$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Maths sup : Développements limités

Formule de Taylor-Young
Exercice 1 - Limite un peu théorique [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f$ définie sur un intervalle ouvert contenant $x$ et de classe $C^2$ sur cet intervalle. Calculer $$\lim_{h\to 0}\frac{f(x-h)-2f(x)+f(x+h)}{h^2}.$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$ de classe $C^2$. Déterminer $$\lim_{x\to 0}\frac{f'(x)-\frac{f(x)-f(0)}x}x.$$
Indication
Corrigé
Exercice 3 - Dérivée d'une racine carrée [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R_+$ une fonction de classe $C^2$.
  1. Soit $x_0\in\mathbb R$ tel que $f(x_0)=0$. Que dire de $f'(x_0)$? de $f''(x_0)$?
  2. Démontrer que $\sqrt f$ est dérivable sur $\mathbb R$ si et seulement si, pour tout $x_0\in\mathbb R$ tel que $f(x_0)=0$, alors $f''(x_0)=0$.
Indication
Corrigé
Calculs de développements limités
Exercice 4 - Somme et produit de DLs [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Calculer les développements limités suivants : $$\begin{array}{lcl} \displaystyle \mathbf 1.\ \frac{1}{1-x}-e^x\textrm{ à l'ordre 3 en 0}&&\displaystyle \mathbf 2.\ \sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}\textrm{ à l'ordre 4 en 0}\\ \displaystyle \mathbf 3.\ \sin x\cos(2x)\textrm{ à l'ordre 6 en 0}&&\displaystyle \mathbf 4.\ \cos(x)\ln(1+x)\textrm{ à l'ordre 4 en 0}\\ \displaystyle \mathbf 5.\ (x^3+1)\sqrt{1-x}\textrm{ à l'ordre 3 en 0}&&\displaystyle \mathbf 6.\ \big(\ln(1+x)\big)^2\textrm{ à l'ordre 4 en 0} \end{array}$$
Corrigé
Enoncé
Déterminer les développements limités des fonctions suivantes : $$\begin{array}{lcl} \displaystyle \mathbf 1.\ \frac{1}{1+x+x^2}\textrm{ à l'ordre 4 en 0}&&\displaystyle \mathbf 2.\ \tan(x)\textrm{ à l'ordre 5 en 0}\\ \displaystyle \mathbf 3.\ \frac{\sin x-1}{\cos x+1}\textrm{ à l'ordre 2 en 0}&&\displaystyle \mathbf 4.\ \frac{\ln(1+x)}{\sin x}\textrm{ à l'ordre 3 en 0}. \end{array}$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Calculer les développements limités suivants : $$\begin{array}{lcl} \displaystyle \mathbf 1.\ \ln\left(\frac{\sin x}{x}\right)\textrm{ à l'ordre 4 en 0}&& \displaystyle \mathbf 2.\ \exp(\sin x)\textrm{ à l'ordre 4 en 0}\\ \displaystyle \mathbf 3.\ (\cos x)^{\sin x}\textrm{ à l'ordre 5 en 0}&& \displaystyle \mathbf 4.\ x\big(\cosh x\big)^{\frac 1x}\textrm{ à l'ordre 4 en 0}. \end{array}$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Calculer les développements limités suivants : $$\begin{array}{lcl} \displaystyle \mathbf 1.\ \arccos x\textrm{ à l'ordre 5 en 0}&& \displaystyle \mathbf 2.\ \int_0^x e^{t^2}dt\textrm{ à l'ordre 5 en 0}. \end{array} $$
Indication
Corrigé
Enoncé
Calculer les développements limités suivants : $$\begin{array}{lcl} \mathbf 1. \frac 1x\textrm{ à l'ordre 3 en }2&&\displaystyle \mathbf 2. \ln(x)\textrm{ à l'ordre 3 en }2\\ \displaystyle \mathbf 3. e^x\textrm{ à l'ordre 3 en }1&&\displaystyle \mathbf 4. \cos(x)\textrm{ à l'ordre 3 en }\frac{\pi}3\\ \displaystyle \mathbf 5. \sqrt x\textrm{ à l'ordre 3 en 2} \end{array}$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Calculer les développements limités suivants : $$\begin{array}{lcl} \mathbf 1. \frac{\sqrt{x+2}}{\sqrt x}\textrm{ à l'ordre 3 en }+\infty&& \displaystyle \mathbf 2. \ln\left(x+\sqrt {1+x^2}\right)-\ln x\textrm{ à l'ordre 4 en }+\infty \end{array}$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Calculer, à l'ordre 100, le développement limité en 0 de $\ln\left(\sum_{k=0}^{99}\frac{x^k}{k!}\right)$.
Indication
Corrigé
Exercice 11 - Développement limité d'une fonction réciproque [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Pour $x\in\mathbb R$, on pose $f(x)=x\exp(x^2)$.
  1. Démontrer que $f$ réalise une bijection de $\mathbb R$ sur $\mathbb R$.
  2. Justifier que $f^{-1}$ admet un développement limité à l'ordre $4$ en $0$.
  3. Donner ce développement limité.
Indication
Corrigé
Exercice 12 - Développement limité d'une fonction réciproque [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f$ la fonction définie sur $\left]-\frac{\pi}2,\frac{\pi}{2}\right[$ par $f(x)=2\tan x-x$.
  1. Montrer que $f$ admet une fonction réciproque de classe $C^\infty$.
  2. Justifier que $f^{-1}$ est impaire.
  3. Donner le développement limité de $f^{-1}$ à l'ordre 6 en 0. On rappelle que $\tan x=x+\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}+o(x^6)$.
Indication
Corrigé
Exercice 13 - Développement limité d'une fonction réciproque [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Pour $x\in\mathbb R$, on pose $f(x)=\frac{e^{x^2}-1}{x}$ si $x\neq 0$ et $f(0)=0$. Montrer que $f$ admet une fonction réciproque sur $\mathbb R$. Donner un développement limité de $f^{-1}$ à l'ordre 3 en 0.
Indication
Corrigé
Applications des développements limités
Enoncé
Déterminer les limites des fonctions suivantes : $$\begin{array}{lrl} \displaystyle \mathbf 1.\ \frac{\sin x-x}{x^3}\textrm{ en }0;&& \displaystyle \mathbf 2.\ \frac{1+\ln(1+x)-e^x}{1-\cos x}\textrm{ en }0;\\ \displaystyle \mathbf 3.\ \left(\frac{a^x+b^x}{2}\right)^{1/x}\textrm{ en }0;&& \displaystyle \mathbf 4.\ \frac{2x}{\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)}\textrm{ en }0;\\ \displaystyle \mathbf 5.\ \frac{\exp(\sin x)-\exp(\tan x)}{\sin x-\tan x}\textrm{ en }0;&& \displaystyle \mathbf 6.\ \frac{x^{x^x}\ln x}{x^x-1}\textrm{ en }0^+;\\ \end{array}$$
Indication
Corrigé
Exercice 15 - Étude locale d'une courbe [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f$ la fonction définie sur $\mtr$ par $\dis f(x)=\frac{1}{1+e^x}.$
  1. Donner un développement limité de $f$ à l'ordre 3 en zéro.
  2. En déduire que la courbe représentative de $f$ admet une tangente au point d'abscisse 0, dont on précisera l'équation.
  3. Prouver que la courbe traverse la tangente en 0. Un tel point est appelé point d'inflexion.
Indication
Corrigé
Exercice 16 - Position relative d'une courbe et de sa tangente [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb R$ par $f(x)=\ln(x^2+2x+2)$. Donner l'équation de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse 0 et étudier la position relative de la courbe et de la tangente au voisinage de ce point.
Indication
Corrigé
Enoncé
Prouver qu'au voisinage de $+\infty$, les courbes représentatives des fonctions suivantes admettent une asymptote dont on donnera l'équation. On précisera aussi la position de la courbe par rapport à son asymptote. $$\begin{array}{lcl} \displaystyle \mathbf 1.\ f(x)=\frac{x\cosh(x)-\sinh(x)}{\cosh x-1}&&\displaystyle \mathbf 2.\ g(x)=x^2\ln\left(\frac{x+1}x\right)\\ \displaystyle \mathbf 3.\ h(x)=\frac{x+1}{1+\exp(1/x)}&&\displaystyle\mathbf 4.\ u(x)=x\exp\left(\frac{2x}{x^2-1}\right)\\ \end{array}$$
Indication
Corrigé
Exercice 18 - Comparaison de fonctions [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On pose $f(x)=1/(1+x)$, $g(x)=e^{-x}$, $h(x)=\sqrt{1-2\sin x}$, $k(x)=\cos(\sqrt{2x})$. Préciser les positions relatives au voisinage de 0 des courbes représentatives $C_f$, $C_g$, $C_h$, $C_k$.
Indication
Corrigé
Exercice 19 - Dérivée $n$-ième en 0 [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:x\mapsto \frac{x^4}{1+x^6}$. Déterminer $f^{(n)}(0)$.
Indication
Corrigé
Exercice 20 - Somme des premiers entiers [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $n\geq 1$ et $f:\mathbb R\to\mathbb R$ la fonction définie par $$f(x)= \left\{ \begin{array}{ll} \frac{\exp\big((n+1)x\big)-1}{\exp(x)-1}&\textrm{si }x\neq 0\\ n+1&\textrm{sinon.} \end{array}\right.$$
  1. Calculer le développement limité de $f$ en 0 à l'ordre 3.
  2. En déduire la valeur de $$\sum_{k=1}^n k^3.$$
Indication
Corrigé
Développement asymptotique de suites implicites
Enoncé
Soit $n\geq 1$.
  1. Montrer que l'équation $\tan x=x$ possède une solution unique $x_n$ dans $\left]n\pi-\frac\pi2,n\pi+\frac\pi2\right[$.
  2. Quelle relation lie $x_n$ et $\arctan(x_n)$?
  3. Montrer que $x_n=n\pi+\frac{\pi}{2}+o(1)$.
  4. En écrivant $x_n=n\pi+\frac{\pi}{2}+\veps_n$ et en utilisant le résultat de la question 2., en déduire que $$x_n=n\pi+\frac{\pi}{2}-\frac{1}{n\pi}+\frac{1}{2n^2\pi}+o\left(\frac1{n^2}\right).$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb R^*$ par $f(x)=x\sinh\left(\frac 1x\right)$.
  1. Montrer que pour tout $x>0$, on a $\tanh(x)<x$.
  2. En déduire le tableau de variations de $f$. On précisera les limites aux bornes.
  3. Donner le développement limité à l'ordre 2 en 0 de $u\mapsto \frac{\sinh u}{u}.$
  4. En déduire que $f$ admet au voisinage de $+\infty$ un développement asymptotique de la forme $$f(x)=a_0+\frac{a_1}{x}+\frac{a_2}{x^2}+o\left(\frac1{x^2}\right),$$ où $a_0,a_1,a_2$ sont des réels que l'on précisera.
  5. Montrer que pour tout $n\in\mathbb N^*$, l'équation $f(x)=\frac{n+1}{n}$ admet une unique solution $u_n>0$.
  6. Montrer que la suite $(u_n)$ est croissante.
  7. Montrer que la suite $(u_n)$ tend vers $+\infty$ en $+\infty$.
  8. Déterminer un équivalent de $(u_n)$ quand $n$ tend vers $+\infty$.
Indication
Corrigé
Exercice 23 - Un développement asymptotique [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On considère, pour chaque entier $n\in\mathbb N$, l'équation $x+\ln(x)=n$.
  1. Démontrer que cette équation admet une unique solution $x_n\in]0,+\infty[$, puis démontrer que la suite $(x_n)$ est strictement croissante.
  2. Démontrer que $(x_n)$ tend vers $+\infty$.
  3. Démontrer que $x_n\sim_{n\to +\infty}n$.
  4. Démontrer que $x_n=n-\ln(n)+o\big(\ln(n)\big)$. On pourra poser $a_n$ tel que $\frac{x_n}n=1+a_n$.
  5. Démontrer que $x_n=n-\ln(n)+\frac{\ln n}n+o\left(\frac{\ln(n)}{n}\right).$
  6. En admettant éventuellement le résultat de la question précédente, dire parmi les propositions suivantes lesquelles sont vraies : $$\begin{array}{lcl} \displaystyle \mathbf a.\ x_n\sim_{n\to+\infty} n-\ln(n)&&\displaystyle \mathbf b.\ x_n\sim_{n\to+\infty} n-2\ln(n)\\ \displaystyle \mathbf c.\ x_n=n-\ln(n)+o(\sqrt{\ln n})&&\displaystyle \mathbf d.\ x_n=n-\ln(n)+\frac{\ln(n)}{n}. \end{array}$$
Indication
Corrigé