Résumé de cours : Séries numériques
Dans toute la suite, $(u_n)_{n\in\mathbb N}$ désigne une suite de nombres complexes.Généralités
- On appelle somme partielle d'ordre $n$ de la série $\sum u_k$ le nombre complexe $$S_n=\sum_{k=0}^n u_k.$$
- On dit que la série $\sum u_n$ converge si la suite de ses sommes partielles $(S_n)$ est convergente. On dit qu'elle diverge dans le cas contraire. Dans le cas de la convergence, on note $$\sum_{k=0}^{+\infty}u_k=\lim_{n\to+\infty}S_n.$$ Le nombre complexe $ \sum_{k=0}^{+\infty}u_n$ s'appelle la somme de la série $\sum u_k$. Toujours dans le cas de la convergence, le reste de la série d'ordre $n$ est défini par $$R_n=\sum_{k=n+1}^{+\infty}u_k.$$
- Proposition : Si la série $\sum_n u_n$ converge, alors le terme général $(u_n)$ tend vers 0.
- Proposition : Soit $a\in\mathbb C$. La série géométrique $\sum_n a^n$ converge si et seulement si $|a|<1$. Dans ce cas, $$\sum_{n=0}^{+\infty}a^n=\frac 1{1-a}.$$
- Lien suite série : Si on pose, pour $n\geq 0$, $v_n=u_{n+1}-u_n$, alors $$\sum_{k=0}^n v_k=u_{n+1}-u_0.$$ En particulier, la suite $(u_n)$ converge si et seulement si la série $\sum_n (u_{n+1}-u_n)$ converge.
Séries à termes positifs-
Théorème : Une série à termes positifs converge si et seulement si la suite de ses sommes partielles est majorée.
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Corollaire : Soit $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites de nombres réels positifs telles que $u_n\leq v_n$. Alors
- si $\sum_n v_n$ converge, alors $\sum_n u_n$ converge.
- si $\sum_n u_n$ diverge, alors $\sum_n v_n$ diverge.
- Corollaire : Soit $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites de nombres réels positifs telles que $u_n\sim v_n$. Alors $\sum_n u_n$ converge si et seulement si $\sum_n v_n$ converge.
Comparaison à une intégrale- Soit $f:[0,+\infty[\to\mathbb R$.
En sommant ces inégalités, on obtient des encadrements des sommes partielles et des restes des séries.
- si $f$ est croissante, alors pour tout $n\geq 1$, $$\int_{n-1}^n f(t)dt\leq f(n)\leq \int_n^{n+1}f(t)dt.$$
- si $f$ est décroissante, alors pour tout $n\geq 1$, $$\int_{n}^{n+1} f(t)dt\leq f(n)\leq \int_{n-1}^{n}f(t)dt.$$
- Corollaire (séries de Riemann) : La série $\sum_n \frac1{n^\alpha}$ converge si et seulement si $\alpha>1$.Séries absolument convergentes
- On dit que la série $\sum u_n$ est absolument convergente si la série $\sum_n |u_n|$ est convergente.
- Théorème : Toute série absolument convergente est convergente.
- En particulier, si $(v_n)$ est une suite de réels positifs telle que $\sum_n v_n$ converge et $u_n=_{+\infty}O(v_n)$, alors la série $\sum_n u_n$ est absolument convergente, donc convergente.
Développement décimal propre d'un réel- Théorème : Soit $x\in [0,1[$. Il existe une unique suite $(a_n)_{n\geq 1}$ d'éléments de $\{0,\dots,9\}$ telle queL'écriture précédente s'appelle le développement décimal propre de $x$.
- $(a_n)$ n'est pas stationnaire à $9$;
- $\displaystyle x=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{a_n}{10^n}$.