$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Préparer sa kholle : Généralités sur les espaces vectoriels

L'exercice qu'il faut savoir faire
Exercice 1 - A partir d'une famille libre [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Dans $\mathbb R^n$, on considère une famille de 4 vecteurs libres $(e_1,e_2,e_3,e_4)$. Les familles suivantes sont-elles libres?
  1. $(e_1,2e_2,e_3)$;
  2. $(e_1,e_3)$;
  3. $(e_1,2e_1+e_4,e_3+e_4)$;
  4. $(2e_1+e_2,e_1-2e_2,e_4,7e_1-4e_2)$.
Indication
Corrigé
L'exercice standard
Enoncé
Montrer que $f:\mathbb R[X]\to\mathbb R[X],\ P\mapsto P-XP'$ est une application linéaire. Déterminer son noyau et son image.
Indication
Corrigé
L'exercice pour les héros
Exercice 3 - Sous-espace stable et projecteur [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un $\mathbb K$-espace vectoriel, et soit $u\in\mathcal L(E)$. On dit qu'un sous-espace vectoriel $F$ de $E$ est stable par $u$ si $u(x)\in F$ pour tout $x\in F$. Soit $p$ un projecteur de $E$. Démontrer que $u$ commute avec $p$ si et seulement si $\textrm{Im}(p)$ et $\ker(p)$ sont stables par $u$.
Indication
Corrigé