Résumé de cours : développements limités
Développements limités
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ de $\mathbb R$, à valeurs dans $\mathbb C$, et $a$ est un point de $I$.
- On dit que $f$ admet un développement limité à l'ordre $n$ en $a$ s'il existe des complexes $a_0,\dots,a_n$ tels que $$f(a+h)=a_0+a_1h+\dots+a_n h^n+o(h^n).$$
- Unicité : Si $f$ admet un développement limité à l'ordre $n$ en $a$, celui-ci est unique.
- Existence :
Formule de Taylor-Young : Si $f$ est de classe $C^n$, alors $f$ admet un développement limité à l'ordre $n$ en tout point $a\in I$ donné par $$f(a+h)=f(a)+f'(a) h+\dots+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}h^n+o(h^n).$$
Opérations sur les développements limités
- Somme : Soient $f$ et $g$ admettant en $a$ des développements limités à l'ordre $n$ donnés par $$f(a+h)=P(h)+o(h),\quad g(a+h)=Q(h)+o(h^n).$$ Alors $f+g$ admet un développement limité en $a$ à l'ordre $n$ donné par $$(f+g)(a+h)=\big(P(h)+Q(h)\big)+o(h^n).$$
- Produit : Soient $f$ et $g$ admettant en $a$ des développements limités à l'ordre $n$ donnés par $$f(a+h)=P(h)+o(h),\quad g(a+h)=Q(h)+o(h^n).$$ Alors $fg$ admet un développement limité en $a$ à l'ordre $n$ donné par $$fg(a+h)=R(h)+o(h^n)$$ où $R$ est le polynôme obtenu en ne gardant dans le produit $PQ$ que les termes de degré inférieur ou égal à $n$.
- Intégration : Si $f$, continue sur $I$, admet un développement limité à l'ordre $n$ en $a$ donné par $$f(a+h)=a_0+a_1h+\dots+a_n h^n+o(h^n)$$ et si $F$ est une primitive de $f$ sur $I$, alors $F$ admet un développement limité à l'ordre $n+1$ en $a$ donné par $$F(a+h)=F(0)+a_0h+\frac{a_1}2h^2+\dots+\frac{a_n}{n+1}h^{n+1}+o(h^{n+1}).$$
Développements limités usuels
\begin{eqnarray*}
e^x&=&1+x+\frac{x^2}2+\dots+\frac{x^n}{n!}+o(x^n)\\
\cos x&=&1-\frac{x^2}{2!}+\dots+\frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}+o(x^{2n+1})\\
\sin x&=&x-\frac{x^3}{3!}+\dots+\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}+o(x^{2n+2})\\
\cosh x&=&1+\frac{x^2}{2!}+\dots+\frac{x^{2n}}{(2n)!}+o(x^{2n+1})\\
\sinh x&=&x+\frac{x^3}{3!}+\dots+\frac{ x^{2n+1}}{(2n+1)!}+o(x^{2n+2})\\
\frac{1}{1-x}&=&1+x+x^2+\dots+x^n+o(x^n)\\
\ln(1+x)&=&x-\frac{x^2}2+\dots+\frac{(-1)^{n+1}}{n}x^n+o(x^n)\\
\arctan(x)&=&x-\frac{x^3}3+\dots+\frac{(-1)^n}{2n+1}x^{2n+1}+o(x^{2n+1})\\
(1+x)^\alpha&=&1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}2x^2+\dots+\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots (\alpha-n+1)}{n!}x^n+o(x^n)\\
\tan(x)&=&x+\frac{x^3}3+\frac{2}{15}x^5+o(x^5).
\end{eqnarray*}
Développements asymptotiques
- Formule de Stirling : $$n!\sim_{+\infty}\sqrt{2\pi n}n^n e^{-n}.$$