Préparer sa kholle : Espaces préhilbertiens, euclidiens, matrices orthogonales
L'exercice qu'il faut savoir faire
Exercice 1 - Projection orthogonale donnée par sa matrice [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E=\mathbb R^3$ muni de sa structure euclidienne canonique. Soit $p\in\mathcal L(E)$ dont la matrice dans la base canonique est
$$A=\frac 1{6}\left(
\begin{array}{ccc}
5&-2&1\\
-2&2&2\\
1&2&5
\end{array}\right).$$
Démontrer que $p$ est une projection orthogonale sur un plan dont on précisera l'équation.
Déterminer la distance de $(1,1,1)$ à ce plan.
L'exercice standard
Exercice 2 - Endomorphismes orthogonaux et orthogonal d'un sous-espace vectoriel [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un espace vectoriel euclidien, soit $u\in\mathcal O(E)$ et soit $F$ un sous-espace vectoriel de $E$.
- Démontrer que $u(F^\perp)=\big[ u(F)\big]^\perp$.
- On dit que $F$ est stable par $u$ si $u(F)\subset F$. Démontrer que $F$ est stable par $u$ si et seulement si $F^\perp$ est stable par $u$.
L'exercice pour les héros
Enoncé
Soient $E$ un espace vectoriel euclidien, et $p,q\in\mathcal L(E)$ deux projecteurs orthogonaux.
Démontrer l'équivalence entre :
- $\textrm{Im}(p)\subset \textrm{Im}(q)$;
- Pour tout $x\in E$, $\|p(x)\|\leq \|q(x)\|$.