Math sup : groupe symétrique et déterminants
Groupe symétrique
Exercice 1 - Comprendre les éléments du groupe symétrique [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
- Soit $n\geq 4$ et $a,b,c,d\in\{1,\dots n\}$ tous distincts. Que vaut $(a\ b)\circ (c\ d)\circ(d\ a)$?
- Que dire d'une permutation de $S_{n}$ possédant au moins $n-1$ points fixes.
- Une permutation $s\neq Id$ telle que $s^2=Id$ est-elle nécessairement une transposition?
- Énumérer tous les éléments de $\mathcal S_4$.
Enoncé
Pour les permutations $\sigma$ suivantes, décomposer $\sigma$ en produits de cycles disjoints, en produit de transpositions,
calculer l'ordre de $\sigma$, la signature de $\sigma$, calculer $\sigma^{100}$ :
$$\sigma_1=\left(\begin{array}{cccccc}
1&2&3&4&5&6\\
3&5&4&6&2&1
\end{array}\right)\textrm{ et }
\sigma_2=\left(\begin{array}{ccccccccc}
1&2&3&4&5&6&7&8&9\\
4&6&9&7&2&5&8&1&3
\end{array}\right).$$
Exercice 3 - Décomposition en produit de transpositions [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $\displaystyle \sigma=\left(\begin{array}{ccccccc}1&2&3&4&5&6&7\\
3&5&6&7&1&2&4
\end{array}\right)$.
- Décomposer $\sigma$ en produit de cycles à supports disjoints.
- Donner la signature de $\sigma$.
- Décomposer $\sigma$ en produit de transpositions.
- Calculer $\sigma^{2001}$.
Enoncé
Pour $n\geq 1$, on note $\mathcal A_n$ l'ensemble des éléments de $\mathcal S_n$ de signature égale à $1$. $\mathcal A_n$ est appelé le groupe alterné d'indice $n$.
- Démontrer que $\mathcal A_n$ est un sous-groupe de $\mathcal S_n$.
- Énumérer tous les éléments de $\mathcal A_3$, de $\mathcal A_4$.
- On suppose désormais que $n\geq 2$ et on fixe $\tau$ une transposition de $\mathcal S_n$. Démontrer que $\phi:S_n\to S_n,\ \sigma\mapsto \sigma\circ\tau$ est une bijection. En déduire le cardinal de $\mathcal A_n$.
Enoncé
Soit $n\geq 1$. Déterminer la signature de la permutation suivante :
$$\sigma_n=\left(\begin{array}{ccccc}
1&2&\dots&n-1&n\\
n&n-1&\dots&2&1
\end{array}\right).$$
Enoncé
Soit $n\geq 3$.
- Soient $a\neq b\in \{1,\dots n\}$ et soit $\sigma\in S_n$. Quelle est la permutation $\sigma\circ (a\ b)\circ\sigma^{-1}$?
- On appelle centre du groupe symétrique l'ensemble des permutations $\sigma\in S_n$ qui commutent avec toutes les autres : $\forall s\in S_n,\ s\circ \sigma=\sigma\circ s$. Déterminer le centre de $S_n$.
Exercice 7 - Des générateurs du groupe symétrique [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $n\geq 2$.
- Démontrer que $S_n$ est engendré par les transpositions $(1\quad 2)$, $(1\quad 3),\dots,(1\quad n)$.
- Démontrer que $S_n$ est engendré par les transpositions $(1\quad 2)$, $(2\quad 3),\dots,(n-1\quad n)$.
-
- On considère la transposition $t=(1\quad 2)$ et le cycle $c=(1\quad 2\quad 3\ \dots\ n)$. Calculer $c^k tc^{-k}$.
- En déduire que $S_n$ est engendré par $t$ et $c$.
Enoncé
Un jeu de taquin est constitué de neuf cases dont huit sont occupées par un jeton numéroté de 1 à 8, et une est vide. On peut faire glisser un jeton horizontalement ou verticalement dans la case vide. On repère le résultat d'une manipulation par la permutation des numéros qu'elle produit (on lit les numéros dans l'ordre, sans s'occuper de la case vide). Par exemple, dans la manipulation suivante,
$$\textrm{Position initiale : }
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
1&2&3\\\hline
4&5&6\\ \hline
7&8&\\\hline
\end{array}
\textrm{ Position finale : }
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
4&1&3\\\hline
2&&5\\ \hline
7&8&6\\\hline
\end{array}
$$
la permutation obtenue est
$$\left(\begin{array}{ccccccccc}
1&2&3&4&5&6&7&8\\
4&1&3&2&5&7&8&6
\end{array}\right).
$$
Démontrer qu'on ne peut obtenir que des permutations de signature égale à 1.
Petits calculs
Enoncé
- Calculer le déterminant suivant : $$\left|\begin{array}{cccc} 1&1&1&1\\ 1&-1&1&1\\ 1&1&-1&1\\ 1&1&1&-1 \end{array}\right|.$$
- Soit $E$ un $\mathbb R$-espace vectoriel et $f\in\mathcal L(E)$ tel que $f^2=-Id_E$. Que dire de la dimension de $E$?
Enoncé
Montrer, sans le calculer, que le déterminant suivant est divisible par 13 :
$$\left|
\begin{array}{ccc}
5&2&1\\
4&7&6\\
6&3&9\\
\end{array}
\right|.$$
Enoncé
Montrer que $D=\left|
\begin{array}{ccc}
1+a & a & a \\
b & 1+b & b \\
c & c & 1+c
\end{array}
\right| =1+a+b+c$ sans le développer.
Enoncé
Calculer en mettant en évidence la factorisation le déterminant suivant :
$$D=\left|\begin{array}{ccc}
1&\cos a&\cos 2a\\
1&\cos b&\cos 2b\\
1&\cos c&\cos 2c
\end{array}
\right|.$$
Grands calculs
Enoncé
Soit $\Delta_n$ le déterminant de taille $n$ suivant :
$$\Delta_n=\left|
\begin{array}{ccccc}
3&1&0&\dots&0\\
2&3&1&\ddots&\vdots\\
0&2&3&\ddots&0\\
\vdots&\ddots&\ddots&\ddots&1\\
0&\dots&0&2&3
\end{array}\right|.$$
- Démontrer que, pour tout $n\geq 1$, on a $\Delta_{n+2}=3\Delta_{n+1}-2\Delta_n$.
- En déduire la valeur de $\Delta_n$ pour tout $n\geq 1$.
Enoncé
Soit $n\geq 2$ et $\alpha_1,\dots,\alpha_n$ $n$ nombres complexes distincts.
On se propose de calculer le déterminant suivant :
$$
V(\alpha_1,\dots,\alpha_n)=\left|
\begin{array}{ccccc}
1&1&\dots&\dots&1\\
\alpha_1&\alpha_2&\dots&\dots&\alpha_n\\
\alpha_1^2&\alpha_2^2&\dots&\dots&\alpha_n^2\\
\vdots&\vdots&&&\vdots\\
\alpha_1^{n-1}&\alpha_2^{n-1}&\dots&\dots&\alpha_n^{n-1}
\end{array}\right|.$$
- Calculer $V(\alpha_1,\alpha_2)$ et $V(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$. On les donnera sous forme factorisée.
- Démontrer que $V(\alpha_1,\dots,\alpha_{n-1},x)$ est une fonction polynômiale de $x$ dont on précisera le degré.
- En déduire que $V(\alpha_1,\dots,\alpha_{n-1},x)=V(\alpha_1,\dots,\alpha_{n-1})\prod_{i=1}^{n-1}(x-\alpha_i)$.
- En déduire l'expression générale de $V(\alpha_1,\dots,\alpha_n)$.
Exercice 15 - Calcul à l'aide d'une fonction affine [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $A=(a_{i,j})\in M_n(\mathbb R)$. On note $A(x)$ la matrice dont le terme général est $a_{i,j}+x$.
- Montrer que la fonction $x\mapsto \det(A(x))$ est une fonction polynômiale de degré inférieur ou égal à 1.
- Pour $a$ et $b$ deux réels distincts et $\alpha_1,\dots,\alpha_n\in\mathbb R$, en déduire la valeur du déterminant suivant $$\left| \begin{array}{cccc} \alpha_1&a&\dots&a\\ b&\alpha_2&\ddots&\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&a\\ b&\dots&b&\alpha_n \end{array}\right|.$$
Enoncé
Soient $s_1,\dots,s_n\in\mathbb R$. Calculer le déterminant suivant :
$$
\left|
\begin{array}{cccc}
s_1&\dots&\dots&s_1\\
\vdots&s_2&\dots&s_2\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
s_1&s_2&\dots&s_n
\end{array}\right|.$$
Enoncé
Soit $A=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}\in\mathcal M_n(\mathbb K)$ et soit $B=(b_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}$ définie par $b_{i,j}=(-1)^{i+j}a_{i,j}$. Calculer $\det(B)$ en fonction de $\det(A)$.
Enoncé
Soit $x\in\mathbb R$. Calculer
$$\left|
\begin{array}{ccccc}
1+x^2&-x&0&\dots&0\\
-x&1+x^2&-x&\ddots&\vdots\\
0&\ddots&\ddots&\ddots&0\\
\vdots&\ddots&-x&1+x^2&-x\\
0&\dots&0&-x&1+x^2
\end{array}
\right|.
$$
Enoncé
Soient $n\geq 1$, $p\geq 0$. Calculer le déterminant suivant :
$$\left|
\begin{array}{cccc}
\binom{n}0&\binom n1&\dots&\binom np\\
\binom{n+1}0&\binom{n+1}1&\dots&\binom{n+1}p\\
\vdots&\vdots&&\vdots\\
\binom{n+p}0&\binom{n+p}1&\dots&\binom{n+p}p
\end{array}
\right|.
$$
Enoncé
Calculer le déterminant de la matrice $(i^j)_{1\leq i\leq n,1\leq j\leq n}$.
Enoncé
Soient $a_0,\dots,a_{n-1}$ $n$ nombres complexes et soit
$$A=\left( \begin{array}{ccccc}
0&\dots&\dots&0&a_0\\
1&\ddots&&\vdots&a_1\\
0&\ddots&\ddots&\vdots&\vdots\\
\vdots&\ddots&\ddots&0&\vdots\\
0&\dots&0&1&a_{n-1}
\end{array}\right).$$
Calculer $\det(A-xI_n)$.
Enoncé
Soient $a_1,\dots,a_n$ des nombres complexes, $\omega=e^{2i\pi/n}$, et $A$ et $M$ les matrices suivantes :
$$A=\left(
\begin{array}{ccccc}
a_1&a_2&a_3&\dots&a_n\\
a_n&a_1&a_2&\dots&a_{n-1}\\
\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\
a_2&a_3&\dots&\dots&a_{1}
\end{array}\right),$$
$$M=\left(
\begin{array}{ccccc}
1&1&\dots&\dots&1\\
1&\omega&\omega^2&\dots&\omega^{n-1}\\
\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\
1&\omega^{n-1}&\omega^{2(n-1)}&\dots&\omega^{(n-1)(n-1)}
\end{array}
\right).$$
Calculer $\det(AM)$ et en déduire $\det(A)$.
Déterminants d'applications linéaires
Enoncé
Soit $u\in\mathcal L(\mathbb R_n[X])$. Calculer $\det(u)$ dans chacun des cas suivants :
- $u(P)=P+P'$;
- $u(P)=P(X+1)-P(X)$;
- $u(P)=XP'+P(1)$.
Enoncé
Soient $n$ et $p$ des entiers avec $p<n$. Soit $A\in\mcm_{n,p}(\mtr)$ et $B\in\mcm_{p,n}(\mtr)$. Calculer le déterminant de $AB$.
Enoncé
Soit $\phi$ l'endomorphisme de $\mnr$ défini par $\phi(A)=\!\ ^tA$. Calculer le déterminant de $\phi$.
Formule de Cramer et comatrice
Exercice 26 - Inversibilité dans $\mathcal M_n(\mathbb Z)$ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $M\in \mathcal M_n(\mathbb Z)$. Donner une condition nécessaire et suffisante pour
que $M$ soit inversible et que $M^{-1}$ soit dans $\mathcal M_n(\mathbb Z)$.
Exercice 27 - Rang de la comatrice et applications [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $A\in\mcmnr$.
- Discuter le rang de $\comat A$ en fonction du rang de $A$.
- Résoudre, pour $n\geq 3$, l'équation $\comat A=A$.
Applications
Exercice 28 - Inversibilité d'une matrice à paramètres [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Étudier, suivant la valeur du paramètre $a\in\mathbb R$ ou $m\in\mathbb R$, l'inversibilité des matrices suivantes :
$$A=\left(\begin{array}{cccc}
a&-1&0&-1\\
-1&a&-1&0\\
0&-1&a&-1\\
-1&0&-1&a
\end{array}\right)\textrm{ et }B=\left(\begin{array}{cccc}
0&m&m&m^2-m\\
1&m-1&2m-1&m^2-m\\
0&m&m&0\\
1&m&3m-1&0
\end{array}\right).$$
Enoncé
Soit dans $\mathbb R^3$ la famille de vecteurs $(e_1,e_2,e_3)$, avec $e_1=(1,1,t)$, $e_2=(1,t,1)$ et $e_3=(t,1,1)$. Dire pour quelles valeurs de $t$ la famille
$(e_1,e_2,e_3)$ est libre.
Exercice 30 - A quelle condition la famille est-elle libre? [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $E$ un $\mathbb K$-espace vectoriel, $(u_i)_{1\leq i\leq n}$ une famille libre de $E$ et
$(\alpha_i)_{1\leq i\leq n}$ une famille de scalaires. On note $s=\sum_{i=1}^n \alpha_i u_i$. Donner une condition
nécessaire et suffisante sur $(\alpha_i)_{1\leq i\leq n}$ pour que $(u_i+s)_{1\leq i\leq n}$ soit libre.
Enoncé
Soient $(z_0,\dots,z_{n})$ des nombres complexes deux à deux distincts. Montrer que la famille
$$\big( (X-z_0)^n,(X-z_1)^n,\dots,(X-z_n)^n\big)$$
est une base de $\mathbb C_n[X]$.
Enoncé
Soit $A,B\in M_n(\mathbb R)$. On suppose que $A$ et $B$ sont semblables sur $\mathbb C$,
ie qu'il existe $P\in Gl_n(\mathbb C)$ tel que $A=PBP^{-1}$. Montrer que $A$ et $B$ sont semblables
sur $\mathbb R$.