$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Préparer sa kholle - Nombres réels et études de fonctions

L'exercice qu'il faut savoir faire
Enoncé
Montrer que l'équation $$\ln(1+|x|)+\frac 1{1-x}=0$$ possède exactement une solution $\alpha$ dans $\mathbb R\backslash \{1\}$ et que $1<\alpha<2$.
Indication
Corrigé
L'exercice standard
Exercice 2 - Une étude de fonction, fonction réciproque [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb R$ par $f(x)=\cos(\arctan(2x+1))$.
  1. Étudier le sens de variation de $f$, ses limites en $\pm\infty$.
  2. Résoudre l'équation $f(x)=\frac1{\sqrt 2}$.
  3. Montrer que la restriction de $f$ à $[-1/2,+\infty[$ admet une fonction réciproque $g$ dont on précisera l'ensemble de définition.
  4. Calculer $g'(\sqrt 2/2)$.
Indication
Corrigé
L'exercice pour les héros
Exercice 3 - Équation diophantienne [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Déterminer tous les couples $(n,p)$ d'entiers naturels non nuls tels que $n^p=p^n$ et $n\neq p$.
Indication
Corrigé