Résumé de cours : nombres réels
Ensembles de nombres
- Les nombres rationnels sont ceux écrivant $p/q$, où $p$ et $q$ sont des entiers, $q\neq 0$. L'ensemble des nombres rationnels est noté $\mathbb Q$.
- Les nombres décimaux sont ceux écrivant $\frac{p}{10^n}$, où $p$ est un entier relatif et $n$ est un entier naturel.
Partie entière
- Si $x$ est un nombre réel, on appelle partie entière de $x$, et on note $\lfloor x\rfloor$, le plus grand entier relatif inférieur ou égal à $x$. En particulier, $\lfloor x\rfloor$ est caractérisé par la relation $$\lfloor x\rfloor\leq x<\lfloor x\rfloor +1.$$
- Si $x$ est un nombre réel et $n$ est un entier naturel, alors on a $$\frac{\lfloor 10^n x\rfloor}{10^n}\leq x<\frac{\lfloor 10^n x\rfloor}{10^n}+\frac 1{10^n}.$$ $\frac{\lfloor 10^n x\rfloor}{10^n}$ est une valeur approchée par défaut à $10^{-n}$ près de $x$, tandis que $\frac{\lfloor 10^n x\rfloor}{10^n}+10^{-n}$ est une valeur approchée par excès à $10^{-n}$ près de $x$.
Intervalle
- La droite réelle achevée est l'ensemble $\overline{\mathbb R}$ constituée de $\mathbb R$ auquel on ajoute deux éléments notés $+\infty$ et $-\infty$ : $$\overline{\mathbb R}=\mathbb R\cup\{+\infty\}\cup\{-\infty\}.$$ On étend l'ordre de $\mathbb R$ à $\overline{\mathbb R}$ par $-\infty\leq x\leq +\infty$ pour tout $x\in\mathbb R$.
- Les intervalles de $\mathbb R$ sont les ensembles suivants :
- les segments $[a,b]$, avec $a,b\in\mathbb R$;
- les intervalles semi-ouverts à droite, $[a,b[$, avec $a\in\mathbb R$ et $b\in\mathbb R\cup\{+\infty\}$;
- les intervalles semi-ouverts à gauche, $]a,b]$, avec $a\in\mathbb R\cup\{-\infty\}$ et $b\in\mathbb R$;
- les intervalles ouverts $]a,b[$, avec $a,b\in\overline{\mathbb R}$.
- Théorème : Une partie $I$ de $\mathbb R$ est un intervalle si et seulement si, pour tous $a,b\in I$ avec $a<b$, alors $[a,b]\subset I$.Autrement dit, une partie $I$ de $\mathbb R$ est un intervalle si, dès qu'elle contient deux réels, elle contient tous les réels intermédiaires.
Borne supérieure
- Une partie $A$ de $\mathbb R$ est majorée s'il existe un réel $M$ tel que, pour tout $x\in A$, $x\leq M$. $M$ est alors appelée un majorant de $A$.
- De même, une partie $A$ de $\mathbb R$ est minorée s'il existe un réel $m$ tel que, pour tout $x\in A$, $x\geq m$. $m$ est alors appelée un minorant de $A$.
- On dit qu'un réel $M$ est une (la) borne supérieure de $A\subset\mathbb R$ si c'est un majorant de $A$, et si c'est le plus petit des majorants de $A$ : pour tout majorant $M'$ de $A$, alors $M\leq M'$.
- De même, on appelle borne inférieure de $A\subset\mathbb R$ le plus grand des minorants de $A$, s'il existe.
- Caractérisation de la borne supérieure : Soit $A$ une partie de $\mathbb R$ et $M$ un nombre réel. Alors $M$ est la borne supérieure de $A$ si et seulement si
- $M$ majore $A$ : $\forall x\in A,\ x\leq M$;
- $\forall \veps>0,\ \exists x\in A,\ x\geq M-\veps$.
Théorème : Toute partie non vide majorée de $\mathbb R$ admet une borne supérieure.- De la même façon, $m$ est une borne inférieure de $A$ si $m$ est un minorant de $A$ et si, pour tout $\veps>0$, il existe $x\in A$ avec $x\leq m+\veps$. Toute partie de $\mathbb R$ non vide et minorée admet une borne inférieure.