Préparer sa kholle - Calcul de primitives
L'exercice qu'il faut savoir faire
Exercice 1 
- Primitive de fractions rationnelles [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
- Primitive de fractions rationnelles [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé 
Donner une primitive des fonctions suivantes :
$$
\begin{array}{lcl}
\displaystyle \mathbf{1.}\quad x\mapsto \frac{1}{x^2+4}&\quad\quad&\displaystyle \mathbf{2.}\quad x\mapsto\frac{1}{x^2+4x+5}\\
\displaystyle \mathbf{3.}\quad x\mapsto \frac{1}{1-x^2}
\end{array}$$
L'exercice standard
Exercice 2 - Changements de variables - Niveau 2 [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
- Changements de variables - Niveau 2 [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé
En effectuant un changement de variables, calculer
$$\mathbf{1.}\quad\int_1^e \frac{(\ln x)^n}xdx,\ n\in\mathbb N\quad\quad \mathbf{2.}\quad F(x)=\int_1^x \frac{e^t}{(3+e^t)\sqrt{e^t-1}}dt,\ x>0$$
L'exercice pour les héros
Enoncé
Pour tout $n\in\mathbb N$, on pose
$$I_n=\int_0^1\frac{dx}{(x^2+1)^n}.$$
- Exprimer $I_{n+1}$ en fonction de $I_n$ pour tout $n\in\mathbb N$.
- En déduire la valeur de $I_3$.