Résumé de cours : équations différentielles
Equation différentielle linéaire d'ordre 1
- Soient $I$ un intervalle de $\mathbb R$ et $a,b:$ deux fonctions continues définies sur $I$
et à valeurs dans $\mathbb R$ ou $\mathbb C$. Une équation
$$y'+a(x)y=b(x)$$
s'appelle une équation différentielle linéaire d'ordre 1. Résoudre une telle équation différentielle,
c'est trouver toutes les fonctions dérivables $y$ définies sur $I$ à valeurs dans $\mathbb R$ ou $\mathbb C$ vérifiant, pour tout $x\in I$,
$y'(x)+a(x)y(x)=b(x)$.
Dans la suite, on supposera toujours que $a,b$ sont continues sur $I$. - L'équation homogène associée est l'équation $y'+a(x)y=0$.
- Théorème : Pour tout $x_0\in I$ et tout $y_0\in\mathbb K$, il existe une unique solution à l'équation différentielle $y'+a(x)y=b(x)$ vérifiant $y(x_0)=y_0$.
- Structure de l'ensemble des solutions : Soit $y_P$ une solution de $y'+a(x)y=b(x)$, appelée solution particulière de l'équation. Alors toute solution $y$ s'écrit $y_P+z$, où $z$ est une solution de l'équation homogène. Réciproquement, toute fonction s'écrivant $y_P+z$, où $z$ est une solution de l'équation homogène, est solution de l'équation différentielle.
- Théorème : Soit $A$ une primitive de la fonction $a$. Les solutions de l'équation homogène sont les fonctions $x\mapsto \lambda e^{-A(x)}$, $\lambda$ une constante réelle ou complexe.
- Pour rechercher une solution particulière, on utilise souvent la méthode de variation de la constante, ie on cherche une solution sous la forme $\lambda(x)e^{-A(x)}$ et on regarde quelle condition doit vérifier $\lambda$ pour que cette fonction soit une solution de l'équation différentielle.
Equation différentielle linéaire d'ordre 2 à coefficients constants
- On appelle équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants une équation de la forme $y''+ay'+by=f$ où $a,b$ sont des scalaires et $f$ est une fonction continue sur un intervalle $I$. Résoudre cette équation, c'est déterminer toutes les fonctions $y$ définies sur $I$ deux fois dérivables et vérifiant, pour tout $x\in I$, $y''(x)+ay'(x)+by(x)=f(x)$.
- L'équation homogène associée est l'équation $y''+ay'+by=0$.
- Théorème : Pour tout $x_0\in I$ et tout $y_0,y_1\in\mathbb K$, il existe une unique solution à l'équation différentielle $y''+ay'+by=f$ vérifiant $y(x_0)=y_0$ et $y'(x_0)=y_1$.
- Structure de l'ensemble des solutions : Soit $y_P$ une solution de $y''+ay'+by=f$, appelée solution particulière de l'équation. Alors toute solution $y$ s'écrit $y_P+z$, où $z$ est une solution de l'équation homogène. Réciproquement, toute fonction s'écrivant $y_P+z$, où $z$ est une solution de l'équation homogène, est solution de l'équation différentielle.
- Résolution de l'équation homogène, cas complexe :
Soit $r^2+ar+b=0$ l'équation caractéristique associée.
- si l'équation caractéristique admet deux racines $r_1$ et $r_2$, alors les solutions de l'équation homogène $y''+ay'+by=0$ sont les fonctions $$x\mapsto \lambda e^{r_1 x}+\mu e^{r_2 x}\quad\textrm{ avec }\lambda,\mu\in\mathbb C.$$
- si l'équation caractéristique admet une racine double $r$, alors les solutions de l'équation homogène $y''+ay'+by=0$ sont les fonctions $$x\mapsto (\lambda x+\mu)e^{rx}\quad\textrm{ avec }\lambda,\mu\in\mathbb C.$$
- Résolution de l'équation homogène, cas réel :
Soit $r^2+ar+b=0$ l'équation caractéristique associée.
- si l'équation caractéristique admet deux racines réelles $r_1$ et $r_2$, alors les solutions de l'équation homogène $y''+ay'+by=0$ sont les fonctions $$x\mapsto \lambda e^{r_1 x}+\mu e^{r_2 x}\quad\textrm{ avec }\lambda,\mu\in\mathbb R.$$
- si l'équation caractéristique admet une racine double $r$, alors les solutions de l'équation homogène $y''+ay'+by=0$ sont les fonctions $$x\mapsto (\lambda x+\mu)e^{rx}\quad\textrm{ avec }\lambda,\mu\in\mathbb R.$$
- si l'équation caractéristique admet deux racines complexes conjuguées, $\alpha\pm i\beta$, alors les solutions de l'équation homogène sont les fonctions $$x\mapsto \lambda e^{\alpha x}\cos(\beta x)+\mu e^{\alpha x}\sin(\beta x).$$