$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Résumé de cours et méthodes : Systèmes linéaires

Généralités sur les systèmes linéaires
  • On appelle système linéaire de $n$ équations à $p$ inconnues un système du type $$\left\{ \begin{array}{rcl} a_{1,1}x_1+a_{1,2}x_2+\dots+a_{1,p}x_p&=&b_1\\ a_{2,1}x_1+a_{2,2}x_2+\dots+a_{2,p}x_p&=&b_2\\ \vdots&\vdots&\vdots\\ a_{n,1}x_1+a_{n,2}x_2+\dots+a_{n,p}x_p&=&b_n.\\ \end{array} \right. $$ Les nombres (réels ou complexes) $a_{i,j}$ et $b_i$ sont donnés, on les appelle les coefficients du système. Les $x_i$ sont les inconnues du système, résoudre le système revient à déterminer les valeurs possibles des $x_i$.
  • Le système homogène associé au système précédent est le système : $$\left\{ \begin{array}{rcl} a_{1,1}x_1+a_{1,2}x_2+\dots+a_{1,p}x_p&=&0\\ a_{2,1}x_1+a_{2,2}x_2+\dots+a_{2,p}x_p&=&0\\ \vdots&\vdots&\vdots\\ a_{n,1}x_1+a_{n,2}x_2+\dots+a_{n,p}x_p&=&0.\\ \end{array} \right. $$
  • Structure de l'ensemble des solutions : notons $\mathcal S$ l'ensemble des solutions du système et $\mathcal S_H$ l'ensemble des solutions du système homogène associé. Alors :
    • ou bien le système n'admet pas de solution.
    • ou bien le système admet au moins une solution $(x_1,\dots,x_p)$. Alors une solution du système est somme de $(x_1,\dots,x_p)$ et d'une solution du système homogène : $$\mathcal S=\{(x_1+y_1,\dots,x_p+y_p);\ (y_1,\dots,y_p)\in \mathcal S_H\}.$$
L'algorithme du pivot de Gauss

Le système linéaire \[\left\lbrace\begin{array}{rrrcr} x\,- & 2\,y\,- & z & = & 2\\ 2\,x\,- & 5\,y\,- & 4\,z & = & 6\\ -3\,x\,+ & y\,- & 5\,z & = & 1\end{array}\right. \] semble difficile à résoudre. En revanche, le système (triangulaire) suivant est plus simple à résoudre : \[\left\lbrace\begin{array}{rrrcr} x\,- & 2\,y\,- & z & = & 2\\ & y\,+ & 2\,z & = & -2\\ & & \,\,z & = & -\frac 32\end{array}\right. \] On détermine en effet successivement la valeur de chaque inconnue de bas en haut. Ces deux systèmes sont équivalents. L'algorithme du pivot de Gauss va permettre de passer de l'un à l'autre.

  • Opérations élémentaires : l’ensemble des solutions d’un système linéaire ne change pas si on effectue sur les équations les opérations élémentaires suivantes :
    • échanger deux lignes, $L_i\leftrightarrow L_j$.
    • multiplier une ligne par un réel non nul, $L_i\leftarrow a L_i$, $a \neq 0$.
    • ajouter à une ligne un multiple d'une autre ligne, $L_i\leftarrow L_i+b L_j$, $b\in\mathbb R$.
  • Méthode du pivot de Gauss :
    • On cherche une ligne faisant apparaître la première inconnue. Le coefficient apparaissant devant cette inconnue s'appelle le pivot.
    • On fait un échange de lignes pour amener le pivot sur la première ligne.
    • On fait disparaître la première inconnue des autres lignes à l’aide d’opérations élémentaires $L_i\leftarrow L_i+\lambda L_1$.
    • On recommence à partir de la deuxième ligne et de l'inconnue suivante qui apparaît encore dans les lignes suivantes.

    Après application de la méthode du pivot de Gauss, on arrive alors à un système échelonné qui a la forme suivante : $$\left\{ \begin{array}{cccccccccccccc} a'_{1,j_1}x_{j_1}&+&\dots&+&\dots&+&\dots&+&\dots&+&\dots&+&\dots&=&b'_1\\ &&&&a'_{2,j_1}x_{j_2}&+&\dots&+&\dots&+&\dots&+&\dots&=&b'_2\\ &&&&&&\ddots&\ddots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ &&&&&&&&a'_{r,j_r}x_{j_r}&+&\dots&+&\dots&=&b'_r\\ &&&&&&&&&&&&0&=&b'_{r+1}\\ &&&&&&&&&&&&\vdots&\vdots&\vdots\\ &&&&&&&&&&&&0&=&b'_n \end{array} \right. $$ où les $a'_{i,j_i}$ (premiers coefficients de chaque ligne) ne sont pas nuls. Les $n-r$ dernières équations, qui ne font plus intervenir les inconnues, sont des relations de compatibilité du système. Elles expriment des conditions sur le second membre pour qu'il existe des solutions. S'il existe une ligne du type $0=b'_i$ avec $b'_i$ non nul, alors le système n'admet pas de solutions.

    Si au contraire il n'y a pas de ligne $0=b'_i$, alors le système admet toujours une ou une infinité de solutions. Dans ce cas, on appelle inconnue principale une inconnue $x_i$ se plaçant en tête d'une des lignes du système. On peut alors résoudre le système en exprimant les inconnues principales en fonction des autres inconnues, qui sont des paramètres libres. On procède pour cela par substitution de bas en haut. S'il n'y a pas d'inconnues qui ne sont pas principales, le système admet une solution unique. Sinon, le système admet une infinité de solutions.