$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Résumé de cours : dérivabilité

Nombre dérivé et fonction dérivée
  • La fonction $f:I\to\mathbb R$ est dérivable en $a\in I$ si le taux d'accroissement $\displaystyle \frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ admet une limite quand $x$ tend vers $a$. Dans ce cas, la limite est notée $f'(a)$.
  • Une fonction $f:I\to\mathbb R$ est dérivable en $a$ si et seulement s'il existe $\alpha\in\mathbb R$ et une fonction $\veps$ définie dans un intervalle $J$ ouvert contenant $0$, vérifiant $\lim_{h\to 0}\veps(h)=0$ tels que $$\forall h\in J,\ f(a+h)=f(a)+\alpha h+h\veps(h).$$ Dans ce cas, on a $\alpha=f'(a)$ et on dit que $f$ admet un développement limité d'ordre 1 en $a$.
  • Proposition : si $f$ est dérivable en $a$, alors $f$ est continue en $a$.
  • Si $f$ est dérivable en $a$, la courbe représentative de $f$ en $a$ admet une tangente d'équation $y-f(a)=f'(a)(x-a)$.
  • On dit que $f$ est dérivable sur $I$ si $f$ est dérivable en tout point de $I$. $f'$ s'appelle alors la fonction dérivée de $f$.
  • On parle de dérivée à droite (resp. de dérivée à gauche) lorsque la limite à droite (resp. à gauche) du taux d'accroissement admet une limite.
  • Opérations sur les dérivées :
    • Somme et produit : Soient $I$ un intervalle et $f,g:I\to\mathbb R$ dérivables. Alors $f+g$ et $fg$ sont dérivables, et $$(f+g)'=f'+g'$$ $$(fg)'=f'g+fg'.$$
    • Quotient : Soient $f,g:I\to\mathbb R$ deux fonctions dérivables en $a\in I$. Si de plus $g(a)\neq 0$, alors $f/g$ est dérivable en $a$ et $$\left(\frac f g\right)'(a)=\frac{f'(a)g(a)-f(a)g'(a)}{\big(g(a)\big)^2}.$$
    • Composée : Soient $I,J$ deux intervalles de $\mathbb R$, $f:I\to J$, $g:J\to\mathbb R$, $a\in I$, $b\in J$ avec $b=f(a)$. On suppose que $f$ est dérivable en $a$ et $g$ est dérivable en $b$. Alors $g\circ f$ est dérivable en $a$ et $$(g\circ f)'(a)=f'(a)g'(f(a)).$$
    • Réciproque : Si $f:I\to\mathbb R$ est dérivable et vérifie $f'>0$ (resp. $f'<0$) sur $I$, alors $f$ réalise une bijection de $I$ sur $f(I)=J$, la réciproque $f^{-1}:J\to\mathbb R$ est dérivable et, pour tout $b\in J$, $$(f^{-1})'(b)=\frac 1{f'(f^{-1}(b))}.$$ En particulier, les tangentes en $(a,f(a))$ à $C_f$ et en $(f(a),a)$ à $C_{f^{-1}}$ sont symétriques par rapport à la droite d'équation $y=x$.
Théorème de Rolle, des accroissements finis, application aux variations
  • Soit $I$ un intervalle, $a\in I$ et $f:I\to\mathbb R$. On dit que $f$ admet un
    • minimum local en $a$ s'il existe $\alpha>0$ tel que $$\forall x\in I\cap ]a-\alpha,a+\alpha[,\ f(x)\geq f(a).$$
    • maximum local en $a$ s'il existe $\alpha>0$ tel que $$\forall x\in I\cap ]a-\alpha,a+\alpha[,\ f(x)\leq f(a).$$
    • extrémum local en $a$ s'il admet un maximum ou un minimum local en $a$.
  • Proposition : Soit $I$ un intervalle ouvert, $a\in I$ et $f:I\to\mathbb R$ dérivable en $a$. Alors si $f$ admet un extrémum local en $a$, on a $f'(a)=0$.
  • Théorème de Rolle : Soit $f:[a,b]\to\mathbb R$ une fonction continue sur $[a,b]$, dérivable sur $]a,b[$ et telle que $f(a)=f(b)$. Alors il existe $c$ appartenant à $]a,b[$ tel que $$f'( c)=0.$$
  • Théorème des accroissements finis : Soit $f:[a,b]\to\mathbb R$ une fonction continue sur $[a,b]$, et dérivable sur $]a,b[$. Alors il existe $c$ appartenant à $]a,b[$ tel que $$f(b)-f(a)=f'( c)(b-a).$$
  • Inégalité des accroissements finis : Soit $f:[a,b]\to\mathbb C$ une fonction continue sur $[a,b]$, et dérivable sur $]a,b[$. On suppose de plus qu'il existe $M>0$ tel que, pour tout $t\in [a,b]$, $|f'(t)|\leq M$. Alors : $$|f(b)-f(a)|\leq M|b-a|.$$
  • On dit que $f:I\to\mathbb R$ est $M$-lipschitzienne si, pour tous $x,y\in I$, on a $$|f(x)-f(y)|\leq M|x-y|.$$ L'inégalité des accroissements finis dit que, si $|f'|\leq M$, alors $f$ est $M$-lipschitzienne.
  • Application à l'étude du sens de variation des fonctions : Soit $f:I\to\mathbb R$ une fonction dérivable. Alors
    • $f$ est croissante sur $I$ si et seulement si $f'\geq 0$ sur $I$.
    • $f$ est décroissante sur $I$ si et seulement si $f'\leq 0$ sur $I$.
    • $f$ est constante sur $I$ si et seulement si $f'= 0$ sur $I$.
    • $f$ est strictement croissante sur $I$ si et seulement si $f'\geq 0$ sur $I$ et $f'$ ne s'annule pas sur un intervalle non réduit à un point.
    • $f$ est strictement décroissante sur $I$ si et seulement si $f'\leq 0$ sur $I$ et $f'$ ne s'annule pas sur un intervalle non réduit à un point.
    En particulier, si $f'> 0$ sur $I$, alors $f$ est strictement croissante.
  • Théorème de prolongement d'une dérivée : Soit $f:I\to\mathbb R$ une fonction continue sur $I$ et dérivable sur $I\backslash \{a\}$. On suppose que $f'$ admet une limite $\ell\in\overline{\mathbb R}$. Alors $$\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\ell.$$ En particulier, si $\ell\in\mathbb R$, $f$ est dérivable en $a$ et $f'$ est continue en $a$.
Dérivées successives
  • Soit $f:I\to\mathbb R$ une fonction dérivable. Sa dérivée $f'$ peut elle-même être dérivable. On appelle alors cette dérivée la dérivée seconde de $f$ et on la note $f''$. En itérant ce procédé, on peut définir la dérivée $n$-ième de $f$, notée $f^{(n)}$.
  • On dit que $f$ est de classe $C^n$ sur $I$ si elle admet une dérivée d'ordre $n$ notée $f^{(n)}$ et si cette dérivée est elle-même continue sur $I$. On dit que $f$ est de classe $C^\infty$ sur $I$ si elle admet des dérivées successives de tout ordre.
  • Formule de Leibniz : Soient $f,g:I\to\mathbb C$ deux fonctions $n$ fois dérivables sur $I$. Alors $fg$ est $n$ fois dérivable sur $I$ et \begin{eqnarray*} (fg)^{(n)}&=&\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}f^{(n-k)}g^{(k)}\\ &=&f^{(n)}g+\binom n1 f^{(n-1)}g'+\binom n2 f^{(n-2)}g''+\dots+\binom nkf^{(n-k)}g^{(k)}+\dots+fg^{(n)} \end{eqnarray*}
  • Théorème : Si $f:I\to\mathbb R$ est de classe $C^n$ sur $I$ est telle que $f'$ ne s'annule pas sur $I$, alors $f$ réalise une bijection de $I$ sur $J=f(I)$ et $f^{-1}$ est de classe $C^n$ sur $J$.
  • Théorème (prolongement d'une fonction de classe $C^n$) : Soit $f:[a,b]\to\mathbb R$ une fonction continue, de classe $C^n$ sur $]a,b]$. On suppose que, pour tout entier $p\leq n$, $f^{( p)}$ admet une limite finie $\ell_p$ en $a$. Alors $f$ est une application de classe $C^n$ sur $[a,b]$ et pour tout $p\leq n$, on a $f^{(p )}(a)=\ell_p$.
Fonctions à valeurs complexes
  • La définition de fonctions dérivables s'étend à une fonction à valeurs complexes. On démontre que $f:I\to\mathbb C$ est dérivable si et seulement $\Re e(f)$ et $\Im m(f)$ sont dérivables.
  • Théorème de Rolle et égalité des accroissements finis sont faux pour des fonctions à valeurs dans $\mathbb C$. En revanche, l'inégalité des accroissements finis reste vraie.