$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Résumé de cours : comparaison de suites et de fonctions

Relations de domination, de négligeabilité, d'équivalence
  Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites de nombres réels. On supposera que $(v_n)$ ne s'annule pas à partir d'un certain rang.
  • On dit que $(u_n)$ est dominée par $(v_n)$ si la suite $\displaystyle \left(\frac{u_n}{v_n}\right)$ est bornée. Autrement dit, s'il existe un réel $M$ et un entier $n_0$ tel que, pour tout $n\geq n_0$, on a $|u_n|\leq M|v_n|$. On note $$u_n=O(v_n).$$
  • On dit que $(u_n)$ est négligeable devant $(v_n)$ si la suite $\displaystyle \left(\frac{u_n}{v_n}\right)$ tend vers 0. On note $$u_n=o(v_n).$$
  • On dit que $(u_n)$ est équivalente à $(v_n)$ si la suite $\displaystyle \left(\frac{u_n}{v_n}\right)$ tend vers 1. On note $$u_n\sim v_n.$$
  • On a $u_n\sim v_n$ si et seulement si $u_n-v_n=o(v_n)$ si et seulement si $u_n-v_n=o(u_n)$.
  • Si deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont équivalentes, alors elles ont le même signe à partir d'un certain rang.
  • Si deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont équivalentes, alors l'une converge si et seulement si l'autre converge. Dans ce cas, leurs limites sont égales.
  • Règles de calcul pour les équivalents : Soient $(u_n)$, $(v_n)$, $(x_n)$ et $(w_n)$ quatre suites :
    • si $u_n\sim v_n$ et $x_n\sim y_n$, alors $u_nx_n\sim v_ny_n$.
    • si $u_n\sim v_n$ et $x_n\sim y_n$, alors $\frac{u_n}{x_n}\sim \frac{v_n}{y_n}$.
    • si $u_n\sim v_n$ et $p\in\mathbb Z$, alors $u_n^p\sim v_n^p$.
    Attention! En général, on ne peut pas ajouter des équivalents!
  • Règles de calcul pour la relation de négligeabilité : Soient $(u_n)$, $(v_n)$ et $(w_n)$ trois suites :
    • si $u_n=o(w_n)$ et $v_n=o(w_n)$, alors $\alpha u_n+\beta v_n=o(w_n)$.
    • si $u_n=o(v_n)$ et $v_n=o(w_n)$, alors $u_n=o(w_n)$.
    • si $u_n=o(w_n)$, alors $u_nv_n=o(w_nv_n)$.
Cas des fonctions
  Soient $f,g:I\to\mathbb R$ et soit $a\in \overline I$ (éventuellement, $a=\pm \infty$). On suppose qu'il existe un intervalle ouvert contenant $a$ tel que $g$ ne s'annule pas.
  • On dit que $f$ est dominée par $g$ au voisinage de $a$ s'il existe un intervalle ouvert $J$ contenant $a$ ($J$ est de la forme $]A,+\infty[$ si $a=+\infty$) et un réel $M>0$ telle que $$\forall x\in J,\ \left|\frac{f(x)}{g(x)}\right|\leq M.$$ On note $$f=_aO(g).$$
  • On dit que $f$ est négligeable devant $g$ si la fonction $\displaystyle \frac fg$ tend vers 0 en a. On note $$f=_ao(g).$$
  • On dit que $f$ est équivalente à $g$ si la fonction $\displaystyle \frac fg$ tend vers 1 en $a$. On note $$f\sim_a g.$$
  Toutes les propriétés valables pour les suites le restent pour les fonctions.
Équivalents usuels
  • Proposition : Soit $u:I\to\mathbb R$ et $a\in I$. Si $u$ est dérivable en $a$ et si $u'(a)\neq 0$, alors $u(x)-u(a)\sim_a u'(a)(x-a)$.
  • On en déduit les équivalents usuels suivants : $$\begin{array}{lll} \sin x\sim_0 x&\quad&\ln(1+x)\sim_0 x\\ 1-\cos x\sim_0 \frac{x^2}2&\quad&e^x-1\sim_0 x\\ (1+x)^\alpha-1\sim_0 \alpha x. \end{array}$$
Croissances comparées
  • Comparaison des suites logarithmiques, puissance, exponentielle Pour tous $\alpha,\beta,\gamma>0$, on a $$\ln^\beta (n)=o(n^\alpha)\textrm{ et }n^\alpha=o(e^{\gamma n}).$$
  • Comparaison des fonctions puissance Soient $\alpha,\beta\in\mathbb R$.
    1. On a $x^\alpha=_0o(x^\beta)$ si et seulement si $\alpha>\beta$;
    2. On a $x^\alpha=_{+\infty}o(x^\beta)$ si et seulement si $\alpha<\beta$;