$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Résumé de cours et méthodes : Systèmes linéaires

  • On appelle système linéaire de $n$ équations à $p$ inconnues un système du type $$\left\{ \begin{array}{rcl} a_{1,1}x_1+a_{1,2}x_2+\dots+a_{1,p}x_p&=&b_1\\ a_{2,1}x_1+a_{2,2}x_2+\dots+a_{2,p}x_p&=&b_2\\ \vdots&\vdots&\vdots\\ a_{n,1}x_1+a_{n,2}x_2+\dots+a_{n,p}x_p&=&b_n.\\ \end{array} \right. $$ Les nombres (réels ou complexes) $a_{i,j}$ et $b_i$ sont donnés, on les appelle les coefficients du système. Les $x_i$ sont les inconnues du système, résoudre le système revient à déterminer les valeurs possibles des $x_i$.
  • Le système homogène associé au système précédent est le système : $$\left\{ \begin{array}{rcl} a_{1,1}x_1+a_{1,2}x_2+\dots+a_{1,p}x_p&=&0\\ a_{2,1}x_1+a_{2,2}x_2+\dots+a_{2,p}x_p&=&0\\ \vdots&\vdots&\vdots\\ a_{n,1}x_1+a_{n,2}x_2+\dots+a_{n,p}x_p&=&0.\\ \end{array} \right. $$
  • Structure de l'ensemble des solutions : notons $\mathcal S$ l'ensemble des solutions du système et $\mathcal S_H$ l'ensemble des solutions du système homogène associé. Alors :
    • ou bien le système n'admet pas de solution.
    • ou bien le système admet au moins une solution $(x_1,\dots,x_p)$. Alors une solution du système est somme de $(x_1,\dots,x_p)$ et d'une solution du système homogène : $$\mathcal S=\{(x_1+y_1,\dots,x_p+y_p);\ (y_1,\dots,y_p)\in \mathcal S_H\}.$$
  • Opérations élémentaires : l’ensemble des solutions d’un système linéaire ne change pas si on effectue sur les équations les opérations élémentaires suivantes :
    • Changer l’ordre des équations
    • Multiplier une équation par une constante non nulle
    • Ajouter à une équation un multiple d'une autre équation
    • Changer l’ordre des variables
  • Méthode du pivot de Gauss : on choisit dans la première ligne une inconnue dont le coefficient est non nul. En ajoutant aux autres lignes un multiple de cette ligne, on peut éliminer cette inconnue des autres lignes. On recommence avec la deuxième ligne et une autre inconnue, jusqu'à épuiser les lignes ou les inconnues. On arrive alors à un système échelonné qui ressemble au suivant : $$\left\{ \begin{array}{cccccccccccc} a'_{1,1}x_1&+&a'_{1,2}x_2&+&\dots&+&a'_{1,r}x_r&+&\dots&+&a'_{1,p}x_p&=&b'_1\\ &&a'_{2,2}x_2&+&\dots&+&a'_{2,r}x_r&+&\dots&+&a'_{2,p}x_p&=&b'_2\\ \vdots&\vdots&\vdots\\ &&&&&&a'_{r,r}x_r&+&\dots&+&a'_{r,p}x_p&=&b'_r\\ &&&&&&&&&&0&=&b'_{r+1}\\ &&&&&&&&&&\vdots&\vdots&\vdots\\ &&&&&&&&&&0&=&b'_n. \end{array} \right. $$ Les $n-r$ dernières équations, qui ne font plus intervenir les inconnues, sont des relations de compatibilité du système. Elles expriment des conditions sur le second membre pour qu'il existe des solutions. Si ces conditions ne sont pas remplies, le système n'admet pas de solutions.

    Si ces conditions sont remplies, alors les inconnues $x_{r+1},\dots,x_p$ peuvent être choisies librement. Ce sont des paramètres du système. En remontant de la $r-$ième ligne à la première, on peut calculer les inconnues $x_1,\dots,x_r$ en fonction de ces paramètres.