$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Résumé de cours : développements limités

  Dans toute la suite $f$ désigne une fonction définie sur un intervalle $I$ de $\mathbb R$, à valeurs dans $\mathbb C$, et $a$ est un point de $I$.
Développements limités
  • On dit que $f$ admet un développement limité à l'ordre $n$ en $a$ s'il existe des complexes $a_0,\dots,a_n$ tels que $$f(a+h)=a_0+a_1h+\dots+a_n h^n+o(h^n).$$
  • Unicité : Si $f$ admet un développement limité à l'ordre $n$ en $a$, celui-ci est unique.
  • Existence :
    Formule de Taylor-Young : Si $f$ est de classe $C^n$, alors $f$ admet un développement limité à l'ordre $n$ en tout point $a\in I$ donné par $$f(a+h)=f(a)+f'(a) h+\dots+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}h^n+o(h^n).$$
Opérations sur les développements limités
  • Somme : Soient $f$ et $g$ admettant en $a$ des développements limités à l'ordre $n$ donnés par $$f(a+h)=P(h)+o(h),\quad g(a+h)=Q(h)+o(h^n).$$ Alors $f+g$ admet un développement limité en $a$ à l'ordre $n$ donné par $$(f+g)(a+h)=\big(P(h)+Q(h)\big)+o(h^n).$$
  • Produit : Soient $f$ et $g$ admettant en $a$ des développements limités à l'ordre $n$ donnés par $$f(a+h)=P(h)+o(h),\quad g(a+h)=Q(h)+o(h^n).$$ Alors $fg$ admet un développement limité en $a$ à l'ordre $n$ donné par $$(f+g)(a+h)=R(h)+o(h^n)$$ où $R$ est le polynôme obtenu en ne gardant dans le produit $PQ$ que les termes de degré inférieur ou égal à $n$.
  • Intégration : Si $f$, continue sur $I$, admet un développement limité à l'ordre $n$ en $a$ donné par $$f(a+h)=a_0+a_1h+\dots+a_n h^n+o(h^n)$$ et si $F$ est une primitive de $f$ sur $I$, alors $F$ admet un développement limité à l'ordre $n+1$ en $a$ donné par $$F(a+h)=F(0)+a_0h+\frac{a_1}2h^2+\dots+\frac{a_n}{n+1}h^{n+1}+o(h^{n+1}).$$
Développements limités usuels
  • \begin{eqnarray*} e^x&=&1+x+\frac{x^2}2+\dots+\frac{x^n}{n!}+o(x^n)\\ \cos x&=&1-\frac{x^2}{2!}+\dots+\frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}+o(x^{2n+1})\\ \sin x&=&x-\frac{x^3}{3!}+\dots+\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}+o(x^{2n+2})\\ \cosh x&=&1+\frac{x^2}{2!}+\dots+\frac{x^{2n}}{(2n)!}+o(x^{2n+1})\\ \sinh x&=&x+\frac{x^3}{3!}+\dots+\frac{ x^{2n+1}}{(2n+1)!}+o(x^{2n+2})\\ \frac{1}{1-x}&=&1+x+x^2+\dots+x^n+o(x^n)\\ \ln(1+x)&=&x-\frac{x^2}2+\dots+\frac{(-1)^{n+1}}{n}x^n+o(x^n)\\ \arctan(x)&=&x-\frac{x^3}3+\dots+\frac{(-1)^n}{2n+1}x^{2n+1}+o(x^{2n+1})\\ (1+x)^\alpha&=&1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}2x^2+\dots+\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots (\alpha-n+1)}{n!}x^n+o(x^n)\\ \tan(x)&=&x+\frac{x^3}2+\frac{2}{15}x^5+o(x^5). \end{eqnarray*}
Développements asymptotiques
  • Formule de Stirling : $$n!\sim_{+\infty}\sqrt{2\pi n}n^n e^{-n}.$$