Exercices math sup : nombres complexes
Nombres complexes
Enoncé
Déterminer la forme algébrique des nombres complexes suivants :
$$\mathbf 1. z_1=(2+2i)^6\quad \mathbf 2. z_2=\left(\frac{1+i\sqrt 3}{1-i}\right)^{20}\quad\mathbf 3. z_3=\frac{(1+i)^{2000}}{(i-\sqrt 3)^{1000}}.$$
Enoncé
Trouver les entiers $n\in\mathbb N$ tels que $(1+i\sqrt 3)^n$ soit un réel positif.
Exercice 3 - Forme exponentielle et formule d'Euler [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $a,b\in]0,\pi[$. Écrire sous forme exponentielle les nombres complexes suivants :
$$\mathbf 1.\ z_1=1+e^{ia}\quad \mathbf 2.\ z_2=1-e^{ia}\quad \mathbf 3.\ z_3=e^{ia}+e^{ib}\quad \mathbf 4. z_4=\frac{1+e^{ia}}{1+e^{ib}}.$$
Enoncé
Soient $z$ et $z'$ deux nombres complexes de module 1 tels que $zz'\neq -1$. Démontrer que
$\frac{z+z'}{1+zz'}$ est réel, et préciser son module.
Enoncé
Déterminer les nombres complexes non nuls $z$ tels que $z$, $\frac 1z$ et $1-z$ aient le même module.
Enoncé
Soit $z$ un nombre complexe, $z\neq 1$. Démontrer que :
$$|z|=1\iff \frac{1+z}{1-z}\in i\mathbb R.$$
Exercice 7 - Module de la somme et de la différence [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $z=\rho e^{i\theta}$ et $z'=\rho'e^{i\theta'}$ deux nombres complexes non nuls. Démontrer que
$$|z+z'|=|z-z'|\Longleftrightarrow{\theta'=\theta+\frac{\pi}{2}[\pi]}.$$
Enoncé
On dit qu'un entier naturel $N$ est somme de deux carrés s'il existe deux entiers naturels $a$ et $b$ de sorte que $N=a^2+b^2$.
- Écrire un algorithme permettant de déterminer si un entier naturel $N$ est somme de deux carrés.
- On souhaite prouver que, si $N_1$ et $N_2$ sont sommes de deux carrés, alors leur produit $N_1N_2$ est aussi somme de deux carrés. Pour cela, on écrit $N_1=a^2+b^2$ et $N_2=c^2+d^2$, et on introduit $z_1=a+ib$, $z_2=c+id$. Comment écrire $N_1$ et $N_2$ en fonction de $z_1$ et $z_2$?
- En déduire que $N_1N_2$ est somme de deux carrés.
- Démontrer que si $N$ est somme de deux carrés, alors pour tout entier $p\geq 1$, $N^p$ est somme de deux carrés.
Enoncé
Soit $a$ un complexe de module $|a|<1$.
- Démontrer que, pour tout nombre complexe $z$ tel que $1-\bar a z\neq 0$, $$1-\left|\frac{z-a}{1-\bar{a}z}\right|^2 = \frac{(1-|a|^2)(1-|z|^2)}{|1-\bar a z|^2}.$$
- Déterminer les nombres complexes $z$ vérifiant $\displaystyle \left|\frac{z-a}{1-\bar{a}z}\right|\leq 1.$
Exercice 10 - Égalité dans l'inégalité triangulaire [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $z_1,\dots,z_n$ des nombres complexes tous non nuls. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que
$$|z_1+\dots+z_n|=|z_1|+\dots+|z_n|.$$
Complexes et équations
Enoncé
Résoudre l'équation $e^z=3\sqrt 3-3i$.
Exercice 12 - Racine carrée d'un nombre complexe [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Calculer les racines carrées des nombres complexes suivants :
$z_1=3+4i,\ z_2=8-6i.$
Enoncé
Déterminer les racines carrées de $Z=\sqrt 3+i$ sous forme algébrique, puis sous forme trigonométrique.
En déduire la valeur de $\cos\left(\frac\pi{12}\right)$.
Enoncé
Résoudre les équations suivantes :
$$\begin{array}{lll}
\mathbf{1.}\ z^3=1+i\sqrt 3&\quad&\mathbf{2.}\ z^6=\frac{-4}{1+i\sqrt 3}\\
\mathbf{3.}\ z^5=\frac{(1+i\sqrt 3)^4}{(1+i)^2}.&&
\end{array}$$
Enoncé
Résoudre les équations suivantes :
$$\begin{array}{lll}
\mathbf{1.}\ (z-1)^5=(z+1)^5&&\mathbf{2.}\ \left(\frac{z+1}{z-1}\right)^3+\left(\frac{z-1}{z+1}\right)^3=0\\
\mathbf{3.}(z+i)^n=(z-i)^n.
\end{array}$$
Exercice 16 - Variations sur les équations classiques [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Résoudre les équations suivantes :
$$\begin{array}{lll}
\mathbf{1.}\ iz^8+iz^4+1+i=0&&\mathbf{2.}\ z^n=\bar z\ (n\geq 2)\\
\mathbf{3.}\ z^4-z^3+z^2-z+1=0&& \mathbf{4.}\ 1+2z+\dots+2z^{n-1}+z^n=0
\end{array}$$
Enoncé
On cherche à résoudre l'équation
$$z^3+(1+i)z^2+(i-1)z-i=0.$$
- Rechercher une solution imaginaire pure $ai$ à l'équation.
- Déterminer $b,c\in\mathbb R$ tels que $$z^3+(1+i)z^2+(i-1)z-i=(z-ai)(z^2+bz+c).$$
- En déduire toutes les solutions de l'équation.
- Sur le même modèle, résoudre l'équation $z^3-(2+i)z^2+2(1+i)z-2i=0$.
Enoncé
Résoudre l'équation $4iz^3+2(1+3i)z^2-(5+4i)z+3(1-7i)=0$, sachant qu'elle admet une racine réelle.
Complexes et géométrie
Enoncé
Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\vec u,\vec v)$. Déterminer l'ensemble des points $M$ dont l'affixe $z$ vérifie la relation demandée :
$$
\begin{array}{lll}
\mathbf{1.}\ \arg(z-2)=\frac{\pi}2\ [2\pi]&
\mathbf{2.}\ \arg(z-2)=\frac{\pi}2\ [\pi]&
\mathbf{3.}\ \arg(iz)=\frac{\pi}{4}\ [\pi]\\
\mathbf{4.}\ \arg\left(\frac{z}{1+i}\right)=\frac{\pi}2\ [2\pi]&
\mathbf{5.}\ \arg\left(\frac{z-2i}{z-1+i}\right)=\frac{\pi}2\ [\pi]
\end{array}
$$
Enoncé
Déterminer le lieu géométrique des points $M$ dont l'affixe $z$ vérifie
$$
\begin{array}{ll}
\mathbf{1.}\ |z-i|=|z+i|&
\mathbf{2.}\ \displaystyle \frac{|z-3+i|}{|z+5-2i|}=1\\
\mathbf{3.}\ |(1+i)z-2i|=2&
\mathbf{4.}\ \displaystyle \ |3+iz|=|3-iz|
\end{array}$$
Exercice 21 - Écriture complexe de transformations [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Déterminer la nature et les éléments caractéristiques des transformations géométriques données par l'écriture complexe suivante :
$$\begin{array}{ll}
\mathbf 1.\ z\mapsto \frac 1iz&\mathbf 2.\ z\mapsto z+(2+i)\\
\mathbf 3.\ z\mapsto (1+i\sqrt 3)z+\sqrt 3(1-i)&\mathbf 4.\ z\mapsto (1+i\tan\alpha )z-i\tan\alpha,\ \alpha\in [0,\pi/2[.
\end{array}$$
Enoncé
Dans le plan muni d'un repère orthonormal $(O,\vec i,\vec j)$, on note $A_0$ le point d'affixe 6 et $S$ la similitude de centre $O$, de rapport $\frac{\sqrt 3}2$ et d'angle $\frac\pi 6$. On pose $A_{n+1}=S(A_n)$ pour $n\geq 1$.
- Déterminer, en fonction de $n$, l'affixe du point $A_n$. En déduire que $A_{12}$ est sur la demi-droite $(O,\vec i)$.
- Établir que le triangle $OA_nA_{n+1}$ est rectangle en $A_{n+1}$.
- Calculer la longueur du segment $[A_0A_1]$. En déduire la longueur $\ell$ de la ligne polygonale $A_0A_1A_2\dots A_{12}.$
Enoncé
Pour chacune des conditions suivantes, déterminer le lieu géométrique des points $M$ d'affixe $z$ qui vérifient la condition.
- $I(i)$ et $M'(iz)$ sont alignés avec $M$; déterminer alors l'ensemble des points $M'$ correspondants;
- $\displaystyle \Re e\left(\frac{z-1}{z-i}\right)=0$;
- $M$, $P$ d'affixe $z^2$ et $Q$ d'affixe $z^3$ sont les sommets d'un triangle rectangle.
Enoncé
Soit $ABCD$ un carré dans le plan complexe. Prouver que, si $A$ et $B$ sont à coordonnées entières,
il en est de même de $C$ et $D$. Peut-on trouver un triangle équilatéral dont les trois sommets sont à coordonnées entières?
Enoncé
Soit $a$ un nombre complexe de module 1, $z_1,\dots,z_n$ les racines de l'équation $z^n=a$. Montrer que les points du plan complexe dont
les affixes sont $(1+z_1)^n,\dots,(1+z_n)^n$ sont alignés.
Enoncé
Trouver tous les nombres complexes $z$ tels que les points d'affixe $z$, $z^2$ et $z^4$ soient alignés.
Enoncé
Soient $A$, $B$ et $C$ trois points non alignés d'affixe $a$, $b$ et $c$. On note $j=e^{2i\pi/3}$.
- Montrer que le triangle $ABC$ est équilatéral direct si et seulement si $a+bj+cj^2=0$.
- On ne suppose pas nécessairement que $ABC$ est équilatéral. On construit à partir de $ABC$ les trois triangles équilatéraux de base $AB$, $AC$ et $BC$ construits à l'extérieur du premier. Montrer que les centres de gravité de ces trois triangles forme un triangle équilatéral.
Enoncé
Montrer que le triangle de sommets $M_1(z_1)$, $M_2(z_2)$ et $M_3(z_3)$ est équilatéral si et seulement si
$$z_1^2+z_2^2+z_3^2=z_1z_2+z_1z_3+z_2z_3.$$
Complexes et trigonométrie
Exercice 29 - Équations trigonométriques - après formule de trigonométrie [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Résoudre dans $\mathbb R$ les équations suivantes :
$$\begin{array}{ll}
\mathbf 1.\ \sin x\cos x=\frac 14.
&\mathbf 2.\ \sin\left(2x-\frac\pi3\right)=\cos\left(\frac x3\right)\\
\mathbf 3.\ \cos(3x)=\sin(x)&\mathbf 4. \tan x=2 \sin x.\\
\end{array}$$
Enoncé
Pour quelles valeurs de $m$ l'équation $\sqrt 3\cos x-\sin x=m$ admet-elle des solutions?
Les déterminer lorsque $m=\sqrt 2$.
Enoncé
On cherche à déterminer tous les réels $t$ tels que
$$\cos t=\frac{1+\sqrt 5}4.$$
- Démontrer qu'il existe une unique solution dans l'intervalle $]0,\pi/4[$. Dans la suite, on notera cette solution $t_0$.
- Calculer $\cos(2t_0)$, puis démontrer que $\cos(4t_0)=-\cos(t_0)$.
- En déduire $t_0$.
- Résoudre l'équation.
Enoncé
Résoudre sur $\mathbb R$ les inéquations suivantes :
$$\begin{array}{ll}
\mathbf 1.\ \tan x\geq 1& \mathbf 2.\ \cos(x/3)\leq \sin(x/3)\\
\mathbf 3.\ 2\sin^2 x\leq 1& \mathbf 4.\ \cos^2x \geq \cos2x.
\end{array}
$$
Enoncé
Résoudre sur $\mathbb R$ les inéquations suivantes :
- $2\cos^2 x-9\cos x+4\geq 0$;
- $\cos 5x+\cos 3x\geq \cos x$.
Enoncé
Linéariser $\cos^5 x$, $\sin^5 x$ et $\cos^2 x\sin^3 x$.
Enoncé
Exprimer $\cos(5x)$ et $\sin(5x)$ en fonction de $\cos x$ et $\sin x$.
Enoncé
Calculer $\int_0^{\pi/2}\cos^4t\sin^2tdt$.
Enoncé
Soit $n\in\mathbb N^*$ et $x,y\in\mathbb R$. Calculer les sommes suivantes :
- $\dis \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\cos(x+ky)$;
- $\displaystyle S=\sum_{k=0}^n \frac{\cos(kx)}{(\cos x)^k}\textrm{ et }T=\sum_{k=0}^n \frac{\sin(kx)}{(\cos x)^k},$ avec $x\neq\frac{\pi}2+k\pi$, $k\in\mathbb Z$;
- $\displaystyle D_n=\sum_{k=-n}^n e^{ikx}$ et $\displaystyle K_n=\sum_{k=0}^n D_k$, avec $x\neq 0+2k\pi$, $k\in\mathbb Z$.
Enoncé
A partir de la somme des racines $5-$ièmes de l'unité, calculer $\cos(2\pi/5)$.