$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Résumé de cours : Probabilités sur un univers fini

Expérience aléatoire - événement
  • On appelle expérience aléatoire une expérience dont tous les résultats possibles sont connus a priori, mais pouvant donner des résultats différents si on la répète.
  • L'ensemble des résultats possibles d'une expérience aléatoire est appelé univers. On le notera $\Omega$. Dans toute la suite, on se placera toujours dans le cas où $\Omega$ est fini. Le couple $(\Omega,\mathcal P(\Omega))$ s'appelle espace probabilisable (fini).
  • Les éléments de $\Omega$ (ie les résultats possibles de l'expérience) sont appelées issues.
  • Toute partie de $\Omega$ est appelé événement.
  • Un événement comprenant un seul élément s'appelle événément élémentaire.
  • L'ensemble vide est appelé événement impossible.
  • Si $A$ et $B$ sont deux événements,
    • l'événement "$A$ ou $B$" est $A\cup B$. $A\cup B$ correspond donc à "$A$ est réalisé ou $B$ est réalisé".
    • l'événement "$A$ et $B$" est $A\cap B$. $A\cap B$ correspond donc à "$A$ est réalisé et $B$ est réalisé".
    • l'événement contraire de $A$ est le complémentaire de $A$ dans $\Omega$, noté $\bar A$.
    • $A$ et $B$ sont dits incompatibles si $A\cap B=\varnothing$.
  • On appelle système complet d'événements de $\Omega$ toute famille finie d'événements $A_1,\dots,A_n$ vérifiant :
    • les événements sont deux à deux incompatibles : $\forall i,j\in\{1,\dots,n\}^2,\ i\neq j,\ A_i\cap A_j=\varnothing$;
    • leur réunion est $\Omega$ : $\bigcup_{i=1}^n A_i=\Omega$.
Espace probabilisé fini
  $\Omega$ désigne un ensemble fini.
  • On appelle probabilité sur l'univers $\Omega$ toute application $P:\mathcal P(\Omega)\to [0,1]$ vérifiant $P(\Omega)=1$ et pour tout couple de parties disjointes $A$ et $B$ de $\Omega$, $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$. Le couple $(\Omega,P)$ s'appelle alors un espace probabilisé fini.
  • Propriétés des probabilités :
    • $P(\varnothing)=0$;
    • Pour tout $A\in\mathcal P(\Omega)$, $P(\bar A)=1-P(A)$;
    • Pour tous $A,B\in\mathcal P(\Omega)$, $A\subset B\implies P(A)\leq P(B)$;
    • Pour tous $A,B\in\mathcal P(\Omega)$, $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$;
    • Pour toute famille $A_1,\dots,A_p$ d'événements deux à deux incompatibles, $$P(A_1\cup\dots\cup A_p)=P(A_1)+\dots+P(A_p).$$
    • Pour tout système complet d'événements $A_1,\dots,A_p$, $$P(A_1\cup\dots\cup A_p)=1.$$
  • Si $\Omega=\{x_1,\dots,x_n\}$, et si $p_1,\dots,p_n$ sont des réels de $[0,1]$, on définit une probabilité sur $\Omega$ par $P(X=x_i)=p_i$ si et seulement si $p_1+\dots+p_n=1$. Dans ce cas, pour tout $A\subset \Omega$, on a $$P(A)=\sum_{i;\ x_i\in A}p_i.$$
  • On appelle probabilité uniforme sur $\Omega$ la probabilité définie par $$P(A)=\frac{\textrm{card}(A)}{\textrm{card}(\Omega)}.$$
Indépendance
  $\Omega$ désigne un ensemble fini et $P$ est une probabilité sur $\Omega$.
  • On dit que deux événements $A$ et $B$ sont indépendants si $P(A\cap B)=P(A)P(B)$.
  • On dit que des événements $A_1,\dots,A_n$ sont mutuellement indépendants si, pour tout $k\in\{1,\dots,n\}$ et toute suite d'entiers $1\leq i_1<i_2<\dots<i_k\leq n$, on a $$P(A_{i_1}\cap\dots\cap A_{i_k})=P(A_{i_1})\times P(A_{i_2})\times\dots P(A_{i_k}).$$
  • Si $A_1,\dots,A_n$ sont mutuellement indépendants, alors ils sont indépendants deux à deux, la réciproque est fausse.
  • Si $A_1,\dots,A_n$ sont des événements mutuellement indépendants, et si pour chaque $i\in\{1,\dots,n\}$, on pose $B_i=A_i$ ou $B_i=\bar A_i$, alors les événements $B_1,\dots,B_n$ sont mutuellement indépendants.
Probabilités conditionnelles
  $\Omega$ désigne un ensemble fini et $P$ est une probabilité sur $\Omega$.
  • Soient $A$ et $B$ deux événements tels que $P(B)>0$. On appelle probabilité conditionnelle de $A$ sachant $B$ le réel $$P(A|B)=P_B(A)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}.$$ $P_B$ est une probabilité sur $\Omega$.
  • Formule des probabilités composées : Soient $A_1,\dots,A_m$ des événements tels que $P(A_1\cap\dots\cap A_m)\neq 0$. Alors : $$P(A_1\cap\dots\cap A_m)=P(A_1)P(A_2|A_1)P(A_3|A_1\cap A_2)\cdots P(A_m|A_1\cap \dots\cap A_{m-1}).$$
  • Formule des probabilités totales : Soit $A_1,\dots,A_n$ un système complet d'événements, tous de probabilité non nulle. Soit $B$ un événement. Alors : $$P(B)=\sum_{i=1}^n P(A_i)P(B|A_i).$$
  • Formule de Bayes pour deux événements : Si $A$ et $B$ sont deux événements de probabilité non nulle, alors $$P(A|B)=\frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}.$$
  • Formule de Bayes pour $n$ événements : Soit $A_1,\dots,A_n$ un système complet d'événements, tous de probabilité non nulle. Soit $B$ un événement. Alors, pour tout $j\in\{1,\dots,n\}$, on a $$P(A_j|B)=\frac{P(B|A_j)P(A_j)}{\sum_{i=1}^n P(B|A_i)P(A_i)}.$$