$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Résumé de cours : Fractions rationnelles

$\mathbb K$ désigne le corps $\mathbb R$ ou $\mathbb C$.
Corps des fractions, opérations, degré
  • Une fraction rationnelle à coefficients dans $\mathbb K$ est le quotient $\frac PQ$ de deux polynômes de $\mathbb K[X]$ avec $Q\neq 0$. Par définition, $\frac PQ=\frac RS$ si et seulement si $PS=QR$. On note $\mathbb K(X)$ l'ensemble des fractions à coefficients dans $\mathbb K$.
  • On définit l'addition et la multiplication de fractions rationnelles de façon naturelle : $$\frac{P}{Q}+\frac{R}{S}=\frac{PS+RQ}{QS},$$ $$\frac{P}{Q}\times \frac{R}{S}=\frac{PR}{QS}.$$
  • Muni de ces deux opérations, $\mathbb K(X)$ est un corps.
  • Le degré d'une fraction rationnelle $\frac PQ$ est par définition $\deg( P)-\deg(Q)$. C'est un élément de $\mathbb Z\cup\{-\infty\}$.
Fraction irréductible, zéros, pôles
  • Une fraction rationnelle $F\in\mathbb K(X)$ s'écrit $\frac PQ$ où $P,Q\in\mathbb K[X]$ sont premiers entre eux. Cette écriture est unique, à un facteur multiplicatif près. Elle s'appelle la représentation irréductible de $F$.
  • Si $F\in\mathbb K(X)$ s'écrit sous forme irréductible $\frac PQ$, alors les zéros de $F$ sont les zéros de $P$, les pôles de $F$ sont les zéros de $Q$. La multiplicité d'un zéro ou d'un pôle de $F$ est par définition sa multiplicité en tant que zéro de $P$ ou de $Q$.
Décomposition en éléments simples
  • Si $F=\frac PQ\in\mathbb K(X)$, on appelle partie entière de $F$ le quotient dans la division euclidienne de $A$ par $B$.
  • Décomposition en éléments simples sur $\mathbb C$ : Soit $F=\frac PQ\in\mathbb C(X)$ non-nulle écrite sous forme irréductible et soit $E$ la partie entière de la fraction rationnelle. Si $Q$ se factorise dans $\mathbb C$ sous la forme $\prod_{k=1}^r (X-z_k)^{\mu_k}$, alors il existe une unique famille $(\lambda_{k,j})$ de complexes telle que $$F(X)=E(X)+\sum_{k=1}^r \left(\sum_{j=1}^{\mu_k} \frac{\lambda_{k,j}}{(X-z_k)^j}\right).$$
  • Décomposition en éléments simples sur $\mathbb R$ : Soit $F=\frac PQ\in\mathbb R(X)$ non-nulle écrite sous forme irréductible et soit $E$ la partie entière de la fraction rationnelle. Si $Q$ se factorise dans $\mathbb R$ sous la forme $\prod_{k=1}^r (X-z_k)^{\mu_k}\prod_{k=1}^s (X^2+\beta_k X+\gamma_k)^{\nu_k}$ avec $\beta_k^2-4\gamma_k<0$, alors il existe trois uniques familles $(\lambda_{k,j})$, $(\theta_{k,j})$ et $(\tau_{k,j})$ de réels telle que $$F(X)=E(X)+\sum_{k=1}^r \left(\sum_{j=1}^{\mu_k} \frac{\lambda_{k,j}}{(X-z_k)^j}\right)+\sum_{k=1}^s\left(\sum_{j=1}^{\nu_k}\frac{\theta_{k,j}X+\tau_{k,j}}{(X^2+\beta_k X+\gamma_k)^j}\right).$$
Pratique de la décomposition en éléments simples
  Pour décomposer une fraction rationnelle en éléments simples,
  • on l'écrit sous forme irréductible $P/Q$;
  • on calcule la partie entière de la fraction rationnelle;
  • on écrit à priori la décomposition en éléments simples;
  • on exploite éventuellement la parité de la fraction rationnelle;
  • pour un pôle $a$ d'ordre $m$, le terme devant $\frac{1}{(X-a)^m}$ s'obtient en calculant $$\lim_{x\to a}\frac{P(a)}{(x-a)^m Q(x)}.$$ En particulier, si $a$ est un pôle simple, alors le terme devant $\frac{1}{X-a}$ est $P(a)/Q'(a)$.
  • Cas particulier : Si $P$ est un polynôme scindé possédant $p$ racines $\alpha_i$ d'ordres respectifs $m_i$, alors la décomposition en éléments simples de $\frac{P'}P$ est $$\frac{P'}{P}=\sum_{i=1}^p \frac{m_i}{X-\alpha_i}.$$