$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Préparer sa kholle : matrices

L'exercice qu'il faut savoir faire
Enoncé
Soient $u:\mathbb R^2\rightarrow \mathbb R^3$ et $v:\mathbb R^3\rightarrow\mathbb R^2$ définies par $u(x,y)=(x+2y,2x-y,2x+3y)$ et $v(x,y,z)=(x-2y+z,2x+y-3z)$.
  1. Montrer que $u$ et $v$ sont linéaires et donner les matrices de $u,v,u\circ v$ et $v\circ u$ dans les bases canoniques de leurs espaces de définition respectifs. En déduire les expressions de $u\circ v(x,y,z)$ et $v\circ u(x,y)$.
  2. Soit $\mathcal{B}_2=\{\mathcal{E}_1,\mathcal{E}_2\}$ et $\mathcal{B}_3=\{\mathcal{F}_1,\mathcal{F}_2,\mathcal{F}_3\}$ les bases canoniques de $\mathbb R^2$ et $\mathbb R^3$. Montrer que $\mathcal{B}^\prime_2:=\{\mathcal{E}^\prime_1,\mathcal{E}^\prime_2\}$ et $\mathcal{B}^\prime_3:=\{\mathcal{F}^\prime_1,\mathcal{F}^\prime_2,\mathcal{F}^\prime_3\}$ sont des bases de $\mathbb R^2$ et $\mathbb R^3$ resp., où $\mathcal{E}^\prime_1:=\mathcal{E}_1$, $\mathcal{E}^\prime_2:=\mathcal{E}_1-\mathcal{E}_2$, $\mathcal{F}^\prime_1:=\mathcal{F}_1$, $\mathcal{F}^\prime_2:=\mathcal{F}_1+\mathcal{F}_2$ et $\mathcal{F}^\prime_3:=\mathcal{F}_1+\mathcal{F}_2 + \mathcal{F}_3$.
  3. Donner la matrice $P$ de passage de la base $\mathcal{B}_2$ à la base $\mathcal{B}^\prime_2$ puis la matrice $Q$ de passage de la base $\mathcal{B}_3$ à la base $\mathcal{B}^\prime_3$.
  4. Écrire la matrice de $u$ dans les bases $\mathcal{B}^\prime_2$ et $\mathcal{B}_3$ puis dans les bases $\mathcal{B}^\prime_2$ et $\mathcal{B}^\prime_3$ et enfin celle de $v$ dans les bases $\mathcal{B}^\prime_3$ et $\mathcal{B}^\prime_2$.
Indication
Corrigé
L'exercice standard
Enoncé
Soient $A,B\in\mathcal M_n(\mathbb R)$.
  1. On suppose que $\textrm{tr}(AA^T)=0$. Que dire de la matrice $A$?
  2. On suppose que, pour tout $X\in\mathcal M_n(\mathbb R)$, on a $\textrm{tr}(AX)=\textrm{tr}(BX)$. Démontrer que $A=B$.
Indication
Corrigé
L'exercice pour les héros
Exercice 3 - Décomposition de matrices de rang donné [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $M\in\mathcal M_n(\mathbb C)$.
  1. Montrer que si $\textrm{rg}(M)=1$, il existe deux vecteurs colonnes $X,Y\in\mathbb C^n$ tels que $M=XY^t$.
  2. Montrer que si $\textrm{rg}(M)=2$, il existe deux couples de vecteurs indépendants $(X,Z)$ et $(Y,T)$ tels que $M=XY^t+ZT^t$.
  3. Généraliser aux matrices de rang $k$.
Indication
Corrigé