Préparer sa kholle : matrices
L'exercice qu'il faut savoir faire
Enoncé
Soient $u:\mathbb R^2\rightarrow \mathbb R^3$ et $v:\mathbb R^3\rightarrow\mathbb R^2$ définies par $u(x,y)=(x+2y,2x-y,2x+3y)$ et $v(x,y,z)=(x-2y+z,2x+y-3z)$.
- Montrer que $u$ et $v$ sont linéaires et donner les matrices de $u,v,u\circ v$ et $v\circ u$ dans les bases canoniques de leurs espaces de définition respectifs. En déduire les expressions de $u\circ v(x,y,z)$ et $v\circ u(x,y)$.
- Soit $\mathcal{B}_2=\{\mathcal{E}_1,\mathcal{E}_2\}$ et $\mathcal{B}_3=\{\mathcal{F}_1,\mathcal{F}_2,\mathcal{F}_3\}$ les bases canoniques de $\mathbb R^2$ et $\mathbb R^3$. Montrer que $\mathcal{B}^\prime_2:=\{\mathcal{E}^\prime_1,\mathcal{E}^\prime_2\}$ et $\mathcal{B}^\prime_3:=\{\mathcal{F}^\prime_1,\mathcal{F}^\prime_2,\mathcal{F}^\prime_3\}$ sont des bases de $\mathbb R^2$ et $\mathbb R^3$ resp., où $\mathcal{E}^\prime_1:=\mathcal{E}_1$, $\mathcal{E}^\prime_2:=\mathcal{E}_1-\mathcal{E}_2$, $\mathcal{F}^\prime_1:=\mathcal{F}_1$, $\mathcal{F}^\prime_2:=\mathcal{F}_1+\mathcal{F}_2$ et $\mathcal{F}^\prime_3:=\mathcal{F}_1+\mathcal{F}_2 + \mathcal{F}_3$.
- Donner la matrice $P$ de passage de la base $\mathcal{B}_2$ à la base $\mathcal{B}^\prime_2$ puis la matrice $Q$ de passage de la base $\mathcal{B}_3$ à la base $\mathcal{B}^\prime_3$.
- Écrire la matrice de $u$ dans les bases $\mathcal{B}^\prime_2$ et $\mathcal{B}_3$ puis dans les bases $\mathcal{B}^\prime_2$ et $\mathcal{B}^\prime_3$ et enfin celle de $v$ dans les bases $\mathcal{B}^\prime_3$ et $\mathcal{B}^\prime_2$.
L'exercice standard
Enoncé
Soient $A,B\in\mathcal M_n(\mathbb R)$.
- On suppose que $\textrm{tr}(AA^T)=0$. Que dire de la matrice $A$?
- On suppose que, pour tout $X\in\mathcal M_n(\mathbb R)$, on a $\textrm{tr}(AX)=\textrm{tr}(BX)$. Démontrer que $A=B$.
L'exercice pour les héros
Exercice 3 - Décomposition de matrices de rang donné [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $M\in\mathcal M_n(\mathbb C)$.
- Montrer que si $\textrm{rg}(M)=1$, il existe deux vecteurs colonnes $X,Y\in\mathbb C^n$ tels que $M=XY^t$.
- Montrer que si $\textrm{rg}(M)=2$, il existe deux couples de vecteurs indépendants $(X,Z)$ et $(Y,T)$ tels que $M=XY^t+ZT^t$.
- Généraliser aux matrices de rang $k$.