Résumé de cours : nombres complexes et trigonométrie

Nombres complexes

Un nombre complexe est un nombre $z$ qui s'écrit $z=a+ib$, avec $a,b\in\mathbb R$ et $i^2=-1$. L'ensemble des nombres complexes est noté $\mathbb C$. $a$ est la partie réelle de $z$, et $b$ sa partie imaginaire.
Le conjugué de $z=a+ib$ est le complexe $\bar z=a-ib$.
Le module de $z=a+ib$ est le réel positif $$|z|=\sqrt{a^2+b^2}.$$ On a aussi $|z|^2=z\bar z.$
Le module vérifie les deux identités suivantes : $$\forall (z,w)\in\mathbb C^2, |z\times w| = |z|\times|w|$$ $$\forall (z,w)\in\mathbb C\times\mathbb C^*, \left|\frac zw\right| = \frac{|z|}{|w|}.$$
Le module vérifie l'inégalité triangulaire $$\forall (z,w)\in\mathbb C^2, |z+w|\leq |z|+|w|.$$ Si $w\neq 0$ et $z\neq 0$, on a égalité dans cette inégalité si et seulement s'il existe $c>0$ tel que $z=cw$.

Nombres complexes de module 1 - Trigonométrie

On note $\mathbb U$ l'ensemble des nombres complexes de module 1.
Pour tout nombre complexe $z$ de module 1, il existe un réel $\theta$ tel que $z=\cos\theta+i\sin\theta$.
On note $e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$.
La fonction tangente est définie pour tout réel $t$ tel que $t\neq \frac\pi2+k\pi$, $k\in\mathbb Z$, par $$\tan t=\frac{\sin t}{\cos t}.$$
Formule d'Euler : pour tout $\theta\in\mathbb R$, $$\cos(\theta)=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}2\quad\quad \sin(\theta)=\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}.$$
Formule de Moivre : pour tout $\theta\in\mathbb R$, $$e^{in\theta}=(e^{i\theta})^n.$$
Formules de trigonométrie : \begin{eqnarray*} \sin(a+b)&=&\sin a\cos b+\sin b\cos a\\ \sin(a-b)&=&\sin a\cos b-\sin b\cos a\\ \cos(a+b)&=&\cos a\cos b-\sin a\sin b\\ \cos(a-b)&=&\cos a\cos b+\sin a\sin b\\ \cos(2a)&=&\cos^2 a-\sin^2 a=2\cos^2 a-1=1-2\sin^2 a\\ \sin(2a)&=&2\sin a\cos a\\ \cos(a)\cos(b)&=&\frac 12\big(\cos(a+b)+\cos(a-b)\big)\\ \sin(a)\sin(b)&=&\frac 12\big(\cos(a-b)-\cos(a+b)\big)\\ \sin(a)\cos(b)&=&\frac 12\big(\sin(a+b)+\sin(a-b)\big)\\ \tan(a+b)&=&\frac{\tan a+\tan b}{1-\tan a\tan b}\\ \tan(a-b)&=&\frac{\tan a-\tan b}{1+\tan a\tan b}. \end{eqnarray*}

Argument - forme trigonométrique

Tout nombre complexe non nul $z$ s'écrit sous forme trigonométrique $z=r(\cos\theta+i\sin\theta)=re^{i\theta}$ avec $r>0$ et $\theta\in\mathbb R$. Le réel $r$ est unique, c'est le module de $z$. Le réel $\theta$ est appelé un argument de $z$. Si $\alpha$ est un autre argument de $z$, alors il existe $k\in\mathbb Z$ tel que $\theta=\alpha+k2\pi$. On dit que $\theta$ et $\alpha$ sont congrus modulo $2\pi$.
Réciproquement, si $\theta$ est un argument de $z$ et si $\alpha$ est un réel congru modulo $2\pi$ à $\theta$, alors $\alpha$ est aussi un argument de $z$.
On a les formules suivantes sur les arguments (toutes ces formules sont modulo $2\pi$, puisque l'argument est défini à $2\pi$ près) : \begin{eqnarray*} \arg(zz')&=&\arg z+\arg(z')\ \mod 2\pi\\ \arg\left(\frac z{z'}\right)&=&\arg(z)-\arg(z')\ \mod2\pi. \end{eqnarray*}

Équations du second degré

Pour tout nombre complexe $a$ non nul, l'équation $z^2=a$ possède deux solutions distinctes opposées.
Si $a,b,c$ sont des complexes avec $a\neq 0$, alors l'équation $az^2+bz+c=0$ possède deux solutions éventuellement égales, $$z_1=\frac{-b- \delta}{2a}\textrm{ et }z_2=\frac{-b+ \delta}{2a},$$ où $\delta$ est une des deux solutions de l'équation $z^2=\Delta$, avec $\Delta=b^2-4ac$ le discriminant.
Si $z_1$ et $z_2$ sont les deux racines de l'équation $az^2+bz+c=0$, alors \begin{eqnarray*} z_1+z_2&=&\frac{-b}a\\ z_1\times z_2&=&\frac ca. \end{eqnarray*}

Racines $n$-ièmes

Pour tout nombre complexe $a\neq 0$ et tout $n\geq 1$, l'équation $z^n=a$ possède $n$ solutions, qu'on appelle les racines $n$-ièmes de $a$.
Si $a=re^{i\theta}$ est une forme trigonométrique de $a$, alors les solutions de $z^n=a$ sont les complexes $$z=r^{1/n}e^{i\frac{\theta+2k\pi}n},\ k=0,\dots,n-1.$$

Exponentielle complexe

Si $z=a+ib$, on note $\exp(z)$ ou encore $e^z$ le nombre complexe $\exp(a)e^{ib}.$
On a $e^z=e^w\iff z-w\in 2\pi i\mathbb Z$.
Pour tout $(z,w)\in\mathbb C^2$, on a $$\exp(z+w)=\exp (z)\exp (w).$$

Interprétation géométrique

Le plan est muni d'un repère orthonormé $(O,\vec i,\vec j)$.

On représente le complexe $a+ib$ par le point $M$ de coordonnées $(a,b)$. $z$ est alors appelé affixe de $M$.
Si $M$ est d'affixe $z$ et $M'$ d'affixe $z'$, on appelle affixe du vecteur $\overrightarrow{MM'}$ le complexe $z'-z$.
Si $M$ est d'affixe $z$ et $M'$ est d'affixe $z'$, le module $|z-z'|$ est égal à la distance $MM'$.
Si $A,B,C$ sont trois points distincts du plan d'affixes respectives $a,b,c$ alors $$\arg\left(\frac{c-b}{c-a}\right)=(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB})\ \mod 2\pi.$$
Soit $A$ un point du plan et soient $k,\theta$ deux réels avec $k>0$. On appelle similitude directe d'angle $\theta$ et de rapport $k$ l'application du plan dans lui-même qui à tout point $M$ distinct de $A$ associe le point $M'$ défini par $$AM'=kAM\textrm{ et }(\overrightarrow{AM},\overrightarrow{AM'})=\theta\mod2\pi.$$
La similitude directe de centre $A$, d'angle $\theta$ et de rapport $k>0$ est la composée, dans n'importe quel ordre, de l'homothétie de centre $A$ et de rapport $k$ et de la rotation de centre $A$ et d'angle $\theta$.
Réciproquement, la composée, dans n'importe quel ordre, de l'homothétie de rapport $k>0$ et de centre $A$ avec la rotation d'angle $\theta$ et centre $A$ est la similitude directe de centre $A$, de rapport $k$ et d'angle $\theta$.
Soient $a,b$ deux nombres complexes, $a\neq 0$. L'application du plan qui à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'=az+b$ est
- une translation si $a=1$; l'affixe du vecteur de translation est alors égal à $b$;
- une similitude directe si $a\neq 1$; son rapport est $|a|$, son angle est un argument de $a$, et son centre $A$ admet pour affixe l'unique solution de l'équations aux points fixes $$z=az+b.$$