Préparer sa kholle : Variables aléatoires
L'exercice qu'il faut savoir faire
Enoncé
On dispose de $n$ boites numérotées de $1$ à $n$. La boite $k$ contient $k$ boules numérotées de $1$ à $k$. On choisit au hasard de façon équiprobable une boite, puis une boule dans cette boite. On note $X$ le numéro de la boite et $Y$ le numéro de la boule.
- Déterminer la loi conjointe du couple $(X,Y)$.
- En déduire la loi de $Y$.
- Calculer l'espérance de $Y$.
L'exercice standard
Enoncé
Les vaches laitières sont atteintes par une maladie $M$ avec la probabilité $p=0,15$. Pour dépister la maladie $M$ dans une étable de $n$ vaches, on fait procéder à une analyse de lait. Deux méthodes sont possibles :
- Première méthode : On fait une analyse sur un échantillon de lait de chaque vache.
- Deuxième méthode : On effectue d'abord une analyse sur un échantillon de lait provenant du mélange des $n$ vaches. Si le résultat est positif, on effectue une nouvelle analyse, cette fois pour chaque vache.
- Déterminer la loi de $Y_n$, et montrer que son espérance vaut : $1+\frac{1}{n}-(0.85)^n$.
- Etudier la fonction $f(x)=ax+\ln x$, pour $a=\ln(0,85)$. Donner la liste des entiers $n$ tels que $f(n)>0$.
- Montrer que $f(n)>0$ équivaut à $E(Y_n)<1$. En déduire la réponse (en fonction de $n$) à la question posée.
L'exercice pour les héros
Enoncé
Une urne contient $N$ boules numérotées de $1$ à $N$. On en tire $n$ en effectuant des tirages avec remise. On note $X$ et $Y$ le plus petit et le plus grand des nombres obtenus. Déterminer la loi de $X$ et la loi de $Y$.