1+x)y'+y=1+\ln(1+x)$ sur $]-1,+\infty[$;
  3. $y'-\frac yx=x^2$ sur $]0,+\infty[$;
  4. $y'-2xy=-(2x-1)e^x$ sur $\mathbb R$;
  5. $y'-\frac{2}ty=t^2$ sur $]0,+\infty[$;
Indication
Corrigé
Exercice 3 - Avec une condition initiale [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Résoudre les équations différentielles suivantes :
  1. $y'+\tan(t)y=\sin(2t)$, $y(0)=1$ sur $]-\pi/2,\pi/2[$;
  2. $(x+1)y'+xy=x^2-x+1$, $y(1)=1$ sur $]-1,+\infty[$ (on pourra rechercher une solution particulière sous la forme d'un polynôme).
Corrigé
Enoncé
Donner une équation différentielle dont les solutions sont les fonctions de la forme $$x\mapsto \frac{C+x}{1+x^2},\ C\in\mathbb R.$$
Indication
Corrigé
Exercice 5 - Raccordement détaillé [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
  1. Soient $C,D\in\mathbb R$. On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb R^*$ par $$f(x)=\begin{cases} C\exp\left(\frac{-1}x\right)&\textrm{ si }x>0\\ D\exp\left(\frac{-1}x\right)&\textrm{ si }x<0. \end{cases} $$
    1. Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur $C$ et $D$ pour que $f$ se prolonge par continuité en $0$.
    2. Démontrer que si cette condition est remplie, ce prolongement, toujours noté $f$, est alors dérivable en $0$ et que $f'$ est continue en 0.
  2. On considère l'équation différentielle $$x^2y'-y=0.$$ Résoudre cette équation sur les intervalles $]0,+\infty[$ et $]-\infty,0[$.
  3. Résoudre l'équation précédente sur $\mathbb R$.
Indication
Corrigé
Exercice 6 - De drôles de conditions initiales [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
  1. Déterminer les fonctions $f:\mathbb R\to\mathbb R$ dérivables et telles que $$\forall x\in\mathbb R,\ f'(x)+f(x)=f(0)+f(1).$$
  2. Déterminer les fonctions $f:\mathbb R\to\mathbb R$ dérivables et telles que $$\forall x\in\mathbb R,\ f'(x)+f(x)=\int_0^1 f(t)dt.$$
Indication
Corrigé
Exercice 7 - Équations du second ordre à coefficients constants [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Résoudre les équations différentielles suivantes :
  1. $y''-2y'+y=x$, $y(0)=y'(0)=0$;
  2. $y''+9y=x+1$, $y(0)=0$;
  3. $y''-2y'+y=\sin^2 x$;
Corrigé
Exercice 8 - Équations du second ordre à coefficients constants [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Résoudre les équations différentielles suivantes :
  1. $y''-4y'+3y=(2x+1)e^{-x}$;
  2. $y''-4y'+3y=(2x+1)e^x$;
  3. $y''-2y'+y=(x^2+1)e^x+e^{3x}$;
  4. $y''-4y'+3y=x^2e^x+xe^{2x}\cos x$;
  5. $y''-2y'+5y=-4xe^{-x}\cos(x)+7e^{-x}\sin x-4e^x\sin(2x)$;
Indication
Corrigé
Enoncé
Déterminer une équation différentielle vérifiée par la famille de fonctions $$y(x)=C_1e^{2x}+C_2e^{-x},\ C_1,C_2\in\mathbb R.$$
Indication
Corrigé
Exercice 10 - Avec une condition initiale [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Pour les équations différentielles suivantes, déterminer l'unique fonction solution :
  1. $y''+2y'+4y=xe^x$, avec $y(0)=1$ et $y(1)=0$.
  2. $y''-2y'+(1+m^2)y=(1+4m^2)\cos (mx)$ avec $y(0)=1$ et $y'(0)=0$; on discutera suivant que $m=0$ ou $m\neq 0$.
Indication
Corrigé
Résolution d'autres équations différentielles
Exercice 11 - Presque linéaire...ou presque du premier ordre [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Résoudre les équations différentielles suivantes :
  1. $(1+x)^2y''+(1+x)y'-2=0$ sur $]-1,+\infty[$;
  2. $x^2+y^2+-2xyy'=0$ sur $]0,+\infty[$;
Indication
Corrigé
Exercice 12 - Le plus facile des systèmes différentiels [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Le mouvement d'une particule chargée dans un champ magnétique suivant l'axe $(Oz)$ est régi par un système différentiel de la forme $$\left\{ \begin{array}{rcl} x''&=&\omega y'\\ y''&=&-\omega x'\\ z''&=&0 \end{array}\right.$$ où $\omega$ dépend de la masse et de la charge de la particule, ainsi que du champ magnétique. En posant $u=x'+iy'$, résoudre ce système différentiel.
Corrigé
Exercice 13 - Changement de variables [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On cherche à résoudre sur $\mathbb R_+^*$ l’équation différentielle : $$x²y"−3xy'+4y = 0.\ (E)$$
  1. Cette équation est-elle linéaire ? Qu’est-ce qui change par rapport au cours ?
  2. Analyse. Soit $y$ une solution de $(E)$ sur $\mathbb R_+^*$. Pour $t\in\mathbb R$, on pose $z(t)=y(e^t)$.
    1. Calculer pour $t\in\mathbb R$, $z'(t)$ et $z''(t)$.
    2. En déduire que $z$ vérifie une équation différentielle linéaire d’ordre 2 à coefficients constants que l’on précisera (on pourra poser $x = e^t$ dans $(E)$).
    3. Résoudre l’équation différentielle trouvée à la question précédente.
    4. En déduire le ”portrait robot” de $y$.
  3. Synthèse. Vérifier que, réciproquement, les fonctions trouvées à la fin de l’analyse sont bien toutes les solutions de (E) et conclure.
Indication
Corrigé
Exercice 14 - Changement de fonction inconnue - et on retrouve des coefficients constants... [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Résoudre sur $\mathbb R$ les équations différentielles suivantes :
  1. $(1+e^x)y''+2e^x y'+(2e^x+1)y=xe^x$ en posant $z(x)=(1+e^x)y(x)$;
  2. $xy''+2(x+1)y'+(x+2)y=0$, en posant $z=xy$.
Indication
Corrigé
Applications
Exercice 15 - Triplement d'une population [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
L'accroissement de la population $P$ d'un pays est proportionnelle à cette population. La population double tous les 50 ans. En combien de temps triple-t-elle?
Indication
Corrigé
Exercice 16 - Dissolution d'un composé chimique [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
La vitesse de dissolution d'un composé chimique dans l'eau est proportionnelle à la quantité restante. On place 20g de ce composé, et on observe que 5min plus tard, il reste 10g. Dans combien de temps restera-t-il seulement 1g?
Indication
Corrigé
Exercice 17 - Le vecteur sous-tangent [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$ dérivable telle que $f'$ ne s'annule pas. Soit $M$ un point de la courbe représentative $C_f$ de $f$ dans le repère orthonormé $(O,\vec i,\vec j)$. On note $T$ le point d'intersection de la tangente à $C_f$ avec l'axe $(O,\vec i)$ et $P$ le projeté orthogonal de $M$ sur l'axe $(O,\vec i)$. On appelle vecteur sous-tangent à $C_f$ en $M$ le vecteur $\overrightarrow{TP}$.
Déterminer les fonctions $f:\mathbb R\to \mathbb R$ (dérivables, et dont la dérivée ne s'annule pas) dont les vecteurs sous-tangents en tout point de $C_f$ sont égaux à un vecteur constant.
Indication
Corrigé
Exercice 18 - Une équation fonctionnelle [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Déterminer les fonctions $f:\mathbb R\to\mathbb R$ dérivables et vérifiant, pour tous $s,t\in\mathbb R$, $$f(s+t)=f(s)f(t).$$
Indication
Corrigé
Exercice 19 - Où est l'équation différentielle? [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f\in\mathcal C^1(\mathbb R)$ telle que $$\lim_{x\to+\infty}\big(f(x)+f'(x)\big)=0.$$ Montrer que $\lim_{x\to+\infty}f(x)=0$.
Indication
Corrigé
Exercice 20 - Presqu'une équation différentielle... [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $\lambda\in\mathbb R$. Trouver toutes les applications $f$ de classe $C^1$ sur $\mathbb R$ telles que, pour tout $x$ de $\mathbb R$, on a $$f'(x)=f(\lambda-x).$$
Indication
Corrigé
Exercice 21 - Presqu'une équation différentielle [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Déterminer les fonction $f:\mathbb R\to \mathbb R$ de classe $C^1$ et vérifiant pour tout $x\in\mathbb R$, $$f'(x)+f(-x)=e^x.$$
Indication
Corrigé
Propriétés qualitatives
Exercice 22 - Tangentes aux courbes intégrales [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit l'équation $y'=a(x)y+b(x)$, avec $a,b:\mathbb R\to\mathbb R$ continues, et soit $x_0\in\mathbb R$. Montrer que les tangentes au point d'abscisse $x_0$ aux courbes intégrales sont ou bien parallèles ou bien concourantes.
Indication
Corrigé
Exercice 23 - Solutions périodiques [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $a,b:\mathbb R\to\mathbb R$ deux applications continues de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$ périodiques de période 1. A quelle(s) condition(s) l'équation différentielle $y'=a(x)y+b(x)$ admet-elle des solutions 1-périodiques. Les déterminer.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $a,b:\mathbb R\to\mathbb R$ deux fonctions continues avec $a$ impaire et $b$ paire. Montrer que l'équation différentielle $$(E)\ y'(t)+a(t)y(t)=b(t)$$ admet une unique solution impaire.
Indication
Corrigé
Enoncé
Déterminer tous les couples $(a,b)\in\mathbb R^2$ tels que toute solution de $y''+ay'+by=0$ soit bornée.
Indication
Corrigé