$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Résumé de cours : Matrices

$\mathbb K$ désigne le corps $\mathbb R$ ou $\mathbb C$, $m,n,p$ sont des entiers strictement positifs.
Les matrices
  • Une matrice à $n$ lignes et $p$ colonnes à coefficients dans $\mathbb K$ est un tableau à double entrée $$A=\left( \begin{array}{cccc} a_{1,1}&a_{1,2}&\dots&a_{1,p}\\ a_{2,1}&a_{2,2}&\dots&a_{2,p}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{n,1}&a_{n,2}&\dots&a_{n,p} \end{array} \right)$$ aussi noté $A=(a_{i,j})_{1\leq i\leq n,1\leq j\leq p}$ où les éléments $a_{i,j}$ appartiennent à $\mathbb K$.
  • On note $\mathcal M_{n,p}(\mathbb K)$ l'ensemble des matrices à $n$ lignes et $p$ colonnes. On définit la somme de deux matrices en ajoutant les coefficients termes à termes, et le produit d'une matrice par un scalaire $\lambda\in\mathbb K$ en multipliant chaque coefficient de la matrice par $\lambda$. Muni de ces deux opérations, $\mathcal M_{n,p}(\mathbb K)$ est un espace vectoriel.
  • La dimension de $\mathcal M_{n,p}(\mathbb K)$ est $np$. Une base de $\mathcal M_{n,p}(\mathbb K)$ est donnée par les matrices $(E_{i,j})_{1\leq i\leq n,1\leq j\leq p}$, où tous les coefficients de la matrice $E_{i,j}$ sont nuls sauf celui de la $i$-ème ligne et de la $j$-ème colonne qui vaut 1. Cette base s'appelle la base canonique de $\mathcal M_{n,p}(\mathbb K)$.
  • Si $n=p$, on dit que la matrice est carrée et on note simplement $\mathcal M_n(\mathbb K)$.
  • Si $A=(a_{i,j})\in \mathcal M_{m,n}(\mathbb K)$ et si $B=(b_{j,k})\in\mathcal M_{n,p}(\mathbb K)$, on appelle produit de $A$ et $B$ la matrice notée $AB=(c_{i,j})$ de $\mathcal M_{m,p}(\mathbb K)$ définie par $$c_{i,j}=\sum_{k=1}^n a_{i,k}b_{k,j}$$ pour tout $i\in\{1,\dots,m\}$ et tout $j\in \{1,\dots,p\}$. Remarquons que pour que le produit $AB$ soit défini, il faut que le nombre de colonnes de $A$ soit égal au nombre de lignes de $B$. De plus, même si $AB$ et $BA$ sont tous les deux définis, on n'a pas toujours $AB=BA$.
  • Une matrice $A=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}$ est diagonale si $a_{i,j}=0$ dès que $i\neq j$. Le produit de deux matrices diagonales est une matrice diagonale.
  • Une matrice $A=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}$ est triangulaire supérieure si $a_{i,j}=0$ dès que $i> j$. Le produit de deux matrices triangulaires supérieures est une matrice triangulaire supérieure.
  • Une matrice $A=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}$ est triangulaire inférieure si $a_{i,j}=0$ dès que $i< j$. Le produit de deux matrices triangulaires inférieures est une matrice triangulaire inférieure.
  • Muni du produit matriciel et de l'addition de matrices, $\mathcal M_n(\mathbb K)$ est un anneau. Son élément neutre est la matrice identité $I_n$, qui est la matrice diagonale n'ayant que des 1 sur sa diagonale.
  • Si $A,B\in\mathcal M_n(\mathbb K)$ sont telles que $AB=BA$, alors $$(A+B)^n =\sum_{k=0}^n \binom nk A^k B^{n-k}.$$
  • On a $E_{i,j}E_{k,l}=\delta_{j,k}E_{i,l}$.
  • Une matrice $A\in\mathcal M_n(\mathbb K)$ est dite inversible s'il existe $M'\in\mathcal M_n(\mathbb K)$ telle que $$MM'=M'M=I_n.$$ $M'$ s'appelle l'inverse de $M$ et est noté $M^{-1}$.
  • L'ensemble des matrices inversibles de taille $n$ est noté $GL_n(\mathbb K)$. C'est un groupe pour le produit matriciel appelé le groupe linéaire.
  • En particulier, si $A$ et $B$ sont inversibles, alors $AB$ est inversible d'inverse $B^{-1}A^{-1}$.
  • Si $A=(a_{i,j})\in\mathcal M_{n,p}(\mathbb K)$, on appelle transposée de $A$ la matrice $A^T=(b_{i,j})\in\mathcal M_{p,n}(\mathbb K)$ définie par $$b_{i,j}=a_{j,i}.$$ On a les formules : $$(A+B)^T=A^T+B^T$$ $$(AB)^T=B^TA^T.$$
  • Produit par blocs : Soient $M,M'$ deux matrices s'écrivant $$M=\left(\begin{array}{cc} A&B\\ C&D \end{array}\right),\quad \quad M'=\left(\begin{array}{cc} A'&B'\\ C'&D' \end{array}\right).$$ Alors, sous réserve de compatibilité des dimensions : $$MM'=\left(\begin{array}{cc} AA'+BC'&AB'+BD'\\ CA'+DC'&CB'+DD' \end{array}\right).$$
Matrices et applications linéaires
  $E$, $F$ et $G$ désignent des espaces vectoriels de dimensions respectives $p,n,m$, dont $\mathcal B=(e_i)_{1\leq i\leq p}$, $\mathcal C=(f_i)_{1\leq i\leq n}$ et $\mathcal D=(g_i)_{1\leq i\leq m}$ sont des bases respectives.
  • La matrice dans la base $\mathcal B$ d'une famille $(x_1,\dots,x_r)$ de vecteurs de $E$ est la matrice $M\in\mathcal M_{p,r}(\mathbb K)$ dont la $j$ième colonne est constituée par les coordonnée de $x_j$ dans la base $\mathcal B$.
  • Si $u\in \mathcal L(E,F)$, on appelle matrice de $u$ dans les bases $\mathcal B$ et $\mathcal C$ la matrice de $\mathcal M_{n,p}(\mathbb K)$ dont les vecteurs colonnes sont les coordonnées des vecteurs $(u(e_1),\dots,u(e_p))$ dans la base $\mathcal C=(f_1,\dots,f_n)$. On la note $\textrm{Mat}_{(\mathcal B,\mathcal C)}(u)$.
  • Soit $x\in E$ de coordonnées $X$ dans la base $\mathcal B$ et $y=u(x)$ de coordonnées $Y$ dans la base $\mathcal C$. Alors on a $$Y=\textrm{Mat}_{(\mathcal B,\mathcal C)}(u)X.$$
  • L'application \begin{eqnarray*} \mathcal L(E,F)&\to &\mathcal M_{n,p}(\mathbb K)\\ u&\mapsto&\textrm{Mat}_{(\mathcal B,\mathcal C)}(u) \end{eqnarray*} est un isomorphisme d'espace vectoriel.
  • La composée d'applications linéaires correspond au produit de matrices. Plus précisément, si $u\in \mathcal L(E,F)$ et $v\in\mathcal L(F,G)$, alors $$\textrm{Mat}_{(\mathcal B,\mathcal D)}(v\circ u)=\textrm{Mat}_{(\mathcal C,\mathcal D)}(v) \textrm{Mat}_{(\mathcal B,\mathcal C)}(u).$$
  • Si $E$ et $F$ ont même dimension, alors $u$ est inversible si et seulement si $\textrm{Mat}_{(\mathcal B,\mathcal C)}(u)$ est inversible. Dans ce cas, on a $$\textrm{Mat}_{(\mathcal C,\mathcal B)}(u^{-1})=\big[\textrm{Mat}_{(\mathcal B,\mathcal C)}(u)\big]^{-1}.$$
  • Si $A\in\mathcal M_{n,p}(\mathbb K)$, alors $A$ induit un endomorphisme $u_A:\mathbb K^p \to\mathbb K^n$ défini par $u_A(x)=AX$ où on identifie un vecteur de $\mathbb K^p$ (resp. $\mathbb K^n$) et le vecteur colonne formé des coordonnées de ce vecteur dans la base canonique. Le noyau, l'image, et le rang de $A$ sont alors par définition le noyau, le rang, l'image de l'endomorphisme associé.
Changements de base, équivalence et similitude
  $E,F$ sont des espaces vectoriels de dimension finie.
  • Soient $\mathcal B_1$ et $\mathcal B_2$ deux bases de $E$. La matrice de passage de la base $\mathcal B_1$ à la base $\mathcal B_2$ est la matrice de la famille de vecteurs $\mathcal B_2$ dans la base $\mathcal B_1$. On la note $P_{\mathcal B_1}^{\mathcal B_2}$.
  • La matrice $P_{\mathcal B_1}^{\mathcal B_2}$ est inversible, d'inverse $P_{\mathcal B_2}^{\mathcal B_1}$.
  • Si $x\in E$ a pour coordonnées $X_1$ dans la base $\mathcal B_1$ et pour coordonnées $X_2$ dans la base $\mathcal B_2$, alors $$X_1=P_{\mathcal B_1}^{\mathcal B_2}X_2.$$
  • Soit $u\in\mathcal L(E,F)$, $\mathcal B,\ \mathcal B'$ deux bases de $E$, $\mathcal C,\ \mathcal C'$ deux bases de $F$. Alors, si l'on note $A=\textrm{Mat}_{(\mathcal B,\mathcal C)}(u)$, $B=\textrm{Mat}_{(\mathcal B',\mathcal C')}(u)$, $P=P_{\mathcal B}^{\mathcal B'}$, $Q=P_{\mathcal C}^{\mathcal C'}$, alors $$B=Q^{-1}AP.$$ En particulier, si $u$ est un endomorphisme, si $A=\textrm{Mat}_{(\mathcal B,\mathcal B)}(u)$, $B=\textrm{Mat}_{(\mathcal B',\mathcal B')}(u)$, $P=P_{\mathcal B}^{\mathcal B'}$, alors $$B=P^{-1}AP.$$
  • Deux matrices $M$ et $M'$ de $\mathcal M_{n,p}(\mathbb K)$ sont dites équivalentes si elles représentent la même application linéaire dans des bases différentes. Autrement dit, $M$ et $M'$ sont équivalentes si et seulement s'il existe $P\in GL_n(\mathbb K)$ et $Q\in GL_p(\mathbb K)$ telles que $$M'=Q^{-1}MP.$$
  • Théorème (caractérisation des matrices équivalentes) : Deux matrices sont équivalentes si et seulement si elles ont le même rang. De plus, si $M\in\mathcal M_{n,p}(\mathbb K)$ a pour rang $r$, $M$ est équivalente à la matrice $J_r\in\mathcal M_{n,p}(\mathbb K)$ dont tous les coefficients sont nuls, sauf les $r$ premiers de la diagonale qui valent 1.
  • Théorème (caractérisation du rang) : Une matrice $A\in\mathcal M_{n,p}(\mathbb K)$ est de rang $r$ si et seulement si :
    1. Il existe une matrice carrée d'ordre $r$ extraite de $A$ qui est inversible;
    2. Toute matrice carrée extraite de $A$ d'ordre $r+1$ n'est pas inversible.
  • Deux matrices $M,M'\in\mathcal M_n(\mathbb K)$ sont semblables s'il existe $P\in GL_n(\mathbb K)$ tel que $M'=P^{-1}MP$. Autrement dit, $M$ et $M'$ représentent le même endomorphisme dans des bases différentes.
  • Si $M\in\mathcal M_n(\mathbb K)$, on appelle trace de $A$, notée $\textrm{Tr}(A)$, la somme des coefficients diagonaux de $A$.
  • On a $\textrm{Tr}(AB)=\textrm{Tr}(BA)$.
  • Si $A$ et $B$ sont semblables, alors $\textrm{Tr}(A)=\textrm{Tr}(B)$.
  • Si $u\in\mathcal L(E)$, alors on appelle trace de $u$ la trace de la matrice représentant $u$ dans n'importe quelle base de $E$. On a $\textrm{Tr}(uv)=\textrm{Tr}(vu)$. La trace d'un projecteur est égale à son rang.
Opérations, systèmes linéaires
  • On appelle opération élémentaire sur les lignes d'une matrice l'une des trois opérations suivantes :
    1. permuter deux lignes $L_i$ et $L_j$;
    2. multiplier une ligne $L_i$ par un scalaire $\lambda$ non nul;
    3. ajouter un multiple d'une ligne $L_j$ à une autre ligne $L_i$.
    On définit de même des opérations élémentaires sur les colonnes.
  • Les opérations élémentaires sur les lignes correspondent à la multiplication à gauche par une matrice inversible. Les opérations élémentaires sur les colonnes correspondent à la multiplication à droite par une matrice inversible.
  • Les opérations élémentaires transforment une matrice en une matrice équivalente. En particulier, elles conservent le rang.
  • Soit $A\in\mathcal GL_n(\mathbb K)$. Il existe une suite d'opérations élémentaires sur les lignes de $A$ transformant $A$ en $I_n$. Les mêmes opérations élémentaires effectuées sur les lignes de $I_n$ transforment $I_n$ en $A^{-1}$.
  • Un système linéaire à $n$ équations et $p$ inconnues s'écrit matriciellement $AX=B$, avec $A\in\mathcal M_{n,p}(\mathbb K)$, $X=\left(\begin{array}c x_1\\\vdots\\x_p\end{array}\right)$ et $B$ la matrice du second membre.
  • Si $B=0$, l'ensemble des solutions est un sous-espace vectoriel de $\mathbb K^p$ de dimension $p-\textrm{rg}(A)$. Dans le cas général, l'ensemble des solutions est ou bien vide, ou bien un sous-espace affine de $\mathbb K^p$ de dimension $p-\textrm{rg}(A)$.
  • Si $n=p$, on dit que le système est carré. L'équation $AX=B$ admet alors une solution unique si et seulement $A$ est inversible. Dans ce cas, la solution est $X=A^{-1}B$.