Préparer sa kholle : Généralités sur les espaces vectoriels
L'exercice qu'il faut savoir faire
Enoncé
Dans $\mathbb R^n$, on considère une famille de 4 vecteurs libres $(e_1,e_2,e_3,e_4)$. Les familles suivantes sont-elles libres?
- $(e_1,2e_2,e_3)$;
- $(e_1,e_3)$;
- $(e_1,2e_1+e_4,e_3+e_4)$;
- $(2e_1+e_2,e_1-2e_2,e_4,7e_1-4e_2)$.
L'exercice standard
Enoncé
Montrer que $f:\mathbb R[X]\to\mathbb R[X],\ P\mapsto P-XP'$ est une application linéaire.
Déterminer son noyau et son image.
L'exercice pour les héros
Enoncé
Soit $E$ un $\mathbb K$-espace vectoriel, et soit $u\in\mathcal L(E)$.
On dit qu'un sous-espace vectoriel $F$ de $E$ est stable par $u$ si $u(x)\in F$ pour tout
$x\in F$. Soit $p$ un projecteur de $E$. Démontrer que $u$ commute avec $p$ si et seulement si
$\textrm{Im}(p)$ et $\ker(p)$ sont stables par $u$.