Préparer sa kholle : intégration sur un segment
L'exercice qu'il faut savoir faire
Enoncé
Soit $f:[0,1]\to\mathbb R$ une fonction continue. Montrer que si $\int_0^1 f(t)dt=\frac 12$, alors $f$ admet au moins un point fixe dans $[0,1]$.
L'exercice standard
Enoncé
On note, pour $n\geq 1$,
$$I_n=\int_0^1 \frac 1{1+x^n}dx.$$
Soit également $\alpha\in [0,1[$.
- Démontrer que, pour tout $n\geq 1$, $$\frac{\alpha}{1+\alpha^n}\leq I_n\leq 1$$ (on pourra encadrer $\int_0^\alpha$ puis $\int_\alpha^1$).
- Démontrer que $(I_n)$ est croissante.
- Déduire des questions précédentes que $(I_n)$ converge vers $1$.
- En s'inspirant du modèle précédent, étudier $$J_n=\int_0^{\pi/2}e^{-n\sin t }dt.$$
L'exercice pour les héros
Enoncé
Soit $f:[a,b]\to\mathbb R$, $a<b$, une fonction continue non identiquement nulle. On suppose qu'il existe un entier $n$ tel que,
pour tout $k\leq n$, on a $\int_a^b t^k f(t)dt=0$.
On souhaite prouver que, dans l'intervalle $[a,b]$, il existe au moins $n+1$ points où $f$ s'annule en changeant de signe.
- Traiter le cas $n=0$.
- Traiter le cas $n=1$.
- Traiter le cas général.