Résumé de cours : Généralités sur les espaces vectoriels
$\mathbb K$ désigne le corps $\mathbb R$ ou $\mathbb C$.On appelle espace vectoriel sur $\mathbb K$ (ou $\mathbb K$-espace vectoriel) un ensemble $E$ muni de deux lois :
- une loi interne, notée $+$, telle que $(E,+)$ soit un groupe commutatif. L'élément nul est noté $0_E$.
- une loi externe, notée $\cdot$, qui est une application de $\mathbb K\times E$ dans $E$ vérifiant :
- $\forall (\alpha,\beta)\in\mathbb K^2,\ \forall x\in E,\ (\alpha+\beta)\cdot x=\alpha \cdot x+\beta \cdot x$.
- $\forall \alpha\in\mathbb K,\ \forall (x,y)\in E^2,\ \alpha\cdot(x+y)=\alpha\cdot x+\alpha\cdot y$.
- $\forall (\alpha,\beta)\in\mathbb K^2,\ \forall x\in E,\ \alpha\cdot(\beta\cdot x)=(\alpha\beta)\cdot x$.
- $\forall x\in E,\ 1\cdot x=x$.
Les éléments de $E$ sont appelés des vecteurs et les éléments de $\mathbb K$ sont appelés des scalaires.
Exemples : $\mathbb K^n$, $\mathbb K[X]$, $\mathcal M_{n,p}(\mathbb K)$ sont des espaces vectoriels. Si $A$ est un ensemble, l'ensemble $\mathcal F(A,\mathbb K)$ des fonctions de $A$ dans $\mathbb K$ est lui aussi un espace vectoriel. En particulier, l'ensemble des suites à valeurs réelles (resp. à valeurs complexes) est un $\mathbb R$-espace vectoriel (resp. un $\mathbb C$-espace vectoriel).
Dans cette partie, $E$ désigne un espace vectoriel sur $\mathbb K$.
Une combinaison linéaire de la famille finie de vecteurs $(x_1,\dots,x_n)$ de $E$ est un vecteur $x\in E$ s'écrivant $x=\sum_{i=1}^n \alpha_i x_i$ où les $\alpha_i$ sont des éléments de $\mathbb K$. Une combinaison linéaire d'une famille quelconque $(x_i)_{i\in I}$ est un vecteur $x$ s'écrivant $x=\sum_{i\in I}\alpha_i x_i$ où tous les $\alpha_i$, sauf un nombre fini, sont nuls.
Une famille finie de vecteurs $(x_1,\dots,x_n)$ est libre si, pour tout choix de $\alpha_1,\dots,\alpha_n\in\mathbb K$, $$\sum_{i=1}^n \alpha_i x_i=0\implies \forall i\in\{1,\dots,n\},\ \alpha_i=0.$$
Une famille quelconque de vecteurs est libre si toute sous-famille finie extraite est libre.
Une famille qui n'est pas libre est une famille liée.
Exemple : Soit $(P_1,\dots,P_n)$ une famille de $\mathbb K[X]$ avec $\deg(P_1)<\deg(P_2)<\dots<\deg(P_n)$. Alors $(P_1,\dots,P_n)$ est une famille libre.
Une famille $(x_i)_{i\in I}$ est génératrice de $E$ si tout vecteur de $E$ est combinaison linéaire des $(x_i)_{i\in I}$.
- si $Y$ est libre, alors $X$ est libre;
- si $X$ est génératrice, alors $Y$ est génératrice.
- si $X$ est une famille génératrice, et si $x\in X$ est combinaison linéaire des vecteurs de $X\backslash\{x\}$, alors $X\backslash \{x\}$ est une famille génératrice.
- si $X$ est une famille libre, et si $x\in E$ n'est pas combinaison linéaire des vecteurs de $X$, alors $X\cup\{x\}$ est libre.
Dans cette partie, $E$ désigne un espace vectoriel sur $\mathbb K$.
Une partie $F$ de $E$ est un sous-espace vectoriel de $E$ si $F$ est non-vide et si $F$ est stable par $+$ et $\cdot$. Dans ce cas, $F$ est lui-même un espace vectoriel.
- $0_E\in F$;
- Pour tout $(x,y)\in F^2$, $x+y\in F$;
- Pour tout $x\in F$ et tout $\lambda\in \mathbb K$, $\lambda\cdot x\in F$.
Exemples :
- $\{0\}$ est un sous-espace vectoriel de $E$;
- dans $\mathbb R^2$, toute droite vectorielle (passant par l'origine) est un sous-espace vectoriel de $\mathbb R^2$;
- dans $\mathbb R^3$, toute droite vectorielle (passant par l'origine), tout plan vectoriel est un sous-espace vectoriel de $\mathbb R^3$;
- pour $n\geq 0$, l'ensemble $\mathbb K_n[X]$ des polynômes de degré au plus $n$ est un sous-espace de $\mathbb K[X]$;
- l'ensemble des matrices symétriques d'ordre $n$ est un sous-espace vectoriel de $\mathcal M_n(\mathbb K)$.
En particulier, on a les propriétés suivantes :
- si $X\subset Y$, alors $\vect(X)\subset \vect(Y)$;
- si $F$ est un sous-espace vectoriel contenant $X$, alors $\vect(X)\subset F$;
- l'espace $\vect(u_1,\dots,u_n)$ est inchangé si on ajoute à un des vecteurs $u_i$ une combinaison linéaire des autres vecteurs;
- $\vect(u_1,\dots,u_n,0)=\vect(u_1,\dots,u_n)$;
- si $u_n$ est combinaison linéaire de $u_1,\dots,u_{n-1}$, alors $\vect(u_1,\dots,u_n)=\vect(u_1,\dots,u_{n-1})$.
Soit $F$ et $G$ deux sous-espaces vectoriels de $E$. On appelle somme de $F$ et $G$ l'espace vectoriel noté $F+G$ défini par $$F+G=\{x+y;\ x\in F,\ y\in G\}.$$ Deux sous-espaces $F$ et $G$ sont en somme directe si la décomposition de tout vecteur de $F+G$ comme somme d'un vecteur de $F$ et d'un vecteur de $G$ est unique. On note alors $F\oplus G$.
On dit que $F$ et $G$ sont supplémentaires dans $E$ s'ils sont en somme directe et si $F\oplus G=E$.
Plus généralement, on définit la somme de $p$ sous-espaces vectoriels $F_1,\dots,F_r$ de $E$ par $$F_1+\cdots+F_r=\{x_1+\dots+x_r;\ x_1\in F_1,\dots,x_r\in F_r\}.$$ C'est un sous-espace vectoriel de $E$. La somme $F_1+\cdots+F_r$ est directe si la décomposition de tout vecteur de $F_1+\cdots+F_r$ sous la forme $x_1+\dots+x_r$ avec $x_i\in F_i$ est unique. Ceci revient à dire que si $x_1+\dots+x_r=0_E$ avec $x_i\in F_i$, alors $x_i=0$.
Si $r\geq 2$, on ne peut pas caractériser le fait que $F_1,\dots,F_r$ sont en somme directe en vérifiant que $F_i\cap F_j=\{0_E\}$ si $i\neq j$.
Une application $f:E\to F$ est appelée une application linéaire si, pour tous $x,y\in E$ et tous $\lambda,\mu\in \mathbb K$, on a $$f(\lambda x+\mu y)=\lambda f(x)+\mu f(y).$$ On note $\mathcal L(E,F)$ l'ensemble des applications linéaires de $E$ dans $F$, et $\mathcal L(E)$ si $E=F$. Une application linéaire de $E$ dans $E$ s'appelle aussi un endomorphisme de $E$.
Exemples :
- L'application $id_E:E\to E$, $x\mapsto x$, est linéaire et s'appelle l'application identité de $E$.
- Pour $\lambda\in\mathbb K$, l'application $E\to E$, $x\mapsto \lambda x$, est une application linéaire et s'appelle l'homothétie de rapport $\lambda$.
Toute combinaison linéaire d'applications linéaires est linéaire. La composée d'applications linéaires est linéaire. On note souvent $vu$ au lieu de $v\circ u$, et $u^k$ pour $u\circ\cdots\circ u$.
On dit qu'une application linéaire $f:E\to F$ est un isomorphisme si elle est bijective. La fonction réciproque d'un isomorphisme est elle-même une application linéaire.
Un endomorphisme qui est aussi un isomorphisme s'appelle un automorphisme de $E$. L'ensemble des automorphismes de $E$ est noté $GL(E)$. $(GL(E),\circ)$ est un groupe.
L'image directe d'un sous-espace vectoriel de $E$ par une application linéaire est un sous-espace vectoriel de $F$. L'image réciproque d'un sous-espace vectoriel de $F$ par une application linéaire est un sous-espace vectoriel de $E$.
On appelle noyau de l'application linéaire $f\in\mathcal L(E,F)$ le sous-espace vectoriel de $E$ $$\ker(f)=\{x\in E;\ f(x)=0\}.$$
On appelle image de l'application linéaire $f\in\mathcal L(E,F)$ le sous-espace vectoriel de $F$ $$\imv(f)=\{f(x);\ x\in E\}.$$
Soit $F$ et $G$ deux sous-espaces supplémentaires de $E$. On appelle projection (ou projecteur) sur $F$ parallèlement à $G$ l'application linéaire $p$ définie sur $E$ par $p(z)=x$ où $z\in E$ se décompose uniquement en $z=x+y$ avec $x\in F$ et $y\in G$. On a alors $\imv( p)=F$ et $\ker( p)=G$.
Soit $F$ et $G$ deux sous-espaces supplémentaires de $E$. On appelle symétrie par rapport à $F$ parallèlement à $G$ l'application linéaire $s$ définie sur $E$ par $s(z)=x-y$ où $z\in E$ se décompose uniquement en $z=x+y$ avec $x\in F$ et $y\in G$. On a alors $\ker( s-Id_E)=F$ et $\ker( s+Id_E)=G$.