$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Résumé de cours : bases de la logique

Propositions
  • Une proposition (ou assertion) est un énoncé mathématique qui a une et seule valeur : vrai ou faux.
  • La négation de la proposition $P$ est la proposition qui est vraie si et seulement si $P$ est fausse. Elle est noté $\textrm{non }P$.
  • Si $P$ et $Q$ sont deux propositions, $P$ et $Q$ est la proposition qui est vraie si et seulement si $P$ et $Q$ sont toutes les deux vraies.
  • Si $P$ et $Q$ sont deux propositions, $P$ ou $Q$ est la proposition qui est vraie si et seulement si au moins une des deux propositions $P$ ou $Q$ est vraie.
  • $$\textrm{non }(P\textrm{ et }Q)=(\textrm{non }P)\textrm{ ou }(\textrm{non }Q).$$
  • $$\textrm{non }(P\textrm{ ou }Q)=(\textrm{non }P)\textrm{ et }(\textrm{non }Q).$$
  • L'implication $P\implies Q$ est la proposition $\textrm{non }P\textrm{ ou }Q$. Pour démontrer $P\implies Q$, on suppose que $P$ est vraie et on démontre que $Q$ est vraie.
  • On dit que les proposition $P$ et $Q$ sont équivalentes lorsque l'on a à la fois $P\implies Q$ et $Q\implies P$ qui sont vraies. On note alors $P\iff Q$.
Quantificateurs
  • Le quantificateur pour tout ou quelque soit est noté $\forall x$. La proposition $\forall x\in E,\ P(x)$ est vraie lorsque, pour tout $x\in E$, la proposition $P(x)$ est vraie.
  • Le quantificateur il existe (au moins un) est noté $\exists$. La proposition $\exists x\in E,\ P(x)$ est vraie lorsqu'il existe au moins un $x\in E$ telle que la proposition $P(x)$ soit vraie.
  • Le quantificateur il existe un unique est noté $\exists!$. La proposition $\exists! x\in E,\ P(x)$ est vraie lorsqu'il existe un unique $x\in E$ telle que la proposition $P(x)$ soit vraie.
  • La négation de $\forall x\in E,\ P(x)$ est $\exists x\in E,\ \textrm{non }P(x)$.
  • La négation de $\exists x\in E,\ P(x)$ est $\forall x\in E,\ \textrm{non }P(x)$.
Conditions nécessaires, conditions suffisantes
    Lorsque $P\implies Q$, on dit que $P$ est une condition suffisante à $Q$, et que $Q$ est une condition nécessaire à $P$.
Méthodes de raisonnement
  • par contraposée : pour démontrer que $P\implies Q$, il suffit de démontrer la contraposée de cette proposition, c'est-à-dire $\textrm{non }Q\implies\textrm{non }P$.
  • par l'absurde : pour démontrer que $P\implies Q$, on peut supposer que $P$ et $\textrm{non }Q$ sont toutes les deux vraies, et obtenir une contradiction.
  • par récurrence : si on veut prouver qu'une proposition $P(n)$ dépendant de l'entier naturel $n$ est vraie pour tout entier $n$, on peut procéder de la façon suivante :
    • initialisation : prouver que $P(0)$ est vraie.
    • hérédité : prouver que, pour tout entier $n$, si $P(n)$ est vraie, alors $P(n+1)$ est vraie.
  • par récurrence forte: si on veut prouver qu'une proposition $P(n)$ dépendant de l'entier naturel $n$ est vraie pour tout entier $n$, on peut procéder de la façon suivante :
    • initialisation : prouver que $P(0)$ est vraie.
    • hérédité : prouver que, pour tout entier $n$, si $P(0),P(1),\dots,P(n)$ sont toutes vraies, alors $P(n+1)$ est vraie.
  • par disjonction de cas : le raisonnement par disjonction de cas s'utilise quand on veut démontrer une propriété $P$ dépendant d'un paramètre $x$ appartenant à un ensemble $E$, et que la justification dépend de la valeur de $x$. On écrit alors $E=E_1\cup\dots\cup E_n$, et on sépare les raisonnements suivant que $x\in E_1$, $x\in E_2,\dots$. On emploie fréquemment ce raisonnement pour résoudre des (in)équations avec des valeurs absolues (le raisonnement dépend du signe de la quantité à l'intérieur de la valeur absolue), démontrer des propriétés en arithmétique (on sépare le raisonnement suivant la parité de certains entiers, leur congruence modulo $n$...), résoudre des problèmes de géométrie (disjonction selon la position relative de deux objets géométriques).
  • par analyse/synthèse : le raisonnement par analyse/synthèse, qu'on pourrait aussi appeler raisonnement par condition nécessaire/condition suffisante, est un raisonnement que l'on emploie souvent lorsqu'on cherche toutes les solutions d'un problème donné. Il comporte deux phases :
    • L'analyse. On suppose que $x$ est solution du problème, et on trouve un certain nombre de conditions nécessaires satisfaites par $x$.
    • La synthèse. On vérifie que les conditions obtenues à l'issue de la phase d'analyse sont en fait également suffisantes pour que $x$ soit solution du problème.