$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Résumé de cours : Séries numériques

  Dans toute la suite, $(u_n)_{n\in\mathbb N}$ désigne une suite de nombres complexes.
Généralités
  • On appelle somme partielle d'ordre $n$ de la série $\sum u_k$ le nombre complexe $$S_n=\sum_{k=0}^n u_k.$$
  • On dit que la série $\sum u_n$ converge si la suite de ses sommes partielles $(S_n)$ est convergente. On dit qu'elle diverge dans le cas contraire. Dans le cas de la convergence, on note $$\sum_{k=0}^{+\infty}u_k=\lim_{n\to+\infty}S_n.$$ Le nombre complexe $ \sum_{k=0}^{+\infty}u_n$ s'appelle la somme de la série $\sum u_k$. Toujours dans le cas de la convergence, le reste de la série d'ordre $n$ est défini par $$R_n=\sum_{k=n+1}^{+\infty}u_k.$$
  • Proposition : Si la série $\sum_n u_n$ converge, alors le terme général $(u_n)$ tend vers 0.
  • Proposition : Soit $a\in\mathbb C$. La série géométrique $\sum_n a^n$ converge si et seulement si $|a|<1$. Dans ce cas, $$\sum_{n=0}^{+\infty}a^n=\frac 1{1-a}.$$
  • Lien suite série : Si on pose, pour $n\geq 0$, $v_n=u_{n+1}-u_n$, alors $$\sum_{k=0}^n v_k=u_{n+1}-u_0.$$ En particulier, la suite $(u_n)$ converge si et seulement si la série $\sum_n (u_{n+1}-u_n)$ converge.
Séries à termes positifs
  • Théorème : Une série à termes positifs converge si et seulement si la suite de ces sommes partielles est majorée.
  • Corollaire : Si $(u_n)$ et $(v_n)$ sont deux suites de nombres réels positives.
    • Si $u_n\leq v_n$, la convergence de $\sum_n v_n$ entraine la convergence de $\sum_n u_n$.
    • Si $u_n\sim v_n$, les séries $\sum_n u_n$ et $\sum_n v_n$ sont de même nature.
Comparaison à une intégrale
  • Soit $f:[0,+\infty[\to\mathbb R$.
    • si $f$ est croissante, alors pour tout $n\geq 1$, $$\int_{n-1}^n f(t)dt\leq f(n)\leq \int_n^{n+1}f(t)dt.$$
    • si $f$ est décroissante, alors pour tout $n\geq 1$, $$\int_{n}^{n+1} f(t)dt\leq f(n)\leq \int_{n-1}^{n}f(t)dt.$$
    En sommant ces inégalités, on obtient des encadrements des sommes partielles et des restes des séries.
  • Corollaire (séries de Riemann) : La série $\sum_n \frac1{n^\alpha}$ converge si et seulement si $\alpha>1$.
Séries absolument convergentes
  • On dit que la série $\sum u_n$ est absolument convergente si la série $\sum_n |u_n|$ est convergente.
  • Théorème : Toute série absolument convergente est convergente.
  • En particulier, si $(v_n)$ est une suite de réels positifs telle que $\sum_n v_n$ converge et $u_n=_{+\infty}O(v_n)$, alors la série $\sum_n u_n$ est absolument convergente, donc convergente.
Développement décimal propre d'un réel
  • Théorème : Soit $x\in [0,1[$. Il existe une unique suite $(a_n)_{n\geq 1}$ d'éléments de $\{0,\dots,9\}$ telle que
    • $(a_n)$ n'est pas stationnaire à $9$;
    • $\displaystyle x=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{a_n}{10^n}$.
    L'écriture précédente s'appelle le développement décimal propre de $x$.