$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Résumé de cours : Probabilités sur un univers fini

Expérience aléatoire - événement

On appelle expérience aléatoire toute expérience qui, renouvelée dans les mêmes conditions, ne donne pas à chaque essai les même résultats. Les résultats possibles de cette expérience aléatoire sont appelées les issues. L'ensemble des issues est appelé univers de l'expérience aléatoire.

Dans toute la suite, on se placera toujours dans le cas où $\Omega$ est fini.

Toute partie de $\Omega$ est appelé événement. L'événement $\varnothing$ est appelé l'événement impossible et $\Omega$ est appelé l'événement certain. Un événement comprenant un seul élément s'appelle événément élémentaire.

Si $A$ et $B$ sont deux événements,

  • l'événement "$A$ ou $B$" est $A\cup B$. $A\cup B$ correspond donc à "$A$ est réalisé ou $B$ est réalisé".
  • l'événement "$A$ et $B$" est $A\cap B$. $A\cap B$ correspond donc à "$A$ est réalisé et $B$ est réalisé".
  • l'événement contraire de $A$ est le complémentaire de $A$ dans $\Omega$, noté $\bar A$.
  • $A$ et $B$ sont dits incompatibles si $A\cap B=\varnothing$.

On appelle système complet d'événements de $\Omega$ toute famille finie d'événements $A_1,\dots,A_n$ vérifiant :

  • les événements sont deux à deux incompatibles : $$\forall i,j\in\{1,\dots,n\}^2,\ i\neq j,\ A_i\cap A_j=\varnothing;$$
  • leur réunion est $\Omega$ : $\bigcup_{i=1}^n A_i=\Omega$.
Espace probabilisé fini

On appelle probabilité sur l'univers $\Omega$ toute application $P:\mathcal P(\Omega)\to [0,1]$ vérifiant $P(\Omega)=1$ et pour tout couple de parties disjointes $A$ et $B$ de $\Omega$, $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$. Le couple $(\Omega,P)$ s'appelle alors un espace probabilisé fini.

Propriétés des probabilités :
  • $P(\varnothing)=0$;
  • Pour tout $A\in\mathcal P(\Omega)$, $P(\bar A)=1-P(A)$;
  • Pour tous $A,B\in\mathcal P(\Omega)$, $A\subset B\implies P(A)\leq P(B)$;
  • Pour tous $A,B\in\mathcal P(\Omega)$, $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$;
  • Pour toute famille $A_1,\dots,A_p$ d'événements deux à deux incompatibles, $$P(A_1\cup\dots\cup A_p)=P(A_1)+\dots+P(A_p).$$
  • Pour tout système complet d'événements $A_1,\dots,A_p$, $$P(A_1\cup\dots\cup A_p)=1.$$

On appelle distribution de probabilité sur $\Omega$ toute famille finie $(p_\omega)_{\omega\in\Omega}$ indexée par $\Omega$ de réels positifs dont la somme fait $1$.

Proposition : $P$ est une probabilité sur $\Omega$ si et seulement si $(P(\{\omega\}))_{\omega\in\Omega}$ est une distribution de probabilité sur $\Omega$.

Dans ce cas, pour tout $A\subset\Omega$, on a $$P(A)=\sum_{\omega\in A}P(\{\omega\}).$$

On appelle probabilité uniforme sur $\Omega$ la probabilité définie par, pour tout $A\subset\Omega$, $$P(A)=\frac{\textrm{card}(A)}{\textrm{card}(\Omega)}.$$

Indépendance

$(\Omega,P)$ désigne un espace probabilisé.

On dit que deux événements $A$ et $B$ sont indépendants si $P(A\cap B)=P(A)P(B)$. On dit que des événements $A_1,\dots,A_n$ sont mutuellement indépendants si, pour tout $k\in\{1,\dots,n\}$ et toute suite d'entiers $1\leq i_1<i_2<\dots<i_k\leq n$, on a $$P(A_{i_1}\cap\dots\cap A_{i_k})=P(A_{i_1})\times P(A_{i_2})\times\dots P(A_{i_k}).$$ Si $A_1,\dots,A_n$ sont mutuellement indépendants, alors ils sont indépendants deux à deux, la réciproque est fausse.

Proposition : Si $A_1,\dots,A_n$ sont des événements mutuellement indépendants, et si pour chaque $i\in\{1,\dots,n\}$, on pose $B_i=A_i$ ou $B_i=\bar A_i$, alors les événements $B_1,\dots,B_n$ sont mutuellement indépendants.
Probabilités conditionnelles

$(\Omega,P)$ désigne un espace probabilisé.

Soit $A$ et $B$ deux événements tels que $P(B)>0$. On appelle probabilité conditionnelle de $A$ sachant $B$ le réel $$P(A|B)=P_B(A)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}.$$

Proposition : Si $B$ est un événement tel que $P(B)>0$, alors $P_B$ est une probabilité sur $\Omega$.
Formule des probabilités composées : Soit $A_1,\dots,A_m$ des événements tels que $P(A_1\cap\dots\cap A_{m-1})\neq 0$. Alors : $$P(A_1\cap\dots\cap A_m)=P(A_1)P(A_2|A_1)P(A_3|A_1\cap A_2)\cdots P(A_m|A_1\cap \dots\cap A_{m-1}).$$
Formule des probabilités totales : Soit $A_1,\dots,A_n$ un système complet d'événements, tous de probabilité non nulle. Soit $B$ un événement. Alors : $$P(B)=\sum_{i=1}^n P(B|A_i)P(A_i).$$
Formule de Bayes pour deux événements : Si $A$ et $B$ sont deux événements de probabilité non nulle, alors $$P(A|B)=\frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}.$$
Formule de Bayes pour $n$ événements : Soit $A_1,\dots,A_n$ un système complet d'événements, tous de probabilité non nulle. Soit $B$ un événement. Alors, pour tout $j\in\{1,\dots,n\}$, on a $$P(A_j|B)=\frac{P(B|A_j)P(A_j)}{\sum_{i=1}^n P(B|A_i)P(A_i)}.$$