$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Math sup : groupe symétrique et déterminants

Groupe symétrique
Exercice 1 - Comprendre les éléments du groupe symétrique [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
  1. Soit $n\geq 4$ et $a,b,c,d\in\{1,\dots n\}$ tous distincts. Que vaut $(a\ b)\circ (c\ d)\circ(d\ a)$?
  2. Que dire d'une permutation de $S_{n}$ possédant au moins $n-1$ points fixes.
  3. Une permutation telle que $s^2=Id$ est-elle nécessairement une transposition?
  4. Énumérer tous les éléments de $\mathcal S_4$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Pour les permutations $\sigma$ suivantes, décomposer $\sigma$ en produits de cycles disjoints, en produit de transpositions, calculer l'ordre de $\sigma$, la signature de $\sigma$, calculer $\sigma^{100}$ : $$\sigma_1=\left(\begin{array}{cccccc} 1&2&3&4&5&6\\ 3&5&4&6&2&1 \end{array}\right)\textrm{ et } \sigma_2=\left(\begin{array}{ccccccccc} 1&2&3&4&5&6&7&8&9\\ 4&6&9&7&2&5&8&1&3 \end{array}\right).$$
Corrigé
Exercice 3 - Décomposition en produit de transpositions [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $\displaystyle \sigma=\left(\begin{array}{ccccccc}1&2&3&4&5&6&7\\ 3&5&6&7&1&2&4 \end{array}\right)$.
  1. Décomposer $\sigma$ en produit de cycles à supports disjoints.
  2. Donner la signature de $\sigma$.
  3. Décomposer $\sigma$ en produit de transpositions.
  4. Calculer $\sigma^{2001}$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Pour $n\geq 1$, on note $\mathcal A_n$ l'ensemble des éléments de $\mathcal S_n$ de signature égale à $1$. $\mathcal A_n$ est appelé le groupe alterné d'indice $n$.
  1. Démontrer que $\mathcal A_n$ est un sous-groupe de $\mathcal S_n$.
  2. Énumérer tous les éléments de $\mathcal A_3$, de $\mathcal A_4$.
  3. On suppose désormais que $n\geq 2$ et on fixe $\tau$ une transposition de $\mathcal S_n$. Démontrer que $\phi:S_n\to S_n,\ \sigma\mapsto \sigma\circ\tau$ est une bijection. En déduire le cardinal de $\mathcal A_n$.
Indication
Corrigé
Exercice 5 - Signature d'une grande permutation [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $n\geq 1$. Déterminer la signature de la permutation suivante : $$\sigma_n=\left(\begin{array}{ccccc} 1&2&\dots&n-1&n\\ n&n-1&\dots&2&1 \end{array}\right).$$
Indication
Corrigé
Exercice 6 - Le centre du groupe symétrique [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $n\geq 3$.
  1. Soient $a\neq b\in \{1,\dots n\}$ et soit $\sigma\in S_n$. Quelle est la permutation $\sigma\circ (a\ b)\circ\sigma^{-1}$?
  2. On appelle centre du groupe symétrique l'ensemble des permutations $\sigma\in S_n$ qui commutent avec toutes les autres : $\forall s\in S_n,\ s\circ \sigma=\sigma\circ s$. Déterminer le centre de $S_n$.
Indication
Corrigé
Exercice 7 - Des générateurs du groupe symétrique [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $n\geq 2$.
  1. Démontrer que $S_n$ est engendré par les transpositions $(1\ 2)$, $(1\ 3),\dots,(1\ n)$.
  2. Démontrer que $S_n$ est engendré par les transpositions $(1\ 2)$, $(2\ 3),\dots,(n-1\ n)$.
    1. On considère la transposition $t=(1\ 2)$ et le cycle $c=(1\ 2\ 3\dots n)$. Calculer $c^k tc^{-k}$.
    2. En déduire que $S_n$ est engendré par $t$ et $c$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Un jeu de taquin est constitué de neuf cases dont huit sont occupées par un jeton numéroté de 1 à 8, et une est vide. On peut faire glisser un jeton horizontalement ou verticalement dans la case vide. On repère le résultat d'une manipulation par la permutation des numéros qu'elle produit (on lit les numéros dans l'ordre, sans s'occuper de la case vide). Par exemple, dans la manipulation suivante, $$\textrm{Position initiale : } \begin{array}{|c|c|c|} \hline 1&2&3\\\hline 4&5&6\\ \hline 7&8&\\\hline \end{array} \textrm{ Position finale : } \begin{array}{|c|c|c|} \hline 4&1&3\\\hline 2&&5\\ \hline 7&8&6\\\hline \end{array} $$ la permutation obtenue est $$\left(\begin{array}{ccccccccc} 1&2&3&4&5&6&7&8\\ 4&1&3&2&5&7&8&6 \end{array}\right). $$ Démontrer qu'on ne peut obtenir que des permutations de signature égale à 1.
Indication
Corrigé
Petits calculs
Enoncé
  1. Calculer le déterminant suivant : $$\left|\begin{array}{cccc} 1&1&1&1\\ 1&-1&1&1\\ 1&1&-1&1\\ 1&1&1&-1 \end{array}\right|.$$
  2. Soit $E$ un $\mathbb R$-espace vectoriel et $f\in\mathcal L(E)$ tel que $f^2=-Id_E$. Que dire de la dimension de $E$?
Indication
Corrigé
Exercice 10 - Divisible sans calculs! [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Montrer, sans le calculer, que le déterminant suivant est divisible par 13 : $$\left| \begin{array}{ccc} 5&2&1\\ 4&7&6\\ 6&3&9\\ \end{array} \right|.$$
Indication
Corrigé
Exercice 11 - Calcul sans développer [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Montrer que $D=\left| \begin{array}{ccc} 1+a & a & a \\ b & 1+b & b \\ c & c & 1+c \end{array} \right| =1+a+b+c$ sans le développer.
Indication
Corrigé
Exercice 12 - Sous forme factorisée [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Calculer en mettant en évidence la factorisation le déterminant suivant : $$D=\left|\begin{array}{ccc} 1&\cos a&\cos 2a\\ 1&\cos b&\cos 2b\\ 1&\cos c&\cos 2c \end{array} \right|.$$
Indication
Corrigé
Grands calculs
Enoncé
Soit $\Delta_n$ le déterminant de taille $n$ suivant : $$\Delta_n=\left| \begin{array}{ccccc} 3&1&0&\dots&0\\ 2&3&1&\ddots&\vdots\\ 0&2&3&\ddots&0\\ \vdots&\ddots&\ddots&\ddots&1\\ 0&\dots&0&2&3 \end{array}\right|.$$
  1. Démontrer que, pour tout $n\geq 1$, on a $\Delta_{n+2}=3\Delta_{n+1}-2\Delta_n$.
  2. En déduire la valeur de $\Delta_n$ pour tout $n\geq 1$.
Indication
Corrigé
Exercice 14 - Déterminant de Vandermonde [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $n\geq 2$ et $\alpha_1,\dots,\alpha_n$ $n$ nombres complexes distincts. On se propose de calculer le déterminant suivant : $$ V(\alpha_1,\dots,\alpha_n)=\left| \begin{array}{ccccc} 1&1&\dots&\dots&1\\ \alpha_1&\alpha_2&\dots&\dots&\alpha_n\\ \alpha_1^2&\alpha_2^2&\dots&\dots&\alpha_n^2\\ \vdots&\vdots&&&\vdots\\ \alpha_1^{n-1}&\alpha_2^{n-1}&\dots&\dots&\alpha_n^{n-1} \end{array}\right|.$$
  1. Calculer $V(\alpha_1,\alpha_2)$ et $V(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$. On les donnera sous forme factorisée.
  2. Démontrer que $V(\alpha_1,\dots,\alpha_{n-1},x)$ est une fonction polynômiale de $x$ dont on précisera le degré.
  3. En déduire que $V(\alpha_1,\dots,\alpha_{n-1},x)=V(\alpha_1,\dots,\alpha_{n-1})\prod_{i=1}^{n-1}(x-\alpha_i)$.
  4. En déduire l'expression générale de $V(\alpha_1,\dots,\alpha_n)$.
Indication
Corrigé
Exercice 15 - Calcul à l'aide d'une fonction affine [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $A=(a_{i,j})\in M_n(\mathbb R)$. On note $A(x)$ la matrice dont le terme général est $a_{i,j}+x$.
  1. Montrer que la fonction $x\mapsto \det(A(x))$ est une fonction polynômiale de degré inférieur ou égal à 1.
  2. Pour $a$ et $b$ deux réels distincts et $\alpha_1,\dots,\alpha_n\in\mathbb R$, en déduire la valeur du déterminant suivant $$\left| \begin{array}{cccc} \alpha_1&a&\dots&a\\ b&\alpha_2&\ddots&\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&a\\ b&\dots&b&\alpha_n \end{array}\right|.$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Soient $s_1,\dots,s_n\in\mathbb R$. Calculer le déterminant suivant : $$ \left| \begin{array}{cccc} s_1&\dots&\dots&s_1\\ \vdots&s_2&\dots&s_2\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ s_1&s_2&\dots&s_n \end{array}\right|.$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $A=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}\in\mathcal M_n(\mathbb K)$ et soit $B=(b_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}$ définie par $b_{i,j}=(-1)^{i+j}a_{i,j}$. Calculer $\det(B)$ en fonction de $\det(A)$.
Indication
Corrigé
Exercice 18 - Déterminant tridiagonal [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $x\in\mathbb R$. Calculer $$\left| \begin{array}{ccccc} 1+x^2&-x&0&\dots&0\\ -x&1+x^2&-x&\ddots&\vdots\\ 0&\ddots&\ddots&\ddots&0\\ \vdots&\ddots&-x&1+x^2&-x\\ 0&\dots&0&-x&1+x^2 \end{array} \right|. $$
Indication
Corrigé
Exercice 19 - Avec des coefficients binomiaux [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $n\geq 1$, $p\geq 0$. Calculer le déterminant suivant : $$\left| \begin{array}{cccc} \binom{n}0&\binom n1&\dots&\binom np\\ \binom{n+1}0&\binom{n+1}1&\dots&\binom{n+1}p\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ \binom{n+p}0&\binom{n+p}1&\dots&\binom{n+p}p \end{array} \right|. $$
Indication
Corrigé
Enoncé
Calculer le déterminant de la matrice $(i^j)_{1\leq i\leq n,1\leq j\leq n}$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soient $a_0,\dots,a_{n-1}$ $n$ nombres complexes et soit $$A=\left( \begin{array}{ccccc} 0&\dots&\dots&0&a_0\\ 1&\ddots&&\vdots&a_1\\ 0&\ddots&\ddots&\vdots&\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&0&\vdots\\ 0&\dots&0&1&a_{n-1} \end{array}\right).$$ Calculer $\det(A-xI_n)$.
Indication
Corrigé
Exercice 22 - Déterminant circulant [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $a_1,\dots,a_n$ des nombres complexes, $\omega=e^{2i\pi/n}$, et $A$ et $M$ les matrices suivantes : $$A=\left( \begin{array}{ccccc} a_1&a_2&a_3&\dots&a_n\\ a_2&a_3&a_4&\dots&a_1\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ a_n&a_1&\dots&\dots&a_{n-1} \end{array}\right),$$ $$M=\left( \begin{array}{ccccc} 1&1&\dots&\dots&1\\ 1&\omega&\omega^2&\dots&\omega^{n-1}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ 1&\omega^{n-1}&\omega^{2(n-1)}&\dots&\omega^{(n-1)(n-1)} \end{array} \right).$$ Calculer $\det(AM)$ et en déduire $\det(A)$.
Indication
Corrigé
Déterminants d'applications linéaires
Enoncé
Soit $u\in\mathcal L(\mathbb R_n[X])$. Calculer $\det(u)$ dans chacun des cas suivants :
  1. $u(P)=P+P'$;
  2. $u(P)=P(X+1)-P(X)$;
  3. $u(P)=XP'+P(1)$.
Indication
Corrigé
Exercice 24 - Produit de deux matrices [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $n$ et $p$ des entiers avec $p<n$. Soit $A\in\mcm_{n,p}(\mtr)$ et $B\in\mcm_{p,n}(\mtr)$. Calculer le déterminant de $AB$.
Indication
Corrigé
Exercice 25 - Déterminant de la transposition [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $\phi$ l'endomorphisme de $\mnr$ défini par $\phi(A)=\!\ ^tA$. Calculer le déterminant de $\phi$.
Indication
Corrigé
Formule de Cramer et comatrice
Exercice 26 - Inversibilité dans $\mathcal M_n(\mathbb Z)$ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $M\in \mathcal M_n(\mathbb Z)$. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que $M$ soit inversible et que $M^{-1}$ soit dans $\mathcal M_n(\mathbb Z)$.
Indication
Corrigé
Exercice 27 - Rang de la comatrice et applications [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $A\in\mcmnr$.
  1. Discuter le rang de $\comat A$ en fonction du rang de $A$.
  2. Résoudre, pour $n\geq 3$, l'équation $\comat A=A$.
Indication
Corrigé
Applications
Exercice 28 - Inversibilité d'une matrice à paramètres [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Étudier, suivant la valeur du paramètre $a\in\mathbb R$ ou $m\in\mathbb R$, l'inversibilité des matrices suivantes : $$A=\left(\begin{array}{cccc} a&-1&0&-1\\ -1&a&-1&0\\ 0&-1&a&-1\\ -1&0&-1&a \end{array}\right)\textrm{ et }B=\left(\begin{array}{cccc} 0&m&m&m^2-m\\ 1&m-1&2m-1&m^2-m\\ 0&m&m&0\\ 1&m&3m-1&0 \end{array}\right).$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit dans $\mathbb R^3$ la famille de vecteurs $(e_1,e_2,e_3)$, avec $e_1=(1,1,t)$, $e_2=(1,t,1)$ et $e_3=(t,1,1)$. Dire pour quelles valeurs de $t$ la famille $(e_1,e_2,e_3)$ est libre.
Indication
Corrigé
Exercice 30 - A quelle condition la famille est-elle libre? [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $E$ un $\mathbb K$-espace vectoriel, $(u_i)_{1\leq i\leq n}$ une famille libre de $E$ et $(\alpha_i)_{1\leq i\leq n}$ une famille de scalaires. On note $s=\sum_{i=1}^n \alpha_i u_i$. Donner une condition nécessaire et suffisante sur $(\alpha_i)_{1\leq i\leq n}$ pour que $(u_i+s)_{1\leq i\leq n}$ soit libre.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soient $(z_0,\dots,z_{n})$ des nombres complexes deux à deux distincts. Montrer que la famille $$\big( (X-z_0)^n,(X-z_1)^n,\dots,(X-z_n)^n\big)$$ est une base de $\mathbb C_n[X]$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $A,B\in M_n(\mathbb R)$. On suppose que $A$ et $B$ sont semblables sur $\mathbb C$, ie qu'il existe $P\in Gl_n(\mathbb C)$ tel que $A=PBP^{-1}$. Montrer que $A$ et $B$ sont semblables sur $\mathbb R$.
Indication
Corrigé