$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Ensembles, applications,relations

Pour comprendre le cours
Enoncé
Écrire en extension (c'est-à-dire en donnant tous leurs éléments) les ensembles suivants : $$A=\left\{\textrm{nombres entiers compris entre $\sqrt{2}$ et $2\pi$.}\right\}.$$ $$B=\left\{x\in\mtc;\ \exists(n,p)\in\mtn\times\mtn,\ x=\frac{p}{n}\textrm{ et }1\leq p\leq 2n\leq 7.\right\}.$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Écrire l'ensemble des parties de $E=\left\{a,b,c,d\right\}$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Les applications suivantes sont-elles injectives, surjectives, bijectives?
  1. $f:\mtn\to\mtn,\ n\mapsto n+1$.
  2. $g:\mtz\to\mtz,\ n\mapsto n+1$.
  3. $h:\mtr^2\to\mtr^2,\ (x,y)\mapsto (x+y,x-y)$.
Indication
Corrigé
Exercice 4 - Exemples d'image directe et d'image réciproque [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
  1. Soit $f:\mathbb R\to \mathbb R$, $x\mapsto x^2$, et soit $A=[-1,4]$. Déterminer
    1. l'image directe de $A$ par $f$;
    2. l'image réciproque de $A$ par $f$.
  2. On considère la fonction $\sin:\mathbb R\to \mathbb R$. Quelle est l'image directe, par $\sin$, de $\mathbb R$? De $[0,2\pi]$? de $[0,\pi/2]$? Quelle est l'image réciproque, par $\sin$, de $[0,1]$? de $[3,4]$? de $[1,2]$?
Corrigé
Exercice 5 - Composition non commutative [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
  1. Soient $f$ et $g$ les deux fonctions de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$ définies par $$f(x)=3x+1\textrm{ et }g(x)=x^2-1.$$ Calculer $f\circ g$ et $g\circ f$.
  2. Dans les exemples suivants, déterminer deux fonctions $u$ et $v$ telles que $h=u\circ v$ : $$h_1(x)=\sqrt{3x-1}\quad h_2(x)=\sin\left(x+\frac \pi 2\right)\quad h_3(x)=\frac 1{x+7}.$$
Corrigé
Exercice 6 - Composition et injectivité [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $f$ et $g$ les applications de $\mathbb N$ dans $\mathbb N$ définies par $f(x)=2x$ et $$g(x)=\left\{ \begin{array}{ll} \frac x2&\textrm{ si $x$ est pair}\\ 0&\textrm{ si $x$ est impair.} \end{array} \right.$$ Déterminer $g\circ f$ et $f\circ g$. $f$ et $g$ sont-elles injectives? surjectives? bijectives?
Indication
Corrigé
Exercice 7 - Calcul de la réciproque [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Démontrer que la fonction $f:\mathbb R\to\mathbb R_+^*$ définie par $$f(x)=\frac{e^x+2}{e^{-x}}$$ est bijective. Calculer sa bijection réciproque $f^{-1}$.
Indication
Corrigé
Exercice 8 - Avec des nombres complexes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Démontrer que l'application $$ \begin{array}{rcl} f:\mathbb C\backslash \{-3\}&\to&\mathbb C\backslash \{i\}\\ z&\mapsto&\frac{iz-i}{z+3} \end{array}$$ est une bijection. Déterminer sa bijection réciproque.
Indication
Corrigé
Enoncé
Dire si les relations suivantes sont réflexives, symétriques, antisymétriques, transitives :
  1. $E=\mathbb Z$ et $x\mathcal R y\iff x=-y$;
  2. $E=\mathbb R$ et $x\mathcal R y\iff \cos^2 x+\sin^2 y=1$;
  3. $E=\mathbb N$ et $x\mathcal R y\iff \exists p,q\geq 1,\ y=px^q$ ($p$ et $q$ sont des entiers).
Quelles sont parmi les exemples précédents les relations d'ordre et les relations d'équivalence?
Indication
Corrigé
Exercice 10 - Classe d'équivalence sur $\mathbb R^2$ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Sur $\mathbb R^2$, on définit la relation d'équivalence $\mathcal R$ par $$(x,y)\mathcal R (x',y')\iff x=x'.$$ Démontrer que $\mathcal R$ est une relation d'équivalence, puis déterminer la classe d'équivalence d'un élément $(x_0,y_0)\in\mathbb R^2$.
Corrigé
Ensembles
Enoncé
Est-ce que $C\subset A\cup B$ entraîne $C\subset A$ ou $C\subset B$?
Indication
Corrigé
Enoncé
Soient $A,B,C$ trois ensembles tels que $A\cup B=B\cap C$. Montrer que $A\subset B\subset C$.
Corrigé
Exercice 13 - Deux descriptions d'un même ensemble [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $A=\{(x,y)\in\mathbb R^2;\ 4x-y=1\}$ et $C=\{(t+1,4t+3);\ t\in\mathbb R\}$. Démontrer que $A=C$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soient $A$, $B$ et $C$ trois parties d'un ensemble $E$. Pour $X\subset E$, on note $X^c$ le complémentaire de $X$ dans $E$. Démontrer les lois de Morgan suivantes : $$\begin{array}{lll} \mathbf{1.}\ (A\cap B)\cup C=(A\cup C)\cap (B\cup C)&&\mathbf{2.}\ (A^c)^c=A\\ \mathbf{3.}\ (A\cap B)^c=A^c\cup B^c&&\mathbf{4.}\ (A\cup B)^c=A^c\cap B^c.\\ \end{array}$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $D=\{(x,y)\in\mathbb R^2;\ x^2+y^2\leq 1\}$. Démontrer que $D$ ne peut pas s'écrire comme le produit cartésien de deux parties de $\mathbb R$.
Indication
Corrigé
Exercice 16 - Réunion et intersection égales [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un ensemble et $A,B,C$ trois éléments de $\mathcal P(E)$.
  1. Démontrer que, si $A\cap B=A\cup B$, alors $A=B$.
  2. Démontrer que, si $A\cap B=A\cap C$ et $A\cup B=A\cup C$, alors $B=C$. Une seule des deux conditions suffit-elle?
Indication
Corrigé
Exercice 17 - Différence symétrique [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un ensemble, et $A,B$ deux sous-ensembles de $E$. On appelle \emph{différence symétrique} de $A$ et $B$, notée $A\Delta B$, le sous-ensemble de $E$ : $$A\Delta B=\{x\in A\cup B;\ x\notin A\cap B\}.$$
  1. Interpréter les éléments de $A\Delta B$.
  2. Montrer que $A\Delta B=(A\cap C_EB)\cup (B\cap C_EA)$ ($C_EA$ désigne le complémentaire de $A$ dans $E$).
  3. Calculer $A\Delta A$, $A\Delta \varnothing$, $A\Delta E$, $A\Delta C_E A$.
  4. Démontrer que pour tous $A,B,C$ sous-ensembles de $E$, on a : $$(A\Delta B)\cap C=(A\cap C)\Delta (B\cap C).$$
Indication
Corrigé
Exercice 18 - Retour sur la différence symétrique [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un ensemble et soient $A,B$ deux parties de $E$. On rappelle que la \emph{différence symétrique} de $A$ et $B$ est définie par $$A \Delta B = (A\cap \bar{B})\cup \left(\bar{A}\cap B\right)$$ où $\bar A$ (resp. $\bar B$) désigne le complémentaire de $A$ (resp. de $B$) dans $E$. Démontrer que $A\Delta B=B$ si et seulement si $A=\varnothing$.
Indication
Corrigé
Exercice 19 - Fonction caractéristique [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $A$ une partie d'un ensemble $E$. On appelle fonction caractéristique de $A$ l’application $f$ de $E$ dans l’ensemble à deux éléments $\{0, 1\}$ telle que : $$f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} 1&\textrm{ si }x\in A\\ 0&\textrm{ si }x\notin A \end{array}\right.$$ Soient $A$ et $B$ deux parties de $E$, $f$ et $g$ leurs fonctions caractéristiques. Montrer que les fonctions suivantes sont les fonctions caractéristiques d’ensembles que l’on déterminera :
  1. $1-f$;
  2. $fg$;
  3. $f+g-fg$.
Indication
Corrigé
Applications
Exercice 20 - Un exemple avec des fonctions [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:\mtr\to\mtr$ définie par $f(x)=2x/(1+x^2)$.
  1. $f$ est-elle injective? surjective?
  2. Montrer que $f(\mtr)=[-1,1]$.
  3. Montrer que la restriction $g:[-1,1]\to[-1,1]$, $g(x)=f(x)$ est une bijection.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $f(x)=\frac{x}{x+1}$. Déterminer $f\circ f\circ\dots\circ f(x)$ (où le symbole $f$ apparaît $n$ fois) en fonction de $n\in\mathbb N^*$ et de $x\in\mathbb R$.
Indication
Corrigé
Exercice 22 - Une bijection de $\mathbb N^2$ dans $\mathbb N$ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:\mathbb N^2\to\mathbb N^*$, $(n,p)\mapsto 2^n(2p+1)$. Démontrer que $f$ est une bijection. En déduire une bijection de $\mathbb N^2$ sur $\mathbb N$.
Indication
Corrigé
Exercice 23 - Un exemple avec de l'arithmétique [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:\mathbb Z\times\mathbb N^*\to\mathbb Q$, $(p,q)\mapsto p+\frac 1q$. $f$ est-elle injective, surjective?
Indication
Corrigé
Enoncé
  1. Déterminer une bijection de $\mtn\to \mtn^*$.
  2. Déterminer une bijection de $\{1/n;\ n\geq 1\}$ dans $\{1/n;\ n\geq 2\}$.
  3. Déduire de la question précédente une bijection de $[0,1]$ dans $[0,1[$.
  4. Déterminer une bijection de $\mtn\to\mtz$
Indication
Corrigé
Exercice 25 - Composition, injectivité et surjectivité [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On considère 4 ensembles $A,B,C$ et $D$, et des applications $f:A\to B$, $g:B\to C$ et $h:C\to D$. Montrer que $$g\circ f\textrm{ injective}\implies f\textrm{ injective,}$$ $$g\circ f\textrm{ surjective}\implies g\textrm{ surjective.}$$ Montrer que : $$\big(g\circ f\textrm{ et }h\circ g\textrm{ sont bijectives }\big)\iff \big(f,g\textrm{ et }h\textrm{ sont bijectives}\big).$$
Indication
Corrigé
Exercice 26 - Image directe de l'image réciproque...et vice-versa! [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $E$ et $F$ deux ensembles et $f:E\to F$. Démontrer que
  1. $\forall A \in {\mathcal{P}}(E),A \subset f^{ - 1} (f(A))$;
  2. $\forall B \in {\mathcal{P}}(F),f(f^{ - 1} (B)) \subset B$.
  3. Question subsidiaire (plus difficile) : a-t-on égalité en général?
Indication
Corrigé
Exercice 27 - Ensembles et images réciproques [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $E$ et $F$ deux ensembles et soit $f:E\to F$. Soient également $A$ et $B$ deux parties de $F$.
  1. Démontrer que $A\subset B\implies f^{-1}(A)\subset f^{-1}(B)$. La réciproque est-elle vraie?
  2. Démontrer que $f^{-1}(A\cap B)=f^{-1}(A)\cap f^{-1}(B)$.
  3. Démontrer que $f^{-1}(A\cup B)=f^{-1}(A)\cup f^{-1}(B)$.
Indication
Corrigé
Exercice 28 - Ensembles et images directes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $E$ et $F$ deux ensembles et soit $f:E\to F$. Soient également $A$ et $B$ deux parties de $E$.
  1. Démontrer que $A\subset B\implies f(A)\subset f(B)$. La réciproque est-elle vraie?
  2. Démontrer que $f(A\cap B)\subset f(A)\cap f(B)$. L'inclusion réciproque est-elle vraie?
  3. Démontrer que $f(A\cup B)=f(A)\cup f(B)$.
Indication
Corrigé
Exercice 29 - Image directe et injectivité [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:X\to Y$. Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes :
  1. $f$ est injective.
  2. Pour tous $A,B$ de $X$, on a $f(A\cap B)=f(A)\cap f(B)$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soient $X,Y$ deux ensembles et $f:X\to Y$ une application.
  1. Montrer que $f$ est injective si et seulement si, pour tout $g:Z\to X$ et tout $h:Z\to X$, on a $f\circ g=f\circ h\implies g=h$.
  2. Montrer que $f$ est surjective si et seulement si, pour tout $g:Y\to Z$ et tout $h:Y\to Z$, on a $g\circ f=h\circ f\implies g=h$.
Indication
Corrigé
Exercice 31 - Bijectivité et passage au complémentaire [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:E\to F$. Montrer que $f$ est bijective si et seulement si, pour tout $A$ de $\mathcal P(E)$, on a $f(\overline A)=\overline{f(A)}$ ($\overline A$ désigne le complémentaire de $A$).
Indication
Corrigé
Exercice 32 - Fonction définie sur l'ensemble des parties [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $E$ un ensemble, $\mathcal P(E)$ l'ensemble de ses parties, et $A$ et $B$ deux parties de $E$. On définit $$\begin{array}{cccc} f:&\mathcal P(E)&\to&\mathcal P(A)\times\mathcal P(B)\\ &X&\mapsto &(X\cap A,X\cap B). \end{array} $$
  1. Montrer que $f$ est injective si et seulement si $A\cup B=E$.
  2. Montrer que $f$ est surjective si et seulement si $A\cap B=\varnothing$.
  3. Donner une condition nécessaire et suffisante sur $A$ et $B$ pour que $f$ soit bijective. Donner dans ce cas la bijection réciproque.
Indication
Corrigé
Exercice 33 - Fonctions et fonctions d'ensemble [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $E$ et $F$ deux ensembles, et $f:E\to F$. On définit deux applications $f^\sharp$ et $f_\sharp$ par : \begin{eqnarray*} f^\sharp:\mathcal P(E)\to\mathcal P(F),&&f^\sharp(A)=f(A)\\ f_\sharp:\mathcal P(F)\to\mathcal P(E),&&f_\sharp(A)=f^{-1}(A). \end{eqnarray*} Démontrer que
  1. $f^\sharp$ est injective si et seulement si $f$ est injective.
  2. $f_\sharp$ est injective si et seulement si $f$ est surjective.
Indication
Corrigé
Relations
Exercice 34 - Relation d'équivalence et fonction [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On définit sur $\mathbb R$ la relation $x\mathcal R y$ si et seulement si $x^2-y^2=x-y$.
  1. Montrer que $\mathcal R$ est une relation d'équivalence.
  2. Calculer la classe d'équivalence d'un élément $x$ de $\mathbb R$. Combien y-a-t-il d'éléments dans cette classe?
Indication
Corrigé
Exercice 35 - Parties égales ou égales au complémentaire [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un ensemble. On définit sur $\mathcal P(E)$, l'ensemble des parties de $E$, la relation suivante : $$A\mathcal R B\textrm{ si }A=B\textrm{ ou }A=\bar B,$$ où $\bar B$ est le complémentaire de $B$ (dans $E$). Démontrer que $\mathcal R$ est une relation d'équivalence.
Indication
Corrigé
Exercice 36 - Une relation d'équivalence [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On définit sur $\mathbb Z$ la relation $x\mathcal R y$ si et seulement si $x+y$ est pair. Montrer qu'on définit ainsi une relation d'équivalence. Quelles sont les classes d'équivalence de cette relation?
Indication
Corrigé
Exercice 37 - Une relation d'ordre sur les entiers [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Montrer que la relation $p\mathcal R q\iff \exists k\in\mathbb N^*,\ q=p^k$ munit $\mathbb N^*$ d'une structure partiellement ordonnée. Déterminer les majorants de $\{2,3\}$ pour cet ordre.
Indication
Corrigé
Enoncé
On définir sur $\mathbb R^2$ la relation $\prec$ par $$(x,y)\prec (x',y')\iff \big( (x<x')\textrm{ ou }(x=x'\textrm{ et }y\leq y')\big).$$ Démontrer que ceci définit une relation d'ordre sur $\mathbb R^2$.
Indication
Corrigé
Exercice 39 - Ordre sur $\mathbb R^2$ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On munit $\mathbb R^2$ de la relation notée $\prec$ définie par $$(x,y)\prec (x',y')\iff x\leq x'\textrm{ et }y\leq y'.$$
  1. Démontrer que $\prec$ est une relation d'ordre sur $\mathbb R^2$. L'ordre est-il total?
  2. Le disque fermé de centre $O$ et de rayon 1 a-t-il des majorants? un plus grand élément? une borne supérieure?
Indication
Corrigé
Exercice 40 - Relation d'équivalence et théorie des ensembles [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un ensemble non-vide et $\alpha\subset\mathcal P(E)$ vérifiant la propriété suivante : $$\forall X,Y\in\alpha,\ \exists Z\in\alpha, Z\subset (X\cap Y).$$ On définit sur $\mathcal P(E)$ la relation $\sim$ par $A\sim B\iff \exists X\in\alpha,\ X\cap A=X\cap B$. Prouver que ceci définit une relation d'équivalence sur $\mathcal P(E)$. Quelles sont les classes d'équivalence de $\varnothing$ et de $E$?
Indication
Corrigé