Résumé de cours : Séries numériques
Dans toute la suite, $(u_n)_{n\in\mathbb N}$ désigne une suite de nombres complexes.On appelle série de terme général $u_n$ la suite $(S_n)_{n\geq 0}$ où pour tout $n\geq 0$ $$S_n=\sum_{k=0}^n u_k.$$ On note $\sum u_k$ cette suite, et $S_n$ est appelé somme partielle d'ordre $n$ de la série $\sum u_k$.
On dit que la série $\sum u_n$ converge si la suite de ses sommes partielles $(S_n)_{n\geq 0}$ est convergente. On dit qu'elle diverge dans le cas contraire. Dans le cas de la convergence, on note $$\sum_{k=0}^{+\infty}u_k=\lim_{n\to+\infty}S_n.$$ Le nombre complexe $ \sum_{k=0}^{+\infty}u_n$ s'appelle la somme de la série $\sum u_k$. Toujours dans le cas de la convergence, le reste d'ordre $n$ de la série est défini par $$R_n=\sum_{k=n+1}^{+\infty}u_k.$$
Une série $\sum u_n$ telle que $(u_n)$ ne tend pas vers $0$ est dite grossièrement divergente.
- si $\sum_n v_n$ converge, alors $\sum_n u_n$ converge.
- si $\sum_n u_n$ diverge, alors $\sum_n v_n$ diverge.
Si la suite $(u_n)$ est une suite de réels positifs, alors la suite $(S_n)$ est croissante. On en déduit les résultats suivants.
Pour appliquer ces résultats, il nous faut des séries de référence. On a déjà étudié la convergence des séries géométriques. On va bientôt étudier celle des séries $\sum_{n\geq 1}\frac{1}{n^\alpha}.$
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Soit $f:[0,+\infty[\to\mathbb R$ continue par morceaux. On s'intéresse aux séries du type $\sum f(n)$.
Lorsque $f$ est monotone, on peut encadrer $f(n)$ par la méthode des rectangles.
Précisément, on a :
- si $f$ est croissante, alors pour tout $n\geq 1$, $$\int_{n-1}^n f(t)dt\leq f(n)\leq \int_n^{n+1}f(t)dt.$$
- si $f$ est décroissante, alors pour tout $n\geq 1$, $$\int_{n}^{n+1} f(t)dt\leq f(n)\leq \int_{n-1}^{n}f(t)dt.$$
En sommant ces inégalités, on obtient des encadrements des sommes partielles et des restes des séries.
On dit que la série $\sum u_n$ est absolument convergente si la série $\sum_n |u_n|$ est convergente.
La réciproque de ce théorème est fausse. Une série qui est convergente sans être absolument convergente est dite semi-convergente.
- Théorème : Soit $x\in [0,1[$. Il existe une unique suite $(a_n)_{n\geq 1}$ d'éléments de $\{0,\dots,9\}$ telle que
- $(a_n)$ n'est pas stationnaire à $9$;
- $\displaystyle x=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{a_n}{10^n}$.