$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Résumé de cours : Polynômes à une indéterminée

$\mathbb K$ désigne le corps $\mathbb R$ ou $\mathbb C$.
Anneau des polynômes, opérations, degré
  • On appelle polynôme à coefficients dans $\mathbb K$ une suite finie $(a_0,\dots,a_N)$ d'éléments de $\mathbb K$. On note ce polynôme $\sum_{n\geq 0}a_nX^n$, où $X$ est appelée l'indéterminée. On note $\mathbb K[X]$ l'ensemble des polynômes à coefficients dans $\mathbb K$.
  • On définit sur $\mathbb K[X]$ les opérations suivantes : si $P(X)=\sum_{n\geq 0}a_nX^n$ et $Q(X)=\sum_{n\geq 0}b_nX^n$ (où les suites $(a_n)$ et $(b_n)$ sont nulles à partir d'un certain rang), on pose $$(P+Q)(X)=\sum_{n\geq 0}(a_n+b_n)X^n$$ $$(PQ)(X)=\sum_{n\geq 0}c_nX^n\textrm{ où }c_n=\sum_{k=0}^n a_kb_{n-k}.$$ Ces deux opérations font de $\mathbb K[X]$ un anneau.
  • Soient $A,B\in\mathbb K[X]$, avec $B=\sum_{n=0}^N b_nX^n$. Alors on appelle composé de $A$ par $B$ le polynôme de $\mathbb K[X]$ $$B\circ A=\sum_{n=0}^N b_n A^n.$$
  • Si $P=\sum_{n\geq 0}a_n X^n$ n'est pas nul, il existe un plus grand indice $n\in\mathbb N$ tel que $a_n\neq 0$. Cet entier s'appelle le degré de $P$, noté $\deg( P)$. Le coefficient $a_n$ correspondant s'appelle le coefficient dominant de $P$. Par convention, si $P$ est nul, son degré vaut $-\infty$.
  • Pour tous polynômes $P,Q\in\mathbb K[X]$ non nuls, on a \begin{eqnarray*} \deg(P+Q)&\leq&\max\big(\deg( P),\deg(Q)\big)\\ \deg(PQ)&=&\deg( P)+\deg(Q)\\ \deg(P\circ Q)&=&\deg( P)\times\deg(Q). \end{eqnarray*}
  • On note $\mathbb K_n[X]$ l'ensemble des polynômes à coefficients dans $\mathbb K$ de degré inférieur ou égal à $n$.
Dérivation
  • Pour $P=\sum_{n\geq 0}a_n X^n$, on note $P'=\sum_{n\geq 1}na_n X^{n-1}$ appelé polynôme dérivé. Si $\deg(P )\geq 1$, alors $\deg(P')=\deg( P)-1$.
  • Formule de Leibniz : Pour $P,Q\in\mathbb K[X]$ et $n\in\mathbb N$, alors $$(PQ)^{(n)}=\sum_{k=0}^n \binom nk P^{(k)}Q^{(n-k)}.$$
Fonction polynomiale, racine
  • Un polynôme $P=\sum_{n=0}^N a_n X^n\in\mathbb K[X]$ définit une fonction polynomiale $\tilde P:\mathbb K\to\mathbb K$ par $\tilde P(z)=\sum_{n=0}^N a_n z^n$. Le plus souvent, on identifie polynôme et fonction polynomiale.
  • On dit que $z$ est une racine de $P$ si $P(z)=0$. Ceci est équivalent à dire que $(X-z)$ divise $P$.
  • Si $z_1,\dots,z_p$ sont des racines distinctes de $P$, alors $(X-z_1)\cdots (X-z_p)$ divise $P$.
  • Un polynôme de degré $n\geq 0$ admet au plus $n$ racines.
  • Formule de Taylor : Soit $P\in\mathbb K[X]$ et $z\in\mathbb K$. Alors $$P(X)=\sum_{n\geq 0}\frac{P^{(n)}(z)}{n!}(X-z)^n.$$
  • Soit $P\in\mathbb K[X]$, soit $z\in\mathbb K$ et soit $k\in\mathbb N$. On dit que $z$ est racine d'ordre de multiplicité $k$ si $$P(z)=P'(z)=\dots=P^{(k-1)}(z)=0\textrm{ et }P^{(k)}(z)\neq 0.$$
  • Théorème : Soit $P\in\mathbb K[X]$, soit $z\in\mathbb K$ et soit $k\in\mathbb N$. Les assertions suivantes sont équivalentes :
    • $z$ est racine de multiplicité $k$ de $P$.
    • $(X-z),\dots,(X-z)^{k}$ divisent $P$, et $(X-z)^{k+1}$ ne divise pas $P$.
  • Un polynôme $P\in\mathbb K[X]$ de degré $N$ est dit scindé s'il se factorise en $$P(X)=a_N\prod_{j=1}^N (X-z_j).$$
  • Relations coefficients/racines : Si un polynôme est scindé, on peut exprimer les coefficients en fonction des racines en développant l'expression ci-dessus. Plus précisément, si $$P(X)=\sum_{n=0}^N a_n X^n=a_N\prod_{j=1}^N (X-z_j)$$ alors $$a_{N-p}=(-1)^p a_N\sum_{1\leq k_1<k_2<\dots<k_p\leq N}z_{k_1}\cdots z_{k_p}.$$ En particulier, on a $$\sum_{k=1}^N z_k=-\frac{a_{N-1}}{a_N},\ \prod_{k=1}^N z_k=(-1)^N \frac{a_0}{a_N}.$$
Arithmétique des polynômes
  • Théorème : Soit $A,B\in\mathbb K[X]$ avec $B$ non nul. Il existe un unique couple $(Q,R)\in\mathbb K[X]$ tel que $A=BQ+R$ et $\deg( R)<\deg(B)$.
  • Soit $A,B\in\mathbb K[X]$ avec $B$ non nul. On dit que $B$ divise $A$ s'il existe $Q\in\mathbb K[X]$ tel que $A=BQ$.
  • Soient $A,B$ dans $\mathbb K[X]$ non-nuls. Tout diviseur commun à $A$ et $B$ de degré maximal est appelé pgcd de $A$ et $B$. Tous les pgcd de $A$ et $B$ sont associés. En particulier, un seul est unitaire, on l'appelle parfois le pgcd de $A$ et $B$. Il est noté $A\wedge B$. Comme pour les entiers, le pgcd de deux polynômes peut se calculer à l'aide de divisions euclidiennes successives et de l'algorithme d'Euclide.
  • On dit que $A$ et $B$ sont premiers entre eux si $A\wedge B=1$.
  • Théorème de Bézout : Soient $A,B\in\mathbb K[X]$ non-nuls. Alors $A\wedge B=1$ si et seulement s'il existe $U,V\in\mathbb K[X]$ tels que $AU+BV=1$.
  • Lemme de Gauss : Soient $A,B,C\in\mathbb K[X]$ non-nuls. On suppose que $A\wedge B=1$. Alors si $A|BC$, on a $A|C$.
  • Soient $A,B$ dans $\mathbb K[X]$ non-nuls. Tout multiple commun à $A$ et $B$ de degré minimal est appelé ppcm de $A$ et $B$. Tous les ppcm de $A$ et $B$ sont associés. En particulier, un seul est unitaire, on l'appelle parfois le ppcm de $A$ et $B$. Il est noté $A\vee B$.
Polynômes irréductibles
  • Théorème de d'Alembert-Gauss : Tout polynôme de $\mathbb C[X]$ non-constant admet une racine dans $\mathbb C$.
  • Par conséquent, tout polynôme non-constant de $\mathbb C[X]$ est scindé.
  • Un polynôme $P\in\mathbb K[X]$ est irréductible s'il est de degré supérieur ou égal à 1 et si tous ses diviseurs sont les polynômes constants ou les polynômes associés à $P$ (c'est-à-dire les polynômes qui s'écrivent $\lambda P$ avec $\lambda\in\mathbb K$).
  • Décomposition en produit d'irréductibles sur $\mathbb C[X]$ :
    • Les polynômes irréductibles de $\mathbb C[X]$ sont les polynômes de degré 1.
    • Tout polynôme non nul est produit de son coefficient dominant et de polynômes irréductibles unitaires. Cette décomposition est unique à l'ordre des termes près.
  • En particulier, tout polynôme $P\in\mathbb C[X]$ non-constant se factorise en $$P(X)=a_N\prod_{k=1}^r (X-z_k)^{\mu_k}$$ où $z_1,\dots,z_r$ sont les racines distinctes de $P$ dans $\mathbb C$ de multiplicités respectives $\mu_1,\dots,\mu_r$.
  • Décomposition en produit d'irréductibles sur $\mathbb R[X]$ :
    • Les polynômes irréductibles de $\mathbb R[X]$ sont les polynômes de degré 1 et les polynômes de degré 2 de discriminant strictement négatif.
    • Tout polynôme non nul est produit de son coefficient dominant et de polynômes irréductibles unitaires. Cette décomposition est unique à l'ordre des termes près.
  • En particulier, tout polynôme $P\in\mathbb R[X]$ non-constant se factorise en $$P(X)=a_N\prod_{k=1}^r (X-z_k)^{\mu_k}\prod_{k=1}^s (X^2+\beta_k X+\gamma_k)^{\nu_k}$$ où $z_1,\dots,z_r$ sont les racines distinctes de $P$ dans $\mathbb R$ de multiplicités respectives $\mu_1,\dots,\mu_r$, et où pour chaque $k$ on a $\beta_k^2-4\gamma_k<0$.
Polynômes d'interpolation de Lagrange
  • Soit $n\in\mathbb N^*$ et soit $a_1,\dots,a_n\in \mathbb K$ tous distincts. Pour $i\in\{1,\dots,n\}$, on appelle $i$-ème polynôme de Lagrange associé à la suite $(a_1,\dots,a_n)$ le polynôme $$L_i(x)=\prod_{j\neq i}\frac{X-a_j}{a_i-a_j}.$$
  • Théorème d'interpolation de Lagrange : Soit $n\in\mathbb N^*$, soit $a_1,\dots,a_n\in \mathbb K$ tous distincts et soit $L_1,\dots,L_n$ la famille des polynômes de Lagrange associés. Alors, pour tout $P\in\mathbb K_{n-1}[X]$, on a $$P=\sum_{i=1}^n P(a_i)L_i.$$