Calculs algébriques - sommes et produits - formule du binôme
Manipulation des symboles sommes et produits
Enoncé
Pour chaque question, une seule réponse est juste. Laquelle?
- La somme $\sum_{k=0}^n 2$ $$\mathbf a.\textrm{ n'a pas de sens}\ \ \mathbf b. \textrm{ vaut }2(n+1)\ \ \mathbf c.\ \textrm{vaut }2n.$$
- La somme $\sum_{p=0}^{2n+1}(-1)^p$ est égale à $$\mathbf a.\ 1\ \ \mathbf b.\ -1\ \ \mathbf c.\ 0.$$
- Le produit $\prod_{i=1}^n (5a_i)$ est égal à $$\mathbf a.\ 5\prod_{i=1}^n a_i\ \ \mathbf b.\ 5^n\prod_{i=1}^n a_i\ \ \mathbf c.\ 5^{n-1}\prod_{i=1}^n a_i.$$
Enoncé
Simplifier les sommes et produits suivants :
$$\begin{array}{lcl}
\mathbf 1.\ \sum_{k=1}^n \ln\left(1+\frac 1k\right)&\quad\quad&\mathbf 2.\ \prod_{k=2}^n \left(1-\frac1{k^2}\right)\\
\mathbf 3.\ \sum_{k=0}^n \frac{1}{(k+2)(k+3)}.
\end{array}$$
Enoncé
Pour $n\in\mathbb N^*$, on note
$$a_n=\sum_{k=1}^n k,\ b_n=\sum_{k=1}^n k^2\textrm{ et }c_n=\sum_{k=1}^n k^3.$$
Démontrer que $\displaystyle a_n=\frac{n(n+1)}2$, que $\displaystyle b_n=\frac{n(n+1)(2n+1)}6$ et que $c_n=a_n^2$.
Enoncé
Démontrer que, pour tout $n\in\mathbb N^*$, on a
$$(n+1)!\geq\sum_{k=1}^n k!\quad.$$
Enoncé
Pour $n\in\mathbb N^*$ et $x\in\mathbb R$, on note
$$P_n(x)=\prod_{k=1}^n \left(1+\frac xk\right).$$
- Que valent $P_n(0)$, $P_n(1)$, $P_n(-n)$?
- Démontrer que pour tout réel non-nul $x$, on a $$P_n(x)=\frac {x+n}xP_n(x-1).$$
- Pour $p\in\mathbb N^*$, écrire $P_n(p)$ comme coefficient du binôme.
Exercice 6 - Somme géométrique dans tous ses états [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit pour $n\in\mathbb N$, $u_n=(-2)^n$. Calculer les sommes suivantes :
$$\sum_{k=0}^{2n} u_{k};\quad \sum_{k=0}^{2n+1} u_{k};\quad \sum_{k=0}^{n} u_{2k};\quad \sum_{k=0}^{2n} (u_{k}+n);\quad \left(\sum_{k=0}^{2n} u_{k}\right)+n;\quad \sum_{k=0}^{n} u_{k+n};\quad \sum_{k=0}^{n} u_{kn}.$$
Enoncé
- Simplifier la somme $\sum_{k=1}^{2n}(-1)^k k$ en faisant des sommations par paquets.
- Montrer par récurrence que pour tout $n\in\mtn^*$, on a $$S_n=\sum_{k=1}^n (-1)^k k=\frac{(-1)^n (2n+1)-1}{4}.$$ Retrouver le résultat précédent.
Enoncé
Soit $x\in\mathbb R$ et $n\in\mathbb N^*$.
- Calculer $S_n(x)=\sum_{k=0}^n x^k.$
- En déduire la valeur de $T_n(x)=\sum_{k=0}^n k x^k.$
Enoncé
Pour $n\in\mathbb N$, on note
$$a_n=\sum_{k=1}^n k,\ b_n=\sum_{k=1}^n k^2\textrm{ et }c_n=\sum_{k=1}^n k^3.$$
Pour cet exercice, on admettra que $\displaystyle a_n=\frac{n(n+1)}2$, que $\displaystyle b_n=\frac{n(n+1)(2n+1)}6$ et que $c_n=a_n^2$.
- Calculer $\displaystyle \sum_{1\leq i\leq j\leq n} ij$.
- Calculer $\displaystyle \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n \min(i,j)$.
Enoncé
Soit $n\geq 1$ et $x_1,\dots,x_n$ des réels vérifiant
$$\sum_{k=1}^n x_k=n\textrm{ et }\sum_{k=1}^n x_k^2=n.$$
Démontrer que, pour tout $k$ dans $\{1,\dots,n\}$, $x_k=1$.
Enoncé
Soient $(a_n)_{n\in\mathbb N}$ et $(B_n)_{n\in\mathbb N}$ deux suites de nombres complexes. On définit deux suites $(A_n)_{n\in\mathbb N}$ et $(b_n)_{n\in\mathbb N}$ en posant :
$$A_n=\sum_{k=0}^n a_k,\quad\quad b_n=B_{n+1}-B_n.$$
- Démontrer que $\sum_{k=0}^n a_kB_k=A_n B_n-\sum_{k=0}^{n-1}A_kb_k.$
- En déduire la valeur de $\sum_{k=0}^n 2^kk$.
Coefficients binômiaux - formule du binôme
Exercice 12 - Factorielle et coefficients binomiaux [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
- Soient $n,p\geq 1$. Démontrer que $$\binom{n}{p}=\frac np \binom {n-1}{p-1}.$$
- Pour $n\in\mathbb N$ et $a,b$ réels non nuls, simplifier les expressions suivantes : $$\mathbf 1.\ (n+1)!-n!\ \quad\mathbf 2.\ \frac{(n+3)!}{(n+1)!}\ \quad\mathbf 3.\ \frac{n+2}{(n+1)!}-\frac 1{n!}\ \quad\mathbf 4.\ \frac{u_{n+1}}{u_n}\textrm{ où }u_n=\frac{a^n}{n!b^{2n}}.$$
Enoncé
Soit $n\in\mathbb N$.
- Pour quels entiers $p\in\{0,\dots,n-1\}$ a-t-on $\binom np<\binom n{p+1}$.
- Soit $p\in\{0,\dots,n\}$. Pour quelle(s) valeur(s) de $q\in\{0,\dots,n\}$ a-t-on $\binom np=\binom nq$?
Enoncé
Soit $p\geq 1$. Démontrer que $p!$ divise tout produit de $p$ entiers naturels consécutifs.
Enoncé
- Développer $(x+1)^6$, $(x-1)^6$.
- Démontrer que, pour tout entier $n$, on a $\sum_{p=0}^n \binom np=2^n.$
- Démontrer que, pour tout entier $n$, on a $\sum_{p=0}^n \binom np 2^p=3^n$.
- Démontrer que, pour tout entier $n$, on a $\sum_{k=1}^{2n}\binom{2n}k (-1)^k 2^{k-1}=0.$
Enoncé
- Quel est le coefficient de $a^2b^4c$ dans le développement de $(a+b+c)^7$?
- Calculer la somme $$\binom{n}0+\frac12\binom{n}1+\dots+\frac{1}{n+1}\binom{n}{n}.$$
- Soient $p,q,m$ des entiers naturels, avec $q\leq p\leq m$. En développant de deux façons différentes $(1+x)^m$, démontrer que $$\binom{m}{p}=\binom{m-q}p+\binom{q}1\binom{m-q}{p-1}+\dots+\binom{q}k\binom{m-q}{p-k}+\dots+\binom{m-q}{p-q}.$$
Enoncé
Soient $n,p$ des entiers naturels avec $n\geq p$. Démontrer que
$$\sum_{k=p}^n \dbinom{k}{p}=\dbinom{n+1}{p+1}.$$
Enoncé
Calculer $(1+i)^{4n}$. En déduire les valeurs de
$$\sum_{p=0}^{2n}(-1)^p \dbinom{4n}{2p}\textrm{ et }\sum_{p=0}^{2n-1}(-1)^p \dbinom{4n}{2p+1}.$$
Enoncé
Le but de l'exercice est de démontrer que l'équation $x^2-2y^2=1$ admet une infinité de solutions avec $x,y$ des entiers naturels.
- Soit $n\geq 1$. Démontrer qu'il existe deux entiers $x_n$ et $y_n$ tels que $(3+2\sqrt 2)^n =x_n+\sqrt 2 y_n.$
- Exprimer $x_{n+1}$ et $y_{n+1}$ en fonction de $x_{n}$ et $y_{n}$.
- En déduire que les suites $(x_n)$ et $(y_n)$ sont strictement croissantes.
- Démontrer le résultat annoncé.