$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Préparer sa kholle : Probabilités sur un univers fini

L'exercice qu'il faut savoir faire
Enoncé
Dans une tombola, 1000 billets sont mis en vente, et deux billets sont gagnants. Combien faut-il acheter de billets pour avoir une probabilité supérieure à 1/2 d'avoir un billet gagnant.
Indication
Corrigé
L'exercice standard
Enoncé
Une usine fabrique des pièces, avec une proportion de 0,05 de pièces défectueuses. Le contrôle des fabrications est tel que :
  • si la pièce est bonne, elle est acceptée avec la probabilité 0,96.
  • si la pièce est mauvaise, elle est refusée avec la probabilité 0,98.
On choisit une pièce au hasard et on la contrôle.Quelle est la probabilité
  1. qu'il y ait une erreur de contrôle?
  2. qu'une pièce acceptée soit mauvaise?
Indication
Corrigé
L'exercice pour les héros
Enoncé
Une particule se trouve à l'instant 0 au point d'abscisse $a$ ($a$ entier), sur un segment gradué de $0$ à $N$ (on suppose donc $0\leq a\leq N$). A chaque instant, elle fait un bond de $+1$ avec la probabilité $p$ ($0<p<1/2$), ou un bond de $-1$ avec la probabilité $q=1-p$. Autrement dit, si $x_n$ est l'abscisse de la particule à l'instant $n$, on a : $$x_{n+1}=\left\{\begin{array}{ll} x_n+1&\textrm{avec probabilité $p$}\\ x_n-1&\textrm{avec probabilité $1-p$.} \end{array}\right.$$ Le processus se termine lorsque la particule atteint une des extrémités du segment (i.e. s'il existe $x_n$ avec $x_n=0$ ou $x_n=N$).
  1. Écrire un algorithme qui simule cette marche aléatoire. En particulier, cet algorithme prendra en entrée l'abscisse $a$ de départ, la longueur $N$ du segment, et produira en sortie un message indiquant si la marche s'arrête en 0 ou en $N$, et le nombre de pas nécessaires pour que le processus s'arrête. On supposera qu'on dispose d'une fonction alea() qui retourne un nombre aléatoire suivant une loi uniforme sur $[0,1]$.
  2. On note $u_a$ la probabilité pour que la particule partant de $a$, le processus s'arrête en $0$.
    1. Que vaut $u_0$? $u_N$?
    2. Montrer que si $0<a<N$, alors $u_a={pu_{a+1}}+qu_{a-1}$.
    3. En déduire l'expression exacte de $u_a$.
  3. On note $v_a$ la probabilité pour que la particule partant de $a$, le processus s'arrête en $N$. Reprendre les questions précédentes avec $v_a$ au lieu de $u_a$.
  4. Calculer $u_a+v_a$. Qu'en déduisez-vous?
Indication
Corrigé