Résumé de cours : nombres complexes et trigonométrie
- Un nombre complexe est un nombre $z$ qui s'écrit $z=a+ib$, avec $a,b\in\mathbb R$ et $i^2=-1$. L'ensemble des nombres complexes est noté $\mathbb C$. $a$ est la partie réelle de $z$, et $b$ sa partie imaginaire.
- Le conjugué de $z=a+ib$ est le complexe $\bar z=a-ib$.
- Le module de $z=a+ib$ est le réel positif $$|z|=\sqrt{a^2+b^2}.$$ On a aussi $|z|^2=z\bar z.$
- Le module vérifie les deux identités suivantes : $$\forall (z,w)\in\mathbb C^2, |z\times w| = |z|\times|w|$$ $$\forall (z,w)\in\mathbb C\times\mathbb C^*, \left|\frac zw\right| = \frac{|z|}{|w|}.$$
- Le module vérifie l'inégalité triangulaire $$\forall (z,w)\in\mathbb C^2, |z+w|\leq |z|+|w|.$$ Si $w\neq 0$ et $z\neq 0$, on a égalité dans cette inégalité si et seulement s'il existe $c>0$ tel que $z=cw$.
- Formules de trigonométrie : \begin{eqnarray*} \sin(a+b)&=&\sin a\cos b+\sin b\cos a\\ \sin(a-b)&=&\sin a\cos b-\sin b\cos a\\ \cos(a+b)&=&\cos a\cos b-\sin a\sin b\\ \cos(a-b)&=&\cos a\cos b+\sin a\sin b\\ \cos(2a)&=&\cos^2 a-\sin^2 a=2\cos^2 a-1=1-2\sin^2 a\\ \sin(2a)&=&2\sin a\cos a\\ \cos(a)\cos(b)&=&\frac 12\big(\cos(a+b)+\cos(a-b)\big)\\ \sin(a)\sin(b)&=&\frac 12\big(\cos(a-b)-\cos(a+b)\big)\\ \sin(a)\cos(b)&=&\frac 12\big(\sin(a+b)+\sin(a-b)\big)\\ \tan(a+b)&=&\frac{\tan a+\tan b}{1-\tan a\tan b}\\ \tan(a-b)&=&\frac{\tan a-\tan b}{1+\tan a\tan b}. \end{eqnarray*}
On note $\mathbb U$ l'ensemble des nombres complexes de module 1, qui se représente géométriquement par le cercle trigonométrique. Ainsi, pour tout nombre complexe $z$ de module 1, il existe un réel $\theta$ tel que $z=\cos\theta+i\sin\theta$. On note alors $$e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta.$$ En particulier, on a $e^{i\theta}=e^{i\theta'}\iff \theta\equiv \theta'\ [2\pi]$.
Ainsi, deux arguments de $z$ sont égaux modulo $2\pi$. En particulier, si $r,r'>0$ et $\theta,\theta'\in\mathbb R$, on a $$re^{i\theta}=r'e^{i\theta'}\iff r=r'\textrm{ et }\theta=\theta'.$$
Si $z_1$ et $z_2$ sont les deux racines de l'équation $az^2+bz+c=0$, alors \begin{eqnarray*} z_1+z_2&=&\frac{-b}a\\ z_1\times z_2&=&\frac ca. \end{eqnarray*}
Plus spécifiquement, les solutions de $z^n=1$, avec $n\geq 1$, s'appellent les racines $n$-ièmes de l'unité. On note $\mathbb U_n$ l'ensemble des racines $n$-ièmes de l'unité et on remarque que le théorème précédent implique que $$\mathbb U_n=\left\{e^{i\frac{2k\pi}n}:\ k=0,\dots,n-1\right\}.$$ Ainsi, les points dont les affixes sont éléments de $\mathbb U_n$ forment une partie du cercle unité. De plus, ce sont les sommets d'un polygone régulier à $n$ côtés.
Si $z=a+ib$, on note $\exp(z)$ ou encore $e^z$ le nombre complexe $\exp(a)e^{ib}.$
- $e^z=e^w\iff z-w\in 2\pi i\mathbb Z$.
- $\exp(z+w)=\exp (z)\exp (w).$
- On représente le complexe $a+ib$ par le point $M$ de coordonnées $(a,b)$. $z$ est alors appelé affixe de $M$.
- Si $M$ est d'affixe $z$ et $M'$ d'affixe $z'$, on appelle affixe du vecteur $\overrightarrow{MM'}$ le complexe $z'-z$.
- Si $M$ est d'affixe $z$ et $M'$ est d'affixe $z'$, le module $|z-z'|$ est égal à la distance $MM'$.
- Si $A,B,C$ sont trois points distincts du plan d'affixes respectives $a,b,c$ alors
$$\arg\left(\frac{c-b}{c-a}\right)=(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB})\ \mod 2\pi.$$
Soit $A$ un point du plan et soient $k,\theta$ deux réels avec $k>0$. On appelle similitude directe d'angle $\theta$ et de rapport $k$ l'application du plan dans lui-même qui à tout point $M$ distinct de $A$ associe le point $M'$ défini par $$AM'=kAM\textrm{ et }(\overrightarrow{AM},\overrightarrow{AM'})=\theta\mod2\pi.$$
La similitude directe de centre $A$, d'angle $\theta$ et de rapport $k>0$ est la composée, dans n'importe quel ordre, de l'homothétie de centre $A$ et de rapport $k$ et de la rotation de centre $A$ et d'angle $\theta$.
Réciproquement, la composée, dans n'importe quel ordre, de l'homothétie de rapport $k>0$ et de centre $A$ avec la rotation d'angle $\theta$ et centre $A$ est la similitude directe de centre $A$, de rapport $k$ et d'angle $\theta$.
Proposition : Soit $a,b$ deux nombres complexes, $a\neq 0$. L'application du plan qui à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'=az+b$ est- une translation si $a=1$; l'affixe du vecteur de translation est alors égal à $b$;
- une similitude directe si $a\neq 1$; son rapport est $|a|$, son angle est un argument de $a$, et son centre $A$ admet pour affixe l'unique solution de l'équations aux points fixes $$z=az+b.$$