Résumé de cours : développements limités
Développements limités
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ de $\mathbb R$, à valeurs dans $\mathbb C$, et $a$ est un point de $I$. On dit que $f$ admet un développement limité à l'ordre $n$ en $a$ s'il existe des complexes $a_0,\dots,a_n$ tels que $$f(a+h)=a_0+a_1h+\dots+a_n h^n+o(h^n).$$
Proposition (unicité) : Si $f$ admet un développement limité à l'ordre $n$ en $a$, celui-ci est unique.
Formule de Taylor-Young (existence) : Si $f$ est de classe $C^n$, alors $f$ admet un développement limité à l'ordre $n$
en tout point $a\in I$ donné par
$$f(a+h)=f(a)+f'(a) h+\cdots+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}h^n+o(h^n).$$
Opérations sur les développements limités
Développements limités usuels
\begin{eqnarray*}
e^x&=&1+x+\frac{x^2}2+\dots+\frac{x^n}{n!}+o(x^n)\\
\cos x&=&1-\frac{x^2}{2!}+\dots+\frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}+o(x^{2n+1})\\
\sin x&=&x-\frac{x^3}{3!}+\dots+\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}+o(x^{2n+2})\\
\cosh x&=&1+\frac{x^2}{2!}+\dots+\frac{x^{2n}}{(2n)!}+o(x^{2n+1})\\
\sinh x&=&x+\frac{x^3}{3!}+\dots+\frac{ x^{2n+1}}{(2n+1)!}+o(x^{2n+2})\\
\frac{1}{1-x}&=&1+x+x^2+\dots+x^n+o(x^n)\\
\ln(1+x)&=&x-\frac{x^2}2+\dots+\frac{(-1)^{n+1}}{n}x^n+o(x^n)\\
\arctan(x)&=&x-\frac{x^3}3+\dots+\frac{(-1)^n}{2n+1}x^{2n+1}+o(x^{2n+1})\\
(1+x)^\alpha&=&1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}2x^2+\dots+\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots (\alpha-n+1)}{n!}x^n+o(x^n)\\
\tan(x)&=&x+\frac{x^3}3+\frac{2}{15}x^5+o(x^5).
\end{eqnarray*}
Développements asymptotiques
- Formule de Stirling : $$n!\sim_{+\infty}\sqrt{2\pi n}n^n e^{-n}.$$