$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Préparer sa kholle : Espaces préhilbertiens, euclidiens, matrices orthogonales

L'exercice qu'il faut savoir faire
Exercice 1 - Projection orthogonale donnée par sa matrice [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E=\mathbb R^3$ muni de sa structure euclidienne canonique. Soit $p\in\mathcal L(E)$ dont la matrice dans la base canonique est $$A=\frac 1{6}\left( \begin{array}{ccc} 5&-2&1\\ -2&2&2\\ 1&2&5 \end{array}\right).$$ Démontrer que $p$ est une projection orthogonale sur un plan dont on précisera l'équation. Déterminer la distance de $(1,1,1)$ à ce plan.
Indication
Corrigé
L'exercice standard
Exercice 2 - Endomorphismes orthogonaux et orthogonal d'un sous-espace vectoriel [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un espace vectoriel euclidien, soit $u\in\mathcal O(E)$ et soit $F$ un sous-espace vectoriel de $E$.
  1. Démontrer que $u(F^\perp)=\big[ u(F)\big]^\perp$.
  2. On dit que $F$ est stable par $u$ si $u(F)\subset F$. Démontrer que $F$ est stable par $u$ si et seulement si $F^\perp$ est stable par $u$.
Indication
Corrigé
L'exercice pour les héros
Exercice 3 - Projecteurs orthogonaux (bis) [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $E$ un espace vectoriel euclidien, et $p,q\in\mathcal L(E)$ deux projecteurs orthogonaux. Démontrer l'équivalence entre :
  1. $\textrm{Im}(p)\subset \textrm{Im}(q)$;
  2. Pour tout $x\in E$, $\|p(x)\|\leq \|q(x)\|$.
Indication
Corrigé